|
https://zen.yandex.ru/media/id/5c396...047600b3034a5c
Природа листа Мёбиуса и «винт» Природы. https://zen.yandex.ru/Q24cwA580/f1b6..._i8TOJ2HhE#DSD Математика открывает нам немало такого, о чём мы не знали и даже не подозревали ([1], стр. 10) М. Клайн |
|
Больше чем бесконечность! Возможно ли такое?
Этот выпуск посвящен 20-му приему #Реш, Гипермышления. И с помощью этого приема мы попробуем преодолеть не просто границу возможностей, а границу понимания и нашего воображения. Разве может быть что-то, что больше бесконечности? Саму бесконечность сложно-то представить. Как это, движешься движешься и конца и края не видать? Жутко становится от попытки представить бесконечную вселенную.... а это значит, что есть мир где человек похожий на вас читает похожую статью! И вот прямо сейчас он подумал о вашем существовании и отогнал от себя эту мысль, это невозможно... но, хочу вас уверить, подобных комбинаций во вселенной не две и не три, а возможно бесконечное множество и разными вариантами. https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/EOFr...5ARfdNDq7D#DSD Итак к делу Попробуйте представить бесконечность. Вот вы идете, и нет края и конца…. Что дальше? Здравый ум отказывается понимать такое, поскольку это выходит за наш опыт. Но давайте попросим Что говорит наука? Математика? Прием #Реш от Гипермышления? Во-первых, ничего нет проще, представьте круг, вот вы ходите по кругу без конца. Это как искать край земли, которого нет, потому что она круглая…. Но можно выйти за пределы круга, достаточно быстро двигаться, с первой космической, чтобы расшить «края» земли до орбитальных высот… Во-вторых. По-другому обстоят дела с математической бесконечностью. Здесь она уходит как в положительную, так и в отрицательную стороны. Чтобы мы не прибавили, она останется такой же большой, точнее бесконечной. Для успокоения души некоторые астрофизики делают предположение, что наша вселенная также замыкающееся на себя 3-х мерное пространство. И если мы будем двигаться очень быстро и достаточно то до конца мы так и не долетим, за то можем вернуться на то место, откуда начинали свой путь. Третье. Но почему-то мало кто задумывается о бесконечно-малом. В одной точке, которую вы поставили карандашом существует огромный микро-, нано- и так далее, до т.н. планковского уровня (где как бы и энергия, и пространство теряют свою непрерывность и «должны» квантоваться) только вот и атом раньше мы считали неделимым… так что глубины нашего «вооруженного взгляда» в микромир ограничены, тогда как по своей сути он бесконечен! Четвертое. Но попробуем поискать бесконечность в прошлом, точнее, представьте мириады частиц, которые судя по уравнениям поля влияют на все другие частицы, а значит, что существует бесконечное влияние на настоящее, бесконечное количество сил незаметно, но влияет на текущий момент. Конечно есть пределы этого влияния, скорость света, или пренебрежительно малые силы… Но факт остается фактом. Эх прощай демон Лапласа, не сыграть нам с тобой на бильярде( Пять. Так попробуем поискать бесконечность в настоящем. Следуя последним достижениям физики, есть вероятность параллельного существования бесконечного варианта вселенных, которые немного отличаются и развиваются по разным сценариям. Как вам такой вариант бесконечное множество в настоящего? Кстати, в книге Гарри Бергера "Невероятно" есть такое упражнение, которое помогает получить маловероятное событие (выигрыш в лотерею) путем перемещения сознания в ту самую вселенную, где это событие произошло. Нужно только правильно использовать механизм засыпания и пробуждения!! https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/EOFr...tJSttJApvc#DSD И какое из вариантов настоящих самое настоящее? Шесть. Да собственно наш этот самый настоящий момент полон возможностей, вариантов для действий, главное, чтобы была необходимая степень свободы для реализации своего варианта будущего. И у каждого этот вариант свой, а значит надо договариваться, и хорошо хоть здесь все достаточно исчислимо,... хотя нам "не дано предугадать, как наше слово отзовется..." и как вы поступите не знаете даже вы, наши представления как правило достаточно упрощены, чтобы иметь свободу реализации, бесконечность вариантов которой мы даже не воспринимаем (!!). Семь. Кстати, совершенно без внимания остался тот самый момент, что реальность полна неизвестных измерений, неподвластных нашим органам чувств, мы просто не улавливаем (как не улавливаем электромагнитные волны), но как раз эти измерения могут присутствовать в настоящем. И нам нужен новый Фарадей, который откроет новый "магнетизм", на других физических принципах. Восемь. Пожалуй самая большая бесконечность скрывается за возможностями нашего воображения... И так вы уже готовы представить бесконечность? Девять. А теперь вся эта бесконечность-бесконечностей собирается в одном месте где то на бескрайних просторах последнего девятого фрейма матрицы Гипермышления. https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/EOFr...tJSttJApvc#DSD Продолжение следует... https://zen.yandex.ru/media/3x3/bols...5f2f00b346d74b |
Как описать весь мир с помощью математики?
Древнегреческие философы Пифагор и Платон считали, что математика отражает глубинную структуру бытия, и с ее помощью можно описать то, как мир устроен на самом деле. Однако со времен Канта и до недавнего времени господствовал иной взгляд на науку и познание: считалось, что наш разум меняет изучаемый объект, подстраивая его под себя, и тем самым конструирует его. Неожиданным образом в наши дни философия вернулась к давней идее математической структуры мира, не зависящей от нашего сознания и познания. О том, как это вышло и что из этого следует, рассказывает философ Елена Косилова. В последнее время философы много говорят о новом онтологическом повороте: это не могло не коснуться и философии математики. В ней всегда в том или ином виде спорят реализм и конструктивизм. Реализм древнее, он идет от Пифагора и Платона. Согласно реалистам, математические объекты существуют независимо от математика. Это согласуется со здравым смыслом, когда мы думаем о простых математических объектах, таких как прямая, треугольник или натуральный ряд. Скорее всего, есть основания говорить, что независимо от нас существует число π. Но существуют ли «сами по себе» интегралы или функция y = x2? Конструктивизм, в отличие от платонизма, постулирует, что любые математические понятия рождаются только в умах людей и в их культуре. Имеет смысл (как в средневековье) выделять крайний реализм, умеренный реализм и крайний конструктивизм, который, соответственно, можно возвести к средневековому номинализму. Тогда крайний реализм будет выглядеть так: Любые математические объекты существуют в независимом от человека математическом мире. Мы открываем, а не изобретаем их. Крайний конструктивизм: Любые математические объекты сконструированы людьми. Если бы человеческие обстоятельства сложились по-другому, были бы придуманы другие объекты, и даже известные нам объекты обладали бы другими свойствами. В Средние века об общих понятиях номиналисты говорили flatus vocis — колебания воздуха, «всего лишь слова». Умеренный реализм — и он же умеренный конструктивизм: Мы конструируем математические объекты, но в согласии с независимыми от нас логическими правилами. Свойства сконструированного объекта не придумываются, а открываются. Возможно, близким к умеренному конструктивизму счел бы себя Аристотель (хотя это, конечно, не факт). https://knife.media/wp-content/uploa...1-1024x717.jpg Скептицизм в философии науки ХХ века В философии со времени Канта господствовала теория познания. Из теории познания вычленилась философия науки, а в философии науки к концу XX века стали преобладать скептические направления — радикальный конструктивизм, социальный конструктивизм, учение о науке как практике и т.п. Радикальный конструктивизм начался с Канта, потому что его учение утверждало не только ограниченность наших познавательных способностей, но и активность познающего субъекта. С тех пор повелось считать, что субъект конструирует большую часть того, что познает. Учения о том, как именно субъект конституирует познаваемое и что в него привносит, становились все изощреннее. Однако наука тем временем шла вперед широким шагом. В современном мире мы не просто видим успехи науки — мы живем на ее иждивении и шагу не можем сделать без смартфона, компьютера и интернета. Философы, относящиеся к науке свысока, настолько неадекватны с ее точки зрения, что развод философии с современной наукой уже приобрел черты скандала. Очень многие ученые презирают философию, потому что она не сообщает им ничего полезного. Философия конца XX века полностью промахивается мимо науки. Но вот появляется новый реализм, новый материализм, происходит онтологический поворот. Из новых реалистов наиболее влиятелен Квентин Мейясу: в 2006 году вышла его книга «После конечности», которая уже успела стать знаменитой. В ней выдвигается два ошеломительных для философии тезиса: во-первых, вещь в себе познаваема, во-вторых, законы реальности совершенно случайны — такую случайность Мейясу называет контингентностью.
Спасение от торжества субъективности Мейясу видит в математике. С его точки зрения, на математику не распространяются трансцендентальные (корреляционистские) ограничения. Это у него постулат, обосновать его невозможно. Кант считал, что математика априорна, она основана на общих познавательных способностях всех людей, фактически она является как раз изучением этих самых способностей. Правда, Кант отводил основополагающую роль созерцанию, от которого современная математика ушла очень далеко. Но нельзя же всерьез доказывать, что человек способен познать нечто, выходящее за пределы его познавательных возможностей. Впрочем, это тавтология. Мейясу ничего не говорит об устройстве реальности, но мы поговорим позже о том, какая именно реальность имеется здесь в виду и как она соотносится с мышлением. https://knife.media/wp-content/uploa...ack640x400.jpg Вот что пишет Мейясу (выделение его): «…все те аспекты объекта, которые могут быть сформулированы в математических выражениях, могут содержательно мыслиться как свойства объекта в себе. Из всего того, что в объекте может дать повод для математического осмысления (в виде формулы или в цифровом формате), а не из воспринимаемого или ощущаемого, есть смысл сделать свойства вещи не только как она есть для меня, но и как она есть без меня».«Вместо того, чтобы утверждать, что математика и физика имеют отношение только к априорным формам нашего опыта, я убежден … что нужно утверждать, подобно Декарту, что математика и математизированная физика дают нам средства для идентификации свойств мира, который радикально независим от мысли».
У Мейясу очень сложные отношения с логикой. В одном месте он прямо говорит, что любые логические законы могут в любой момент поменяться, то есть они контингентны. |
«Все что угодно может вполне реально обрушиться — и деревья, и звезды, и физические, и логические законы. Но не в силу некоторого вышестоящего закона, обрекающего любую вещь на исчезновение, но наоборот — в силу отсутствия такого вышестоящего закона, который способен был бы предотвратить исчезновение чего бы то ни было». Таким образом, можно подумать, что Мейясу считает логику такой же контингентной наукой, как физика.
https://knife.media/wp-content/uploa...2-1024x717.jpg Критика идей Мейясу Это критика той части его философии, которая непосредственно связана с наукой. Прежде всего, на мой взгляд, Мейясу не вполне понимает соотношение математики и логики, да и саму природу логики. Каким образом законы логики могут быть контингентными, если математика надежна? Математика основывается на логике. Даже согласно самой идее контингентности она должна, конечно, касаться эмпирических вещей, а не нормативной науки. Но если Мейясу хочет добиться непредсказуемости вообще всего, то можно и логику объявить контингентной — только тогда не надо объявлять надежной математику. Если изменятся, например, принципы следования, закон модус поненс, определения связок — то и равенства в математике, а также правила математического вывода станут совершенно другими. Скорее всего такое просто невозможно представить, это будет уже какая-то совершенно нечеловеческая логика и нечеловеческая математика. Я понимаю задачу Мейясу по-другому: он хочет оправдать торжество современной науки, а не провозгласить новую нечеловеческую науку. Контингентность логики — это упущение Мейясу. Теперь сосредоточимся на том, насколько представима контингентность физики. Мыслить ее можно широко, если не знать о ее очень тесной связи с математикой. Например, есть закон гравитационного притяжения двух тел: F = γm1m2 / R2. В нем сказано, что сила притяжения прямо пропорциональна массе каждого из этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния. Что она возрастает с возрастанием массы, нам интуитивно кажется достаточно естественным. А что она убывает в зависимости от квадрата расстояния, казалось бы, установлено чисто эмпирически. Почему не в зависимости от первой степени расстояния или от его куба? Я была очень удивлена, когда мне объяснили, что на самом деле никакой другой степени тут не может быть — квадрат здесь потому, что пространство трехмерно. Другими словами, этот закон можно было не открывать эмпирически (хотя он открыт эмпирически). Его можно было буквально вывести из головы. И в физике едва ли не все так. Только константы устанавливаются чисто эмпирически и могли бы быть совершенно другими. Иногда физики пишут, что значения констант не случайно стали такими, чтобы появилась именно наша вселенная и в ней появились мы. Что это так называемая тонкая настройка (fine tuning), которую разумный Творец вселенной подобрал специально. Однако понятно, что доказать это нельзя, можно только размышлять об этом. Сама же структура физических законов чисто математическая. Многие знаменитые физики не уставали удивляться этому. Широко известна статья великого физика Юджина Вигнера «Непостижимая эффективность математики в естественных науках». В ней он пишет о том, что многие математические теории были разработаны неэмпирически, в виде, так сказать, чисто математической игры ума, а потом оказались на удивление пригодными для описания природных явлений. Например, тригонометрические функции были введены для описания треугольников. Но потом оказалось, что с помощью них можно описывать, например, законы протекания тока в цепи с емкостью и индуктивностью. В этой цепи нет никаких треугольников! Но ток течет почему-то согласно отвлеченным математическим принципам. Или то, что небесные тела движутся по орбитам, которые могут быть представлены как конические сечения — это опять-таки связано со структурой пространства. В солнечной системе нет никаких конусов, но мы снова видим, что математические представления работают в физике, и работают достаточно неожиданным, неочевидным образом. Вигнер приводит другие, не менее впечатляющие примеры. Не случайно сегодня едва ли не большинство законов физики рождаются на кончике пера, и перо это математическое. Отсюда следует, что при постулировании надежности математики не следует говорить об абсолютной контингентности физики. Такая центральная роль математики в науке о мироздании определенно взывает к появлению новой онтологии. Мы уже выяснили, что новая гносеология — это реализм, эмпиризм. Это то, что касается вопроса о познании человеком законов вселенной. Законы, конечно, устанавливаются эмпирически, но записываться они должны на математическом языке. О каком же устройстве вселенной идет речь? Предустановленная гармония Но сначала два слова о том, что говорили о взаимодействии математики и физики до реалистических онтологий. Историк физики Владимир Визгин написал статью «Догмат веры физика-теоретика». Вообще там в основном идет речь о религиозном чувстве у физиков, но он много пишет о предустановленной гармонии между математикой и физикой. Автор «необъяснимой эффективности» Вигнер тоже намекал на предустановленную гармонию. Более того, этими же словами говорил Давид Гильберт («Естествознание и логика»). Наконец, очень похожие мысли высказывал Поль Дирак. Предустановленная гармония — не онтологическое учение, хотя само это понятие ввел Лейбниц в контексте онтологии своих монад. Но у вышеупомянутых физиков речь шла о ситуации в их науке. Они не говорили об устройстве вселенной. Неопифагореизм Что же получится, если сейчас начать говорить так о вселенной? Это будет учение о том, что вселенная устроена согласно математическим законам, то есть, иными словами, новый пифагореизм. Здесь некоторые из авторов, пишущие о новом реализме, вспоминают кроме Мейясу физика Макса Тегмарка. Мейясу чувствовал, к чему идет дело, и специально сообщил, что он не пифагореец. А Тегмарк уже открытым текстом описывает математическую вселенную и вспоминает Пифагора. Его статья, посвященная этому, так и называется, «Математическая вселенная». В ней он пишет: «После того, как Вигнер написал свое эссе 1967 года, стандартная модель физики частиц обнаружила новый „непонятный “ математический порядок в микрокосме элементарных частиц и в макрокосме ранней Вселенной. Я не знаю другого убедительного объяснения этой тенденции, кроме того, что физический мир действительно полностью математичен». «Если моя жизнь в физике чему и научила меня, так это тому, что Платон был прав: благодаря современной физике стало очевидным, что конечная природа реальности не такова, какой кажется», — пишет Тегмарк в книге «Наша математическая вселенная», которая получила широкую известность среди физиков. Тегмарк проводит капитальное математическое изучение условий, при которых вселенную можно считать математической структурой. Физические интерпретации он называет багажом и не вводит их в рассмотрение. Но никакой контингентности у него нет, потому что есть мультиверс. Условие множественности вселенных таково: если наблюдатель внутри вселенной (лягушка) описывает ее более сложным образом, чем наблюдатель извне, видящий четыре измерения (птица), то вселенные множественны. Поскольку фундаментальные законы извне вроде бы проще тех, что внутри, то он уверен, что вселенных много. И все математически допустимые физические варианты где-то, вероятно, реализуются. Читайте также Так выглядит онтология с точки зрения современных философствующих физиков. Думаю, французские новые реалисты должны встроиться в это русло и принять пифагореизм и теорию математической вселенной. Это не отменяет того, что конкретно в нашей вселенной законы могут оказаться любыми, хотя у физиков пока, конечно, не идет речь о контингентности внутри одной вселенной. Здесь мысль Мейясу носит более прорывной характер, чем у физиков, но, как уже говорилось, ему надо скорректировать учение о том, что контингентно абсолютно все, описываемое физически. Ему следует привести это в соответствии с необходимой стабильностью математики. https://knife.media/wp-content/uploa...3-1024x717.jpg Тождество бытия и мышления Что можно сказать о том, какое гносеологическое учение должно прийти на смену корреляционизму в этой новой для нас ситуации возрождения Пифагора (и Галилея)? Поскольку математика теперь становится одновременно и наукой, и принципом устройства вселенной, то это с необходимостью требует только одного: тождества бытия и мышления. Мы встречали такое положение у Парменида, у Спинозы («порядок идей соответствует порядку вещей»), у Гегеля. Оно всегда казалось нам экстравагантным. Теперь мы замечаем, что приходится его вводить уже в связи с деятельностью ученых. Конечно, полного тождества любого бытия с любым мышлением нет, «лягушачье» бытие случайно, человеческое мышление приводит к ошибкам. Однако мы видим вот что: по большому счету, в высших своих проявлениях мышление человека — это его работа в математике и логике. Речь идет не о построении гипотез и моделей, а о мышлении, в котором человек соприкасается со структурой самого мироздания. Вопрос о материи и о точности В богословских терминах (что чрезвычайно далеко от Мейясу, позиционирующего себя как антифидеиста) пифагорейскую теорию можно сформулировать так: Бог сотворил математику и некоторое количество материи. Поэтому материя подчиняется математическим законам. Что-то им должно подчиняться, в чем-то они должны воплощаться. Таким образом, мы выходим из пифагореизма в теорию Аристотеля о формах и материи. Существенным у Аристотеля было то, что материя вообще не имела свойств, она не вносила ничего своего и ничего не искажала, поэтому формы можно было выделить вполне точно. Остается вопрос, можно ли назвать теорию Аристотеля дуализмом формы и материи, если материя только «есть», и ничего больше о ней сказать нельзя. На мой взгляд, это дуализм, но тут можно рассуждать по-разному. В истории философии было много дуалистических учений, где материи явным образом приписываются те или иные свойства. В учении Декарта материя уже обладает полным набором свойств. Не факт, что такой тип дуализма будет востребован в онтологии будущего. А вот аристотелевский дуализм, как мне кажется, очень подходит для современных учений, которые выделяют структуру отдельно от ее воплощения. И именно материя ответственна за воплощение структуры и представление ее в реальности. Тегмарк формулирует эту идею следующим образом: чтобы описать математическую структуру вселенной, нам надо мысленно избавиться от так называемого багажа. Под багажом понимается конкретное воплощение структуры. В некотором смысле у Тегмарка получается, что багажом является материя. Однако он имеет в виду не это, а то, что багаж мешает выделять структуры. Он отвлекает внимание на себя. А это значит, что у него есть собственное бытие, то есть, скорее всего, какая-то своя структура. Теперь мы можем сказать, почему математические структуры часто реализуются на практике с приблизительностью: это дает о себе знать материя. Материя как идеальное мыслимое начало свойств не имеет. Но на практике она вносит шум. «Математическую точность не во всем нужно одобрять, но только в том, что не имеет материи» (Аристотель, Метафизика, 2, 3). А раз она что-то делает, значит, хоть какие-то свойства у нее есть. Также, скорее всего, следует сказать, что в ней воплощается одновременно много структур разного масштаба. Это делает общее описание процессов в материи сложным. Однако нельзя сказать, что оно перестает от этого быть математическим. Тегмарк увязывает свою картину математической вселенной с положением, согласно которому математическое описание должно быть общим и простым. Скорее всего, с этим согласился бы и Пифагор. Интуитивно кажется, что и сама вселенная устроена в общих чертах просто, и более простые теории как бы ближе к реальности. Красота теории кажется близкой к простоте, и обе они как бы имеют больше бытия. В конце концов, «простыми» являются основные принципы симметрии и законы сохранения. Однако не исключено, что слишком простым образом описать мироздание не получится. Материя будет постоянно вносить помехи. Частично эти помехи тоже будут описываться математически, а именно в том случае, когда материя принимает в себя много структур разом. Но, скорее всего, мы будем сталкиваться с тем, что материя вносит просто белый шум, который отличается как раз отсутствием структуры, то есть является простым признаком бытия без всякого смысла. Поэтому мне кажется, что помехи, вносимые материей, надо искать в каком-то другом месте. Этот вопрос пока остается открытым. |
Преимущества двенадцатиричной системы над десятичной
Привет любителям математики! Не забудьте поставить лайк. Приятного прочтения! https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/1p5E...MPIJPx8IvA#DSD Считаем до 12 на пальцах одной рукиОчень занятную для себя находку я не так давно сделал. Двенадцатеричная система счисления. Честно сказать, никогда я о ней не слышал. Двоичную знаю, десятичную, шестнадцатеричную, но двенадцать... Но, несмотря на то, что о ней я почти ничего не знал, сталкивался ежедневно. Те же часы как пример. Как оказалось, многие бытовые вещи с ней считать куда проще! Но, обо всем поподробнее. Сначала, познакомимся с самими числами. Так выглядит стандартная десятичная система. Все последующие цифры создаются именно из этих 10 https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/1p5E...E8UJETY-uA#DSD Цифры десятичной системыА теперь, взглянем на дюжину. https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/1p5E...E8UJETY-uA#DSD Цифры двенадцатиричной системы счисленияДальше, как ни странно, идет 10, только произносится она не "десять", а "До". Далее пойдет 11 - "Два до один", 12 - "Два до два" и так далее. Последние две цифры имеют такие названия: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/1p5E...E8UJETY-uA#DSD Кое где их пишут просто как "А" и "В"Двузначные и трехзначные числа получаются возведением десяти в соответствующие степени, с двенадцатью то же самое. https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/1p5E...E8UJETY-uA#DSD Красным - числа в десятичной системеПо сути, если смотреть с точки зрения математики, не изменится ничего. Нужно только привыкнуть к "новым" цифрам. Математические законы останутся прежними. Вот только у такой системы есть ряд преимуществ. Если в десятичной системе, десятка кратна четырем числам: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/1p5E...E8UJETY-uA#DSD То в двенадцатеричной уже шести! https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/1p5E...E8UJETY-uA#DSD Представьте себе дробь 1/3. В десятичной системе это число будет выглядеть как то так - 0,333(3). В двенадцатеричной - никаких троек в периоде! https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/1p5E...E8UJETY-uA#DSD "Четыре двенадцатитичных" :)С 1/6 также не получится никаких бесконечных цифр после запятой, это будет просто 0,2. Согласитесь, в бытовом плане довольно удобно. Правда, уже те же 1/5 будет выглядеть не совсем презентабельно: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/1p5E...E8UJETY-uA#DSD Бесконечная двенадцатиричная дробь...Да, бесконечные дроби здесь тоже есть, но их меньше. Стоит отметить, что некоторые малые народы Тибета и Нигерии пользуются такой системой. Да и в давние времена она была распространена из-за своего удобства. Но, в какой-то момент ее просто вытеснили. Если честно, несмотря на некоторые свои преимущества, переход на эту систему, как по мне, не возможен и не нужен. А потому, забивать ею голову не стоит. Воспринимайте это просто как интересную информацию к размышлению. |
https://zen.yandex.ru/media/tehno_ch...e57b00aeb2cfd8
Прямой метод умножения по Трахтенбергу. Умножаем любое число на любое в одну строку! Эта статья последняя, в которой будет описываться "прямой метод" умножения по системе Якова Трахтенберга. Далее, будут рассматриваться другие его методики и приемы. Что же, наконец-то я подобрался к последнему приему. "Вишенкой" на торте будет техника умножения числа любой длины на любое другое число. Те, кто знаком с остальными моими статьями по данной тематике, без труда освоят и этот прием. А для тех, кто здесь впервые, я все подробно расскажу и покажу на примере. Я пишу это в каждой статье по данной теме, напишу и сейчас. Если Вам вдруг кажется, что это слишком сложно и непонятно, то попробуйте прочитать еще, а если не помогает, спросите у автора, он Вам поможет разобраться. Рассмотрим умножение двух четырехзначных чисел: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/athK...TTo8vEPVGQ#DSD Шаг 1 Впереди я записываю четыре нуля, потому как второй множитель состоит из 4-х цифр. Это нужно для удобства вычисления. https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/athK...XSU1oEr6Pg#DSD В ответе число имеет максимально 8 цифр.Умножаем крайние цифры, 2 записываем, 7 в "уме". Шаг 2 https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/athK...XSU1oEr6Pg#DSD Не забывайте про цифру 7 в "уме"Для тех, кто читал предыдущие мои статьи, схема покажется знакомой. Шаг 3 https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/athK...XSU1oEr6Pg#DSD Кое-кто мог заметить, что мы потихоньку смещаем множители для каждой цифры правого множителя. К примеру, крайнюю правую цифру 8 мы по очереди умножаем на 9, затем на 6, потом 5, 4, 0, 0, 0, 0. То же самое мы делаем и для следующей за ней пятеркой. Сначала умножаем на 9, потом на 6, 5, 4, 0, 0, 0, 0. Правда все это в разных шагах, если что. Шаг 4 https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/athK...XSU1oEr6Pg#DSD 14 в уме!Шаг 5 Теперь, смещаем всю нашу "богодельню" влево, т.к. на девять мы уже умножили каждое из цифр правого множителя, оно в наших операциях участвовать больше не будет. https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/athK...XSU1oEr6Pg#DSD Далее, мы продолжаем смещаться влево, пока не получим в сумме действий нуль! Последние операции я расписывать не буду, на этом этапе уже должен быть понятен порядок действий и сам принцип. Шаг n https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/athK...XSU1oEr6Pg#DSD ОтветЕсли вдруг Вам не понятно, что я делал дальше, напишите в комментариях и я Вам подробно все распишу. Умножение n-значных чисел на n-значные происходит по той же самой схеме.Уже предвижу поток комментариев типа "Зачем такие сложности и прочее". Да, не так и просто, как хотелось бы, но если вы попробуете умножить в столбик, то это, поверьте тоже займет не мало времени. Здесь же, мы может писать сразу в ответ если набить руку. А набить руку можно за 10-15 минут тренировки. |
5 невероятных математических парадоксов
https://nat-geo.ru/static/img/genera...7882b841b1.png 18 ноября 2019 0 0 1 Парадокс — это загадка без правильного ответа, логический выверт и одна из любимейших игрушек математиков. Онлайн-школа Skyeng Math выбрала для вас великолепную пятерку парадоксов, которые занимают умы математиков долгие годы — десятилетия, а то и века. Не верьте глазам своим: цифры не то, чем кажутся. https://s3.nat-geo.ru/images/2019/11....width-630.jpg Петер Пауль Рубенс Галилео Галилей (1630) Парадокс Галилея Даже если вы прогуляли половину школьных уроков математики, вы точно помните, что такое натуральные числа: 1, 2, 3 и так далее. Вы помните и то, что числа могут быть четными — то есть делиться на 2 — и нечетными. Каких чисел больше — натуральных или четных? На первый взгляд ответ очевиден: конечно, натуральных. Если только каждое второе натуральное число — четное, то четных должно быть вдвое меньше, чем натуральных. Но на самом деле их равное количество! Это доказал еще Галилео Галилей, ученый XVII века, который был не только астрономом, но и математиком. Представьте две строки чисел: сверху — все натуральные числа, снизу — числа, полученные умножением на два каждого числа из верхней строчки. Примерно вот так: 1 2 3 4 ... N 2 4 6 8 ... 2N Количество чисел бесконечно, а значит и продолжать эти строки можно бесконечно. И под каждым натуральным числом будет стоять четное. Стало быть, количество четных и натуральных чисел всегда будет одинаковым. Парадокс брадобрея В деревне живет цирюльник, который согласно старинному предписанию бреет лишь тех жителей деревни, которые не бреются сами. Но вот вопрос: может ли брадобрей брить самого себя? Если он не бреется, значит он должен воспользоваться услугами брадобрея — то есть самого себя. Но если он будет бриться самостоятельно, он не имеет права себя брить. Этот парадокс сформулировал Бертран Рассел, один из виднейших математиков XX века. https://s3.nat-geo.ru/images/2019/11....width-630.jpg Локи - бог хитрости и обмана Парадокс лжеца Парадокс лжеца придумали так давно, что мы даже не знаем изначального автора. Представьте, что записной врун говорит: «Я вру». Это либо правда, либо ложь. Если он говорит правду (то есть действительно лжет), то это утверждение не может быть истинным. Если же, говоря «Я вру», он вас обманывает, стало быть, он говорит правду. То есть если утверждение правдиво, оно ложно, а если оно ложно, то правдиво. То есть в любом случае оно одновременно и правда, и вранье. Уже запутались? Ну на то он и парадокс. https://s3.nat-geo.ru/images/2019/11....width-630.jpg Эжен Делакруа Гамлет и Горацио на кладбище (1839) Парадокс Гамлета Все сложности путешествий во времени давно занимают и фантастов, и математиков. Первые пишут повести про попаданцев, а вторые пытаются вычислить, как может работать время. Вот представьте, что вы отправитесь в Англию XVI века, прихватив с собой томик «Гамлета», и отыщете там молодого Уильяма Шекспира. Вы отдадите ему книгу, чтобы он издал ее под своим именем. Через шесть столетий книга окажется в том самом книжном, где вы ее купили, чтобы отдать писателю. Кто же в таком случае был автором «Гамлета»? Парадокс временной петли был придуман Дэвидом Туми, профессором Университета Массачусетса и популяризатором науки. Парадокс второго ребенка В семье Смитов подрастают двое детишек. Один из них мальчик. Какова вероятность, что второй ребенок — тоже мальчик? Неискушенный читатель скажет, что 50/50, ведь он либо мальчик, либо девочка, а следовательно, шансы равны. Но ведь в семье с двумя детьми есть четыре варианта комбинаций: две девочки, два мальчика, старший брат и младшая сестра или старшая сестра и младший брат. Очевидно, что первый вариант — это не про Смитов: у них точно есть мальчик. Остаются три возможных варианта: в одном из них второй ребенок — мальчик, в двух — девочка. И не нужно быть профессором математики, чтобы увидеть: вероятность того, что второй ребенок Смитов тоже мужского пола, составляет всего один из трех, то есть примерно 33%, а не 50%. Не убеждены? Ничего страшного, это решение не вполне убеждало даже математика Мартина Гарднера, который и создал этот парадокс в 1959 году. В зависимости от формулировки ответы могут быть разными, и математики до сих пор спорят о правильной цифре. Вот видите, математика — это вовсе не сухие формулы. Сами математики вообще считают, что это самая увлекательная и красивая штука в мире. Хотите убедиться в этом на собственном опыте? Записывайтесь на вводное занятие в Skyeng Math и начинайте заниматься онлайн с личным учителем на интерактивной платформе. Здесь умеют найти подход к любому ученику и восполнить даже самые серьезные пробелы в знаниях. |
Математическая операция о которой не рассказывают в школе. Что такое тетрация?
Привет, друзья! Поставьте лайк, если было интересно! https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/saI2...YO_NtGy6CQ#DSD Из интернета картинкаЭтот месяц для меня был полон открытий. То очень большие числа, то всякие математические загадки, то я узнал наконец о 1080i и 1080p. Настало время очередного "открытия". Математика - штука сложная, об этом знают все и потому, многие ее не любят. Скрывает эта наука в себе множество интересных вещей, парадоксов, а кто-то видит в ней нечто мистическое... не иначе как проделки дьявола. Когда я поближе знакомился с очень большими числами, то узнал о некой операции, которая имеет название - тетрация. Что же это за зверь? Тетрация - четвертый гипероператор в математике. Он образован от двух слов "тетра" (четыре) и "итерация" (повторение). И был впервые применен английским математиком Рубеном Гудстейном в 1947 году. Из курса школьной математики нам известно о трех гипероператорах: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/saI2...YO_NtGy6CQ#DSD 1. Сложениеhttps://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/saI2...YO_NtGy6CQ#DSD 2. Умножениеhttps://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/saI2...YO_NtGy6CQ#DSD 3. Возведение в степеньПо крайней мере я, о четвертом точно ничего не знал, и в школе нам о нем не рассказывали, и даже в курсе высшей математики в университете о нем не было ни слова или просто я так учился, хотя учился более-менее неплохо. Напишите в комментариях, известен ли он был Вам? Четвертый гипероператор - тетрация, выглядит так: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/saI2...YO_NtGy6CQ#DSD ТетрацияДля примера: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/saI2...Qfbgu2upEA#DSD Тетрация используется для простой и короткой записи очень больших чисел. Чтобы не городить многомерные степенные башни, можно записать ее просто и элегантно, вот и все применение. Практическую пользу этот гипероператор несет разве что для математиков или тех кто углубленно изучает предмет. Хотя, они с нею, скорее всего, уже знакомы. Для обычного обывателя - просто для расширения кругозора. |
Нас учили, что таблица умножения одна! Но это часть многомерной таблицы умножения
https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/wFu1...lSPdnVnKGQ#DSD Друзья, не спешите говорить "Чушь!". Понятно, что на первый взгляд ничего не понятно! С первого раза не поддаётся логике! Когда-то и 2*2 мы не могли вычислить, здесь то же самое. Нас никто не учил обращаться с этим, а тем более применять... И такая (неизвестная нам) таблица умножения - не одна! https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/wFu1...lSPdnVnKGQ#DSD Таблица Пифагора (Яндекс.картинки)Та таблица умножения, которую мы изучаем сейчас в школах, называется таблицей Пифагора, и она является частью, а точнее - частным случаем древней многомерной таблицы умножения. Я не историк, не знаю когда зародились эти знания и почему перестали их использовать сейчас, но в открытых источниках пишут, что х'Арийская арифметика, которую оставили древние Арийцы своим потомкам - изучалась славянами уже с детских лет, а точнее с 12. И это не просто унылые вычисления, которым учат сейчас, а настоящая взрослая математика! Мы всегда просто говорим 2жды2, 5ю5, 4на4, 2по6, но все эти вещи заимствованы. Существует три основных вида умножения: НА, ЖДЫ, Ю. "НА" - обычное нами изученное умножение: 2 на 2, 2 на 3, 2 на 4 и т.д. Данное умножение двухмерное, т. е. обычное плоскостное. Мы с помощью него можем посчитать площадь на какой-либо плоскости в любых квадратных единицах: кв.см., кв.м., кв.мм и т.д. У Арийцев "НА" обозначается "точкой" (как и у нас) "ЖДЫ" - объемное, трехмерное умножение - обозначается символом "Х" "Ю" - объемно-временное умножение, обозначается символом "*". https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/wFu1...hBLAnljOCA#DSD Существует еще несколько видов умножений: ровное умножение, пирамидальное и ПО. Важно отметить, что первым числом - стоит не число, как мы привыкли, а цифра значения изначальной структуры, а знак уже даёт понять, какая фигура с основанием изначальной структуры участвует в вычислении! Например: 3 х 7 = 28 3 - треугольник, Х - это пространственное умножение, поэтому треугольник нужно поместить в 3D измерение, а в трёхмерном пространстве - это треугольная пирамида, и теперь 4 опорные точки пирамиды умножаются на 7.Наши предки считали всё образами! Если наша математика говорит 5 в квадрате, то тут же вопрос "пять чего?", - нефти, камня, сметаны? Какой степени? Дело в том, что отсутствует образ (как зрительное восприятие в уме чего-либо). Для них важно было представление, объемное (пространственное) мышление, а не наше - линейное восприятие! Вы же наверно замечали, когда параллельно что-то еще представляете при вычислении - то у вас картина при поиске ответа совершенно иная, чем просто абстрактные числа. "Старики" знали, как объединить образы и путаница сразу отходила в сторону.https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/wFu1...lSPdnVnKGQ#DSD Арифметические знакиКонечно, в одной статье всю арифметику Арийцев невозможно описать, но ясно одно - Древняя арифметика строится на счете счисляемых образов, с её помощью можно высчитывать временные, объемные и пространственные структуры. Другими словами Арийская арифметика это по-нашему математика с геометрическим представлением. О том, как производятся расчеты каждой из структур, подробно описывает статья "Трёхмерные таблицы умножения. Формулы расчета". В самой основе этой арифметики лежат правильные фигуры, которые называются гармоничными. В одномерном пространстве - любая фигура имеет две опорные точки (отрезок), в двухмерном пространстве - это проекция фигуры одномерного пространства длиной самой фигуры, т.е. спроецированный отрезок даёт квадрат, далее куб и т.д. С каждым увеличением мерности пространства на один - гармоничная фигура формируется проецированием фигуры предыдущей мерности на её же длину. Как вы думаете, откуда выражение "семь пядей во лбу"? Из пядевой системы мер - Семь пядей образуют Лоб и значение равно 124,46 см.: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/wFu1...lSPdnVnKGQ#DSD Так же известно, что в прошлые века обычный подмастерье знал наизусть первые три системы умножения. Так же, судя по информации из открытых источников, в несколько действий считалось количество камня на фундамент Святилища, объемы неправильных геометрических форм, объемы погребов и масса/объем леса для сооружения жилища. Конечно, на сегодняшний день, о реальном применении такой арифметики знают только единицы, так как уже этому никто не учит! Но судя по количеству видов умножений, задачи решались куда более сложные! Далее таблицы умножения х'Арийской арифметики: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/wFu1...lSPdnVnKGQ#DSD https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/wFu1...lSPdnVnKGQ#DSD https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/wFu1...lSPdnVnKGQ#DSD https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/wFu1...vgLqnVHuEg#DSD __________________ |
Быстрый и точный перевод в двоичную систему счисления
Навык хорошего перевода между системами счисления часто является основополагающим для сдачи ОГЭ и ЕГЭ по информатике. Переводить надо быстро и точно, и именно таким методам посвящается эта статья. Я рекомендую познакомиться с системами счисления поближе, для этого у меня специально написана статья, где буквально на гайках разбирается, как записывать числа в позиционных системах счисления. Чем плох метод деления "уголком"? Классический метод деления "уголком" не удовлетворяет ни первому, ни второму критерию. Он очень медленный. Для перевода крупного числа, например, 192 в двоичную систему счисления, потребуется выполнить восемь делений (при оптимизированном варианте - 7) с остатком. Когда речь заходит о числах из 10, 12 и уж особенно, 16 заданий ЕГЭ, то такой метод просто становится неприменимым. https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/27VM...5rBI7bzEEw#DSD Задание №16, ещё достаточно простое. Потребует "всего" 15 делений.С точностью тут тоже беда. Очень мало людей умеют делить "уголочком" по-настоящему. Я в другой статье написал, как это делается, но там в комментариях налетели, прямо заклевали, сказали, что я не достоин, и что "мой" метод - только морока, и что в советские времена оооооо... Для проверки у меня есть 3 примера, которые с первого раза ещё никто не решил правильно. Хотя бы в одном, но ошиблись. (а решали бы по-моему, не ошиблись бы). Вот они: 6624:32, 10850:31, 10710:102. В трёх примерах ошибаются ВСЕ, а тут надо от 8 и больше делений делать. Ошибка гарантирована. ...из десятичной системы счисления в двоичную. К сожалению, уже на этом этапе экзаменуемые допускают арифметические ошибки по невнимательности...Это, между прочим, в официальном документе на сайте ФИПИ написано. Двоичные разряды и разрядные слагаемые Этот метод очень быстрый, требует только уметь складывать. Ошибки и тут не исключены, но их куда меньше. Суть метода: Нам нужен ряд разрядных весов, которые мы будем складывать, чтобы набрать нужную сумму. Для двоичной системы разряды идут (справа налево) 1,2,4,8,16,32,64... и т.д.: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/27VM...xqtdxIT6EQ#DSD Двоичные разрядыТеперь надо "набрать" из этого ряда наше число (которое надо было переводить), под каждым из них записывая "0", если оно не вошло в набор, и "1", если вошло. Например, число 231 https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/27VM...5rBI7bzEEw#DSD Подготовили "черновик"Ясно, что в наборе не может быть 256, 512 и далее, потому что они уже больше 231, уже перебор. А вот 128 нас устроит, но его не хватит, значит надо брать следующее - 64. Вместе уже будет 192: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/27VM...5rBI7bzEEw#DSD Взяли 128 и 64, получили 192.И до сих пор не добрались до 231. Добавляем 32: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/27VM...5rBI7bzEEw#DSD Взяли 128, 64 и 32, получили 224Всё равно не хватает. Ещё берём 16: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/27VM...5rBI7bzEEw#DSD Взяли 128, 64, 32 и 16, получили 240240 - это уже перебор, поэтому в 16 ставим "0", и берём 8: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/27VM...5rBI7bzEEw#DSD 128, 64, 32, 8. Получили 232232 - Ну почти! Надо 231. Убираем 8, берём 4: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/27VM...3b50_Lr4EQ#DSD 228Самые шустрые уже поняли: до 231 нужно набрать всего 3, а это будет двойка и единица: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/27VM...5rBI7bzEEw#DSD Бинго!Запись в таблице под горизонтальным рядом и есть запись числа в двоичной системе счисления. И так, для быстрого перевода требуется всего лишь ряд чисел, которые покрашены красным. Система построения этого ряда простая: каждый следующий больше предыдущего в (основание) раз. Для троичной 1, 3, 9, 27, 81, ... четверичная 1, 4, 16, 64, 256, 1024... Но только для двоичной системы мой метод даёт существенное ускорение, ибо имеются только цифры "0" и "1", для других придётся одно и то же число добавлять несколько раз, а в табличку записывать количество добавлений https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/27VM...5rBI7bzEEw#DSD Перевод в восьмеричную систему счисления Разрядное вычитание В предыдущем методе потребовалось выполнять "откаты" назад, потому что набранная сумма превосходила наше число. В методе "вычитания" так делать не придётся, но теперь вместо сложения (простого действия) надо делать вычитание (сложное действие). Подготовка аналогичная, ряд двоичных разрядов: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/27VM...xqtdxIT6EQ#DSD Снова ряд разрядовТеперь из числа 231 вычитаем те разряды, которые можно вычесть. С каждым вычитанием в таблицу вписываем "1", а если пропускаем, то "0". Я не буду подробно записывать, потому что это во многом повторит предыдущую главу: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/27VM...xqtdxIT6EQ#DSD Вычитаем, записывая каждое действие с помощью таблицы.В недвоичную систему перевод опять с подсчётом количества вычитаний. Перевод арифметическими действиями Последний способ, который я хочу сегодня показать - самый хитрый и самый быстрый перевод - комбинирует предыдущие два, но работает только с "хорошими" числами. Хорошими назовём те числа, которые близко от степеней двойки: 2, 4, 8,16,32,64,128,256,512 и т.д. Степени двойки в двоичной системе выглядят "круглыми", например, https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/27VM...xqtdxIT6EQ#DSD Количество нулей соответствует показателю степени. Нам нужно выбрать ближайшую степень двойки к нашему числу, записать её в двоичной системе, а потом вычесть или добавить двоичную запись разности между числом и степенью двойки. Пример Попробуем перевести число 250 из десятичной в двоичную. Ближайшая степень двойки - 256 (2 в 8й степени). Для того, чтобы из 256 получить 250, надо вычесть 6 (110 в двоичной, см перевод выше). https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/27VM...5rBI7bzEEw#DSD Вычитаем столбиком: https://zen.yandex.ru/lz5XeGt8f/27VM...xqtdxIT6EQ#DSD ВычитаниеВсё. Готово. Ещё раз, метод безумно быстрый, но работает не со всеми числами, и требует умения вычитать и складывать столбиком. Зато любым другим методом на этот перевод уйдёт уйма времени. Кстати, этот метод подразумевается в том самом 16м задании ЕГЭ и 10м задании ОГЭ. Заключение Мои методы частично изучаются в школах (например, метод "вычитания"), но почему-то ученики их не очень любят, а всё время скатываются в "деление уголком", совершая сотни ошибок, от вычислительных до банального "не с той стороны записал остатки". Тем не менее, если разобраться в них, каждому будет достаточно небольшой тренировки, чтобы переводить числа из десятичной системы в двоичную (и даже обратно) так быстро, что это покажется магией. PS Ставьте лайк, пишите в комментариях, что непонятно. Не забудьте подписаться на мой канал, потому что я ещё хочу разобрать подробнее сложение и вычитание в позиционных системах счисления (для последнего метода), обратный перевод в десятичную систему, и "экспресс" перевод между системами с основаниями 2,4,8 и 16. |
Как «бесполезной» Булевой алгеброй мы каждый день стали пользоваться
Двоичный код, пришедший к нам, казалось бы, с компьютерами, на самом деле это Универсальный Код Вселенной. Универсальный язык. Поэтому всякие послания инопланетянам, диски вояжёров - шифруют с помощью него. А началось все ещё в 1800-х лохматых годах. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...01d/scale_1200 Джордж Буль, широко известный в узких кругах, математик, решил разработать нечто не приспособленное к жизни. Ни к чему не пригодное. Математикам вообще свойственно изобретать такие вещи. Потом многое из их изобретений используется в прорывных технологиях. Джордж Буль, да не закатится в веках его имя, в этот раз придумал алгебру, основанную всего на двух цифрах: 0 и 1. У нас-то цифр десять, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. А Джо Буль разработал целую арифметику и алгебру, основанную всего на двух цифрах: 0 и 1. Целый, как говорится, математический аппарат. Как это все складывать, умножать, делить. А так же в ней, как её назвали, в "Булевой алгебре", возникли и некоторые новые действия. Сдвиг - влево или вправо, Сравнение по модулю, Отрицание, всякие там дистрибутивные решетки, дизъюнкции и конъюнкции как арифметические действия, не буду вас грузить. Желающие все это узнать могут совершить обряд некромантии и спросить самого Буля, ну или посмотреть в интернете. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...dc1/scale_1200 Ещё её называют "логическая математика", так как 1 и 0 это "Да" и "Нет". Мужская математика, все понятно, и придумал её Буль на основе формальной логики. Позже к ней подключился и слабый пол, вследствие чего в ней возникло кроме "Да" и "Нет" третье состояние: "Может быть". Следует ожидать дополнения её состояниями "Я посмотрю на твоё поведение" и "Туфли", но это дело будущих математиков. Мнда, а закончилось же все это - ничем. Ну, разработал это Буль, сделал доклад о курьезной алгебре. Его разработку сдали в архив, автору выдали заслуженные почести, его облепили восторженные студентки со своими идеями. Но применить-то её некуда, хоть и хороша штучка. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...13b/scale_1200 А через сто лет изобрели Компьютеры. Внутри у компьютеров тоже два состояния: 0 и 1. Это диктовалось самой конструкцией первых компьютеров: реле выключено - это ноль, "нет". Реле включилось - это единица, "да". То же самое было у электронных ламп (напряжение на сетке есть/нет), у транзисторов (открыт/закрыт), да и у современных микроконтроллеров и процессоров. У них ячейка памяти либо насыщена, либо нет, на магнитной ленте домен повернут либо нет, да и сама вычислительная часть состоит из тех же насыщенных/нет микротранзисторах. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...5b5/scale_1200 Ну хорошо, придумали первый компьютер: занимает первый этаж здания, реле щёлкают, клацают, магнитные ленты крутятся, электроэнергии жрет столько, что не напасешься, но: запомнить что-то уже может. На уровне да/нет. И вот в эту вычислительную громаду с реле идеально легла вытащенная из архивов Булева алгебра, основанная на да-нет, 0 или 1. И её применение в компьютерах дало мощный рывок развитию вычислительных машин. Теперь они все считают в нулях и единицах, и каждый раз, тапая пальцем по экрану, мы заставляем процессор проделывать массу вычислений в Булевой алгебре. А король всех компьютерных языков: Ассемблер - так это прямое ее воплощение. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...75d/scale_1200 Но на самом деле это и универсальный галактический код. Если бы мы шифровали наши послания в обычной математике, от нуля до десяти, то.. Откуда мы знаем, какая у инопланетян математика? Для нас «чуть больше половины» это шесть. А для других цивилизаций это может быть «три», или «18». А двоичный код понятен всем. Лампочка горит-нет, звезда горит-нет, дырка на носителе информации пробита-нет... Вокруг нас очень много основано на этих двоичных состояниях. Этот код должен быть понятен любому существу во вселенной, ибо в основе его лежит сама физика мироздания. |
Что представляет из себя «геометрия Лобачевского» простыми словами?
Математика Кощеев Артем · зима 2019 2,4 K Надежда Шихова · Редактор и переводчик книг по математике · zen.yandex.ru/maths Чтобы представить себе геометрию Лобачевского, лучше всего сравнить ее с привычной евклидовой. Евклид построил первый образец геометрии. Он перечислил основные понятия, вроде «точка», «прямая»… Потом — основные аксиомы, которые принимались без доказательств, настолько они были очевидны. Например: «из любого центра можно описать окружность любым радиусом»; «все прямые углы равны»… А уж потом из этих аксиом чередой выводил вереницу теорем. В этой стройной системе была закавыка — один постулат (пять аксиом Евклид назвал постулатами) выглядел неуклюже. Больше двух тысяч лет после Евклида математики пытались показать, что этот постулат лишний; что его можно вывести из остальных аксиом. Кто только этим не занимался: Омар Хайам, Лежандр, Бельтрами, Ламберт… Николай Иванович Лобачевский сначала тоже попытался доказать пятый постулат, методом «от противного». https://avatars.mds.yandex.net/get-z...5341f5954/w480Лобачевский предположил другой постулат вместо пятого и надеялся из этого предположения вывести вереницу теорем так, чтобы какие-нибудь были противоречивы. Тогда можно было бы сделать вывод, что предположение ложное, а значит, пятый постулат Евклида истинный. Так он выводил одну теорему за другой и в конце концов понял, что просто строит другую — неевклидову — геометрию. Ее утверждения казались парадоксальными:
Как все нарисовать, придумали другие люди, и уже после смерти Лобачевского. Они создали модели геометрии Лобачевского. Модель — не то же самое, что геометрия. Модель позволяет нам представить и увидеть, что происходит в плоскости Лобачевского — а увиденное уже проще понять. Чтобы представить себе геометрию Лобачевского, надо отказаться от представления, что плоскость выглядит как бесконечный во все стороны лист бумаги, что прямая выглядит так: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...52997124f/w480В модели Пуанкаре на диске, например, плоскость выглядит как круг без края: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...0bd956181/w480Представьте себе, что на этой плоскости живут коротышки, и что размеры всех объектов на плоскости уменьшаются при удалении от центра. Идет такой коротышка от центра к абсолюту (так называется край), и становится все меньше и меньше, а ножки у него все короче и короче. Идет он, идет, а до края дошагать никак не может — чем ближе к краю, тем ближе длина шага к нулю. А раз до края дойти не может, плоскость кажется ему бескрайней. Точки в его мире выглядят так же, как в нашем. А прямыми в его мире считаются евклидовы диаметры диска и куски евклидовых окружностей, перпендикулярных абсолюту, несколько прямых нарисованы синим. В такой геометрии можно определить углы между прямыми, расстояния и преобразования, которые сохраняют расстояния. С теоретической точки зрения геометрии Евклида и Лобачевского равноправны. А вот какая из них верно описывает наш мир — большой вопрос. Многое зависит от масштаба. Мы с вами знаем, что поверхность Земли больше похожа на шар, чем на плоскость; но размечая грядки на даче, мы об этом не думаем, для дачного масштаба хватает плоского приближения. Наш бытовой жизненный опыт говорит нам, что мы живем на плоскости; чтобы увидеть шар, надо перейти к планетарным масштабам. Сам Лобачевский проводил астрономические наблюдения и вычисления, но его результаты не были достаточно аккуратны, чтобы определить, какая именно геометрия реализуется в нашем мире. Собственно говоря, науке до сих пор это неизвестно наверняка. Про разницу между геометрией и моделью Модели геометрии Лобачевского своими руками |
Просто прикольная математика. Число 153.
4 декабря 2019 8,2 тыс. дочитываний 50 сек. 9,1 тыс. просмотров. Уникальные посетители страницы. 8,2 тыс. дочитываний, 90%. Пользователи, дочитавшие до конца. 50 сек. Среднее время дочитывания публикации. Привет, други мои! https://avatars.mds.yandex.net/get-z...805/scale_1200 Изображение соответствует теме публикации. Поймете почему, когда прочтете :) Тем, кто меня часто читает, может показаться, что я слишком часто стал писать о всяких числах. Да, это действительно так, эту тему можно очень долго педалировать, потому как в числовом ряду куда ни плюнь, попадёшь в число с интересными свойствами.Свойства эти в практическом смысле оказываются просто бесполезны и не применимы на практике, но математики тратят кучу времени на поиск всякой подобной всячины. Существуют в математике так называемые числа Армстронга. Их еще называют самовлюбленными. Натуральные числа, которые равны сумме своих цифр, возведенных в степень, равную количеству этих цифр называют самовлюбленными (или числа Армстронга) А теперь по-русски :)Возьмем для наглядности первое многозначное число в этом ряду: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...4fd/scale_1200 3-я степень, потому что число состоит из 3 цифрРяд чисел Армстронга не является бесконечным, как большинство других рядов. Всего существует 88 подобных чисел. И последнее - 39-значное. Вот кстати и оно: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...502/scale_1200 Вдруг кому-то станет интересно пересчитать его.В других системах счисления также существует подобное, но рассказывать об этом в рамках данной публикации я конечно же не буду. |
Эта инструкция научит вас умножать тысячи в уме. Сколько будет 5185 на 8018?
Вам нужна только математика начальной школы https://www.iphones.ru/wp-content/up.../Таблицы-F.jpg Чтобы умножать без бумаги, нужно на уровне рефлекса освоить два навыка: I. Знать таблицу умножения II. Складывать числа Пункты важны, потому что будете десятки раз повторять операции. Получается просто, но много. Отточить умножение поможет приложение УмноЖатель Уделяйте тренировке не больше пяти минут за подход. Потом запоминать сложнее, а после тройки долгих сессий цифры начнут раздражать. Быстро складывать получится точно таким же постоянным запоминанием. Почти нигде не просят знать таблицу сложения, а она есть. Если до десяти цифры знают почти все, то после этого порога начинается ступор. На лету вспомнить, какое число будет в следующем десятке полезнее в жизни, чем любое другое вычисление. Поэтому качайте и запоминайте. Ещё один способ сложения, которого некоторые стесняются – довод до десятка. Это когда к одному числу сначала добавляют до круглого значения часть из второго, а потом плюсуют остаток: 8+5 = 8+2+3 = 10+3 = 13 В этом способе нет ничего стыдного, он эффективен, и с практикой доводится до автоматизма. Когда научитесь на лету умножать и складывать элементарные значения, вставайте на продвинутый уровень: расчёты четырёхзначных чисел. Операции с умножением тысячей в уме можно разделить на два типа: умножение на однозначные и многозначные числа.Как умножить тысячи на однозначное число https://www.iphones.ru/wp-content/up...а-одно-F-1.jpg Чтобы получить ответ на, допустим, пример 3864∙7, вам поможет система Разбить-умножить, разбить-сложить. Так выглядит алгоритм: 1. Разбиваем большое число на единицы, десятки, сотни и так далее. 3864 = 3000 + 800 + 60 + 4 2. Умножаем каждый кусочек на второе число. 3000∙7 = 21000 | 800∙7 = 5600 | 60∙7 = 420 | 4∙7 = 28 3. Разбиваем результаты на простые группы одного размера. 21000 = 20000+1000 | 5600=5000+600 | 420 = 400+20 | 28 = 20+8 20000 | 1000+5000 | 600+400 | 20+20 | 8 4. Складываем группы с конца. 20000 + 1000+5000 + 600+400 + 20+20 + 8 20000 + 6000 + 1000 + 40 + 8 27048 Хотя на бумаге способ получается долгим, через несколько дней тренировка даст заметные результаты в скорости. У вас улучшится краткосрочная память, и вместимость чисел для сложения постепенно увеличится. Важнее всего не потерять куски при последнем сложении. Этот этап доведёте до автомата постоянной практикой. Отличие метода от привычного столбика в том, что мы постоянно дробим элементы на лёгкие частицы, которые быстро складываются. Как умножить тысячи на многозначное число https://www.iphones.ru/wp-content/up...Снежинка-F.jpg Здесь поможет система Якова Трахтенберга. Во время заключения нацистами математик нашёл способ счёта особо крупных чисел в уме. Предупреждаю, что способ подойдёт только тем, кто наработал краткосрочную память на большой массив чисел. Поскольку вам придётся долго держать остаток в уме и параллельно делать десяток сложений. Запомните метод как Принцип снежинки. В качестве примера решим 5362∙2934. Алгоритм такой: 0. Представьте числа привычным столбиком. 1. Перемножьте конечные (2∙4) цифры сверху и снизу. Предпоследнюю цифру при наличии держим в уме (0), последнюю отправляем в результат (8): ** *** **8. https://www.iphones.ru/wp-content/up...020/06/1-9.jpg 2. Перемножьте предпоследнюю цифру верхнего числа на последнюю нижнего (6∙4) и наоборот (3∙2). Сложите результаты с тем, что храните в уме (24+6+0=30). Держим остаток (3), а последнее число ставим в итог слева от предыдущего (0): ** *** *08. https://www.iphones.ru/wp-content/up...020/06/2-6.jpg 3. Умножьте вторую цифру верхнего числа на последнюю нижнего (3∙4) и наоборот (9∙2). Сложите результаты (12+18=30), а к ним добавьте умноженные друг на друга третьи цифры (6∙3) и остаток в уме (30+18+3=51). Получили десяток в уме (5) и третью с конца цифру (1): ** *** 108. https://www.iphones.ru/wp-content/up...020/06/3-6.jpg 4. Умножьте первую цифру сверху на последнюю снизу (5∙4) и наоборот (2∙2). Умножьте вторую цифру сверху на третью снизу (3∙3) и наоборот (9∙6). Сложите четыре числа и пятое из ума (20+4+9+54+5=92). Получили десяток в уме (9) и четвёртую с конца цифру (2): ** **2 108. https://www.iphones.ru/wp-content/up...020/06/4-3.jpg 5. Умножьте первую цифру верхнего числа на третью нижнего (5∙3) и наоборот (2∙6). Сложите результаты, а к ним добавьте умноженные друг на друга вторые числа (3∙9) и остаток в уме (15+12+27+9=63). Получили десяток в уме (6) и пятую с конца цифру (3): ** *32 108. https://www.iphones.ru/wp-content/up...020/06/5-5.jpg 6. Умножьте первую цифру верхнего числа на вторую нижнего (5∙9) и наоборот (2∙3). Сложите результаты с остатком в уме (45+6+6=57). Получили десяток в уме (5) и пятую с конца цифру (7): ** 732 108. https://www.iphones.ru/wp-content/up...020/06/6-4.jpg 7. Умножьте первую цифру верхнего числа на первую нижнего (5∙2). Сложите результат с остатком в уме (10+5=15). Запишите всё число перед итоговым: 15 732 108. Вы получили ответ. https://www.iphones.ru/wp-content/up...020/06/7-4.jpg Если ваш множитель двух- или трёхзначный, то вместо недостающих цифр нижнего ряда подставляйте нули. В таком случае последним этапом будет тот, где вы умножаете максимальное количество пар. https://www.iphones.ru/wp-content/up...Промежуток.jpg Принцип снежинки намного проще, чем умножать столбиком. Вам не нужно держать в уме много крупных чисел сразу. Важна только структура: запомните нарастающий порядок умноженных пар и что с чем нужно складывать. Единственной сложностью останется запомнить результат, который вы постепенно выстраиваете. Чаще тренируйте память вариантами проще, например, умножением двух- и трёхзначными числами в приложении Устный счёт. И тогда сможете считать миллионы, не коснувшись бумаги. |
Видео: разгадали знак бесконечность — что скрывает лента Мёбиуса
Математик и механик Август Фердинанд Мёбиус написал большое количество научных работ за свою жизнь, но стал известен уже в немолодом возрасте после того, как сделал одно удивительное открытие. Как родилась лента Мёбиуса Мёбиус трудился в области науки всю свою жизнь и будучи уже немолодым стал знаменит. Но он не успел оценить тот вклад, который внес в науку. Развернутая статья об этом была написана уже после его смерти. Как была открыта односторонняя поверхность в точности неизвестно, но существуют две распространенные версии. https://vashurok.ru/ckeditor_assets/...ta_Mebiusa.jpg Лента Мёбиуса В первом случае ученому очень помогла простая женщина, которая служила у него горничной. Она занималась всеми делами по дому, в том числе шитьем одежды и штопкой. Во время ремонта сорочки своего хозяина она неправильно прострочила воротник. И такая ошибка в ее работе вошла в историю. По второму утверждению, женщина сшила неправильно концы одной ленты. Так или иначе, Август Мёбиус увидел работу горничной и сделал уникальное открытие в науке. Лента применяется в науке и повседневной жизни. По ее принципу работает лента аэропорта, на которой пассажиры встречают свой багаж. Применяется открытие математика и в станкостроении, принтерах, при записи на пленку. Простота сложности объекта Многие заметили сходство ленты со знаком бесконечности, который выглядят как расположенная горизонтально восьмерка. Официальное наименование знака звучит «лемниската» и переводится с древнегреческого «лента». Другие название ленты Мёбиуса — лист, петля или кольцо. Эта поверхность является в математике одной из самых известных. У петли одна поверхность и один край. Казалось бы, незамысловатая конструкция, но не все так просто. Наука, которая изучает подобные объекты называется топология. Это область математики, придуманная Иоганном Листингом. Этот немецкий физик и математик известен и другим — он тоже открыл ленту, причем тоже в 1858 году. Именно тогда он придумал и термин математической области. Но в наименовании ленты было закреплено название не по его фамилии. https://vashurok.ru/ckeditor_assets/...Glyptothek.jpg Древняя мозаика с изображением кольца, скрученного по типу ленты Мёбиуса Как сделать ленту Мёбиуса Можно сделать ленту самостоятельно, это очень просто. Понадобится лента или полоска, вырезанная из листа бумаги. Нужно только соединить ее концы, но перед этим повернуть на 180 градусов один из них. Чтобы убедиться, что эта конструкция является примером односторонней не ориентируемой поверхности, возьмите карандаш или фломастер и попробуйте раскрасить только одну ее сторону. Этот процесс вернет вас в начальную точку, но при этом вся лента будет закрашена. И это доказывает, что сторона у нее одна. Хорошо забытое открытие В древности о ленте люди уже знали. В этом можно убедиться, если взглянуть на мозаику III столетия н. э., на которой помимо людей изображено большое кольцо, которое свернуто именно так, как и лента Мёбиуса. https://www.youtube.com/watch?time_c...ature=emb_logo |
https://www.youtube.com/watch?v=bbWDkTLSqAw
https://yandex.ru/images/search?text...png&rpt=simage http://primat.org/publ/programmy_na_...evo/26-1-0-272 Дерево Пифагора Автор Дмитрий Шахов
Оцените материал (4 голосов) https://m-rush.ru/media/k2/items/cac...10820513_L.jpg Дерево Пифагора является плоской фрактальной фигурой построенной из квадратов. Впервые фигура построена голландским учителем математики Альберт Э. Босманом в 1942 году при помощи линейки. Данную фрактальную фигуру он назвал в честь древнегреческого математика Пифагора, потому что каждая тройка касаясь квадратов охватывает прямоугольный треугольник, данные конфигурации традиционно используются, чтобы изобразить теоремы Пифагора. Если самая большая площадь имеет размеры L × L, все дерево Пифагора плотно помещается в коробку размером 6L × 4L. Тонкости дерева напоминают кривую Леви. https://m-rush.ru/images/treepiphago...er (1).svg.png Построение Построение дерева Пифагора начинается с квадрата. По этой площади построены два квадрата, каждый уменьшен линейным коэффициентом ½ √ 2, так что углы квадратов совпадают попарно. Такая же процедура применяется рекурсивно, то к двум - еще меньшие квадраты, до бесконечности. На рисунке ниже показаны первые несколько итераций в процессе строительства. https://m-rush.ru/theory/item/images/treepiphagor/2.pnghttps://m-rush.ru/theory/item/images/treepiphagor/3.pnghttps://m-rush.ru/theory/item/images/treepiphagor/4.pnghttps://m-rush.ru/theory/item/images/treepiphagor/5.png Площадь N - итерация в строительстве добавляет 2n квадраты размером (½ √ 2) N, в общей площади 1. Таким образом, может показаться, в этой части дерево растет неограниченно в пределе N → ∞. Тем не менее, некоторые из площадей перекрываются, начиная с порядка 5 итерации, и дерево на самом деле имеет конечную площадь, поскольку она соответствует размерам в 6 × 4. Это нетрудно доказать, что площадь А дерева Пифагора должна быть в диапазоне от 5 <А <18, которая может быть сужена в дальнейшем дополнительными усилиями. Изменение угла Интересный набор вариаций может быть построен путем поддержания равнобедренного треугольника, но изменения базового угла (90 градусов для стандартного дерева Пифагора). В частности, когда базовый половинный угол составляет 30 ° = арксинус (0.5), легко видеть, что размер клеток остается постоянным. Первое перекрытие происходит на четвертой итерации. Общая схема является по сути, ромббитригексагональной плиткой, где массив из шестиугольников граничит с конструкцией квадратов. https://m-rush.ru/theory/item/images...ng10th.pdf.jpg https://m-rush.ru/theory/item/images...ang4th.pdf.jpg В пределе, когда половинный угол составляет 90 градусов, то, очевидно, не перекрываются, и общая площадь в два раза превышает площадь основания квадрата. Было бы интересно узнать, есть ли связь между алгоритмическим значением базового половинного угла и итерации, на которой квадраты накладываются друг на друга. Измененное и модифицированное дерево Пифагора (фрактал) для применения в антенной технике. Использование оригинального фрактального дерева Пифагора (UPTF) изобретено голландским математиком, Альберт E.Босманом в 1942 году. Дерево Пифагора является 2D фракталом построенным из квадратов. Как уже описывалось ранее, начиная с пятой итерации некоторые из площадей перекрываются, и дерево - фрактал фактически имеет конечную площадь, поскольку она помещается в размер 6 × 4 - коробки. По этой причине необходимо задержать перекрытие пальцами левой и правой руки UPTF в 4-й итерации, таким образом, мы проектируем MPT - фрактал путем устранения первых итераций большой площади и изменим равнобедренный прямоугольный треугольник равнобедренным треугольником с крутыми углами (α = 10 град), чтобы уменьшить высоту фрактала и спроектировать компактные антенны. Наша цель в проектировании ЛПУ является использование этого фрактала для управления пропускной способностью и сопротивлением резонансов. На основе результатов моделирования изменения дерева Пифагора замечена очень хорошая возможность миниатюризации из-за его свойства самоподобия, без значительного снижения пропускной способности и эффективности антенны. Фламандский художник Jos de Mey создал много работ с деревом Пифагора в качестве основного мотива. Ниже вы можете увидеть его работы. https://m-rush.ru/theory/item/images...phagor/_60.jpghttps://m-rush.ru/theory/item/images...phagor/_61.jpg https://m-rush.ru/theory/item/images...phagor/_62.jpghttps://m-rush.ru/theory/item/images...emey-tree9.jpg http://demonstrations.wolfram.com/PythagorasTree/ - Фрактальная конструкция, основанная на теореме Пифагора. Это асимметричный вариант; симметричный вариант также возможен. http://demonstrations.wolfram.com/download-cdf-player.html - скачать плеер для просмотра Источник: http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagoras_tree_(fractal) Перевод: Дмитрий Шахов |
|
Почему нельзя вычислить точную площадь круга? Что же такое число Пи?
9 июня 55 тыс. дочитываний 2,5 мин. 76 тыс. просмотров. Уникальные посетители страницы. 55 тыс. дочитываний, 72%. Пользователи, дочитавшие до конца. 2,5 мин. Среднее время дочитывания публикации. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...22e/scale_1200 Добрый день, уважаемые гости и подписчики канала "Строю для Себя"! На данный момент, математика дает четкое определение числа Пи - это константа, которая равна отношению длины окружности к ее диаметру. Согласно исторических данных, считается, что число Пи было выведено 3500-3800 лет назад древними вавилонянами, а первый метод расчета этого числа принадлежит Архимеду Сиракузскому в 250 году до н.э. Он использовал метод описанных и вписанных в круг правильных многоугольников. Таким образом, Архимед рассчитал, что Пи находится в интервале от 3 1/7 до 3 10/71. С его открытия, в течение порядка 1000 лет ученые всех уголков мира пользовались этими значениями, а сегодня некоторые до сих пор называют Пи как постоянное число Архимеда. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...ef1/scale_1200 Приблизительно в 265 году уже нашей эры, - великий математик Лю Хуэй использовал свой алгоритм расчета. Он сделал, схожие с методом Архимеда, расчеты для правильного N-угольника с 3072 углами, тем самым получив примерное значение числа Пи 3,14159 https://avatars.mds.yandex.net/get-z...0e6/scale_1200 В разные временные периоды, значение числа Пи имело разное значение. Из столетия в столетие, это число рассчитывалось все точнее и точнее, и после появления первой вычислительной техники, значение данного числа приобрело 4 000 000 000 знаков после запятой десятичной дроби, на сегодняшний день оно имеет 206 млрд. знаков. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...1d5/scale_1200 Интересный факт, что число существовало как просто число, а буквенное обозначение "π" (Пи), оно получило лишь в начале 18 века от двух греческих слов "окружность" и "периметр" (περιφέρεια и περίμετρος).Вплоть до сегодняшнего дня, математикам всего мира так и не удалось получить конечное число Пи и соответственно, так же неизвестно, какие из цифр от 0 до 9 и сколько раз встречаются в десятичной дроби. Современная ЭВМ лишь рассчитала 206 миллиардов знаков после запятой, и было открыто, что все 10 цифр в числе Пи встречаются примерно одинаковое количество раз и на этом исследование завершено. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...14e/scale_1200 Таким образом, все мы понимаем, что число Пи является бесконечным числом, поэтому предела точности расчета площади круга, а также других фигур, где в расчетах используется число Пи - не существует. Даже используя современный компьютер, мы лишь можем вычислить максимально приближенное значение, но никак не точное! |
http://www.decoder.ru/media/pic_middle/0/2176.jpg
Математика нулей и бесконечностей. Главная Новости Математика нулей и бесконечностей. 8 Анатолий другие темы автора » 3 апреля 2016 в 22:52 — 1788663 просмотра — 650 комментариев Философия — метки: математика нулей и бесконечностей, нулевое пространство, метаматематика, бесконечно малые, бесконечно большие, пределы, геометрия нуля, геометрия бесконечности, евклидова геометрия [Картинка №2176] Преамбула. В1982 году мной была написана работа по математике. Она пролежала и пылилась на протяжении 34 лет и я все не решался пересмотреть ее. ДА и сейчас Я не испытываю большого желания ее публиковать. Трудно объяснить с чем это связано, может быть тем что сейчас это не вовремя, с житейскими трудностями и делами, которые требуют куда более неотложного внимания. Но ряд статей и размышлений в этих статьях меня все же подталкивает ознакомить читателей со своим пониманием фундаментальных понятий в математике, таких как бесконечность, ноль, единица. Эти ряд статей о которых я говорю это: Геометрия элементарных частиц. http://www.decoder.ru/list/all/topic_157/ Движение: непрерывно или дискретно? http://www.decoder.ru/list/all/topic_185/ Три кита квантовой физики http://www.decoder.ru/list/all/topic_240/ И ряд других. История возникновения этой работы весьма странное. Я не математик, да и математикой в школе не увлекался, но при определенных обстоятельствах я вдруг решил разобраться в некоторых вопросах и пришел к выводам которые сильно отличаются от привычной математики, да и дальнейшие исследования этого вопроса, штудирование высшей математики в известных пределах привело меня к решениям, которых нет в принятой математике. Я отослал работу в Математический институт им. В. А. Стеклова РАН Ответ рецензента был просто потрясающим. Видимо он вообще не прочел тему, так как написал в ответе " бесконечность не есть число" Не читал, потому что я доказывал что бесконечность именно есть число! Хотя и доказывать нечего, можно просто постулировать это, как принято, когда вроде бы и доказать невозможно. http://www.decoder.ru/list/all_1/topic_243_1/#comments Если Бога выразить в числах, то Бог - это Ноль, Единиц и Бесконечность. В этом триединстве сокрыта вся тайна. Все многообразие чисел - это эти три числа. Все числа состоят именно из них. И в единице сокрыта бесконечность. Можно понять так же, что в конечность сокрыта бесконечность. Но об этом рано говорить. Попробуем все же поработать с бесконечностью и понять что же это за число и как с ним работать. http://www.decoder.ru/media/pic_middle/0/2188.jpg это высшая математика Так например в высшей математике бесконечность х бесконечность порождает абсурдное = бесконечности. Хотя те же математики понимаю что любое n x n = n в квадрате. еще большие курьезы проиходят с понятиями ВИДЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ. где утверждается что вот эти выражения неопределенны: http://www.decoder.ru/media/pic_middle/0/2249.jpg http://www.decoder.ru/media/pic_middle/0/2250.jpg Что верно? http://www.decoder.ru/media/pic_middle/0/2280.jpg или http://www.decoder.ru/media/pic_middle/0/2281.jpg Ну во-первых, если в математике любое N = N то первое равенство естественно безусловно. Оспаривать его не представляется возможным. Мы не ставим N ------------- Lim бесконечность, потому что это просто лукавство математиков. Любой LIM - это ограничение. и к ограничению можно стремиться, а можно его и достичь. Нельзя стремиться к тому чего нет. Могут возразить и сказать ну вот горизонт, вы к нему приближаетесь, а дойти до горизонта невозможно. Могу успокоить. Горизонта не существует. Это условная линия. Мы эту условную линию называем горизонтом. Если математики утверждают что чисел не существует, а это все их условности. - ну тогда пожалуйста! Только тогда не забудьте отменить математику в школе и закрыть математические факультеты. Что вы преподаете? Пшык? Фикцию? НЕСУЩЕСТВУЮЩЕЕ? По большому счету да, так именно и есть! Природа не имеет числа. Число - это плод ВООБРАЖЕНИЯ. Но ведь математик никогда в этом не признается. Дурить столько тысячелетий голову всем, а потом признаться что просто дурили голову? Так что оставив это камикадзе от математики который прилюдно сделает харакири.. и продолжим. Что собой представляет второе уравнение? а именно вот это: http://www.decoder.ru/media/pic_middle/0/2281.jpg Так как формула обратима, то из этой формулы вытекает : http://www.decoder.ru/media/pic_middle/0/2282.jpg А у математиков 0 + 0 +0 = 0 И 0 х 0 = 0 И 1х 0 = 0 Вот почему выражение http://www.decoder.ru/media/pic_middle/0/2282.jpg Они будут отметать всеми фибрами своей души. 0 (ноль) для них НИЧТО! И я тоже самое утверждал 34 года тому назад. С полной увереностью в своей правоте. Осознал я что уравнение 1/ бесконечность = 0 через ... геометрию. Дело в том что мысленно линию можно уничтожить полностью, а можно уничтожить до точки. Когда мы ставим в пространстве точку (что несомненно являеться аналогом 0) мы тем самым делаем ее не только абсолютным НИЧТО. а одновременно и НЕЧТО. Точка становиться отправным пунктом. я понимаю что точки не существует в во Вселенной. дело не в этом. Дело в нашем мыслительном аппарате, в РАЗУМЕ. Я же обсуждаю не то что в РЕАЛЬНОСТИ, в Мире -Вселенной, а то что у нас в Разуме. А разум лишь отражение дейсвительности (причем искаженное представление) Именно Геометрия Евклида и привела меня к результату, что ТОЧКА равная 0 являеться НЕЧТО. Это с одной стороны ОТСУСТВИЕ. а с другой стороны и ПРИСУТСТВИЕ. Вы можете проделать эксперимент. Ну возьмите лист бумаги и посмотрите на эту бумагу. а потом поставьте точку. У нас будет два совершенно разных рисунка. дело не в том что точка УСЛОВНА. Что мы ее рисуем порой очень даже жирной. нет! Дело в другом. В ПРИСУТСТВИЕ И ОТСУТСТВИИ ТОЧКИ. Чистый лист бумаги это отсутствие, а вот точка на листе бумаги это присутствие. И пусть это НОЛЬ! Но он присутствует. это НАЧАЛ КООРДИНАТ! И между прочим рисуя графики мы рисуем координаты не с бесконечно малой величины, а рисуем его с НУЛЯ! Когда мы даже вычитаем 1 - 1 и пишем 1 - 1 = 0, то тем самым этот 0 является ПРИСУТСТВИЕМ в уравнении. И мы его даже называем числом. Дуализм нуля был не замечен математиками. Точно так же как и дуализм точки. Это вполне естественно. Потому что в 0 в ТОЧКЕ теряется вся геометрия Евклида. Точка является ПРЕДЕЛОМ познания. Мы не можем знать что есть НУЛЕВОЕ ПРОСТРАНСТВО - ТОЧКА НОЛЬ! По существу и бесконечность мы не может знать. Геометрия Евклида не действует в бесконечности, эта геометрия рассчитана только на ограниченное пространство! И все разговоры о параллельных линиях - это все чисто мыслительный процесс, и до конца не определяют бесконечное пространство Вселенной. В Нулевом пространстве мы теряем ВСЕ КООРДИНАТЫ. Но хотим мы этого или не хотим мы из ТОЧКИ строим координаты пространства. и хотим мы этого или не хотим мы из НУЛЯ строим всю математику! Как только мы подходим к формуле http://www.decoder.ru/media/pic_middle/0/2281.jpg Разум перестает понимать, что это и есть ОТПРАВНАЯ ТОЧКА МАТЕМАТИКИ! А бесконечно малая величина не может являться отправной точкой. И вот почему. потому что если ВЕЛИЧИНА, то величину можно делить. И математики начинают делить! Но для этого им нужна бесконечность другой мощности Но и это их не спасет! Ни одна бесконечность ни одной мощности их не приведет к нулю! И с важностью педанта они вам это будут объяснять в институте. и засорят вам так мозги что эти Авгиевы конюшни вы не разгребете за всю свою жизнь! Они будут стремиться к нулю, но никогда его не достигать! Даже просто удивительно как математик может дойти до туалета! Еще Зенон сомневался что Ахиллес догонит черепаху. то я вот сомневаюсь что математик дойдет до туалета! Потому что он должен начать свое движение с НУЛЯ! А с нуля у него никак не получиться, потому что для него ) это НИЧТО! Когда математик идет до туалета, то он ИЗЖИВАЕТ отрезок от того места откуда идет до туалета. Изживая отрезок. он доходит до НУЛЯ! Но вычитает он отрезок или делит его не имеет значение, потому что деление это праобраз вычитания. это одна из форм вычитания! Если в голове еще укладывается что бесконечность / бесконечность будет = 1, то понять что 1/ бесконечность = 0 он просто не в состоянии. А уж понять что 0 + 0 не равно 0 - так уж тем более! Он будет утверждать что 0+0 = 0 Но тем самым он утверждает что N+N = N Но этого он не в состоянии осознать. И чего они тогда графики рисуют ОТ НУЛЯ - они тоже не в состоянии понять, но чертят! А потом начинают утверждать что мир ДИСКРЕТНЫЙ! И выходит у них не мир, а МУЛЬТИПЛИКАЦИЯ! потому что и время же они также не могу довести до НУЛЯ. Когда мы ставит точку в пространстве, то тем самым мы обозначаем нулевое пространство! http://www.decoder.ru/media/pic_middle/0/2283.jpg Это пространство не имеет измерений. И математически это 0 (ноль!) Но это ОПРЕДЕЛЕННОЕ нулевое пространство, оно уже ПРИСУТСТВУЕТ. Вот его ПРИСУТСТВИЕ - и есть то НЕЧТО, что его определяет. да оно УСЛОВНО. Но условность не делает его несуществующем в нашем сознании. В сознании это присутствует. Да оно НЕ ИМЕЕТ ЧАСТЕЙ, но присутствует. Это может быть и НАЧАЛОМ и может быть одновременно КОНЦОМ. Конец и начало СОЕДИНЕНЫ И СЛИТНЫ. Это ПРИЧИНА И СЛЕДСТВИЕ - неразрывные в своей сути,.не разделенные никаким интервалом.. Движение этой точки в пространстве дает нам линию - одномерное пространство РАСШИРЕНИЕ ЭТОЙ ТОЧКИ дает нам трехмерное пространство. (Во всяком случае то что мы представляем как трехмерное пространство.) Точка это начало любых координат. Короче, интересно и там еще много всего дальше))) |
Раскрытие неопределённостей
Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:
https://wikimedia.org/api/rest_v1/me...a4ff61ee626220https://wikimedia.org/api/rest_v1/me...7818737ff3e466https://wikimedia.org/api/rest_v1/me...64afa3e6e6a94ehttps://wikimedia.org/api/rest_v1/me...2f440394858434https://wikimedia.org/api/rest_v1/me...33121431e0aadbhttps://wikimedia.org/api/rest_v1/me...b2f5300a86297ehttps://wikimedia.org/api/rest_v1/me...2503e4d622418f https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0...82%D0%B5%D0%B9 |
Запредельные числа: математик объясняет гуманитариям, что такое бесконечность
https://theoryandpractice.ru/posts/1...-beskonechnost
Математика — это шаг через бесконечность. Освоение математики — это, когда вы становитесь с бесконечностью «на ты». И чем больше вы «на ты» с бесконечностью, тем лучше вы понимаете математику. Это наука о бесконечности. В этом смысле, математика и религия дополняют друг друга. Религия — это знание о бесконечности, математика — наука о бесконечности. Это две ипостаси бытия. |
Теорема Байеса: почему стопроцентная уверенность — зло
Популяризатор науки и одна из успешнейших женщин-игроков в покер Лив Боэри рассказывает о том, как формула вероятности Байеса помогла ей избавиться от ипохондрии и улучшить навыки логического мышления https://ideanomics.ru/wp-content/upl...p31-Thomas.jpgПортрет Томаса Байеса Я была ипохондриком большую часть своей жизни. Когда мне было 13, я прочитала статью о девушке моего возраста, которая недавно облысела. Следующие шесть месяцев я одержимо подсчитывала каждую волосинку, оставшуюся на расческе. Несколько лет спустя, когда я была первокурсницей, у меня три дня подряд болела голова, и из-за этого я рыдала в постели, будучи уверенной, что у меня опухоль мозга. (Ее не было.) В 2008 году мой невротизм достиг головокружительного пика. Я занималась вейкбордингом на теплом озере во время поездки в Лас-Вегас и спустя несколько дней после этого проснулась с недомоганием. Спустя три часа чтения Google я была в полной панике. Видите ли, существует чрезвычайно редкая, но тем не менее ужасающая амеба под названием Naegleria fowleri, которая иногда появляется в теплых пресноводных озерах в южных штатах, и если вдохнуть воды из озера, амеба может проникнуть к обонятельному нерву, размножиться и в буквальном смысле поедать ваш мозг. И хотя я понимала смысл слов «чрезвычайно редко», сюжет был чересчур уж идеальным — невротический ипохондрик, который постоянно страшился редких страшных болезней, пал жертвой редкой страшной болезни. Конечно, я снова ошиблась. Единственное, что ело мой мозг, – это мое иррациональное беспокойство, и после нескольких бессонных ночей я почувствовала себя достаточно хорошо, чтобы опять присоединиться к загулу в Вегасе. Перескакивая на сегодняшний день, я рада сказать, что мои ипохондрии — и мои навыки логического мышления в целом — значительно улучшились. По большей части этим я обязана своей профессии: я начала играть в профессиональный покер вскоре после случая с амебой, и за 10 лет игра научила меня лучше справляться с неопределенностью. Но самое сильное противоядие от моей иррациональности я получила из удивительного источника: от английского священника XVIII века — преподобного Томаса Байеса. Его новаторская работа в статистике выявила чрезвычайно мощный инструмент, который при правильном использовании может радикально улучшить наше восприятие мира. Теорема Байеса Наш современный мир, как известно, непредсказуем и сложен. Покупать ли биткойны? Верить ли этому заголовку? Мое смятение действительно существует или просто навязано мне? Будь то финансы, карьера или любовная жизнь, нам приходится ежедневно принимать сложные решения. Кроме того, смартфоны круглосуточно бомбардируют нас бесконечным потоком новостей и информации. Часть этой информации надежна, часть — просто шум, а кое-что и вовсе придумано, чтобы ввести нас в заблуждение. Итак, как же мы решаем, во что верить? Преподобный Байес сделал громадные шаги в решении этой вековой проблемы. Он был статистиком, и его работа над природой вероятности заложила основу того, что теперь известно как теорема Байеса. Хотя его формальное определение представляется довольно устрашающим математическим уравнением, оно, по существу, сводится к следующему: Предыдущие убеждения (априорная вероятность) х новые данные = новые убеждения (апостериорная вероятность) Другими словами, всякий раз, когда мы получаем новое доказательство, насколько оно влияет на то, что мы в настоящее время считаем истиной? Поддерживает ли эта информация наши убеждения, подрывает ли их или вообще никак не влияет? Этот подход известен как «байесовское» мышление, и скорее всего, вы используете этот метод построения убеждений всю свою жизнь, не осознавая, что у него есть формальное название. Например, представьте себе, что коллега приходит к вам с шокирующей новостью: он подозревает, что ваш босс «выкачивает» деньги из компании. Вы всегда уважали своего начальника, и если бы вас попросили оценить вероятность его воровства до того, как вы услышали какие-то сплетни («априорная вероятность»), вы сочли бы это крайне маловероятным. Между тем известно, что ваш коллега преувеличивает и драматизирует ситуации, особенно то, что касается руководства. Таким образом, одно его слово несет в себе небольшой доказательный вес — и вы не слишком серьезно относитесь к этим обвинениям. Статистически говоря, ваша «апостериорная вероятность» остается почти неизменной. Теперь возьмем тот же сценарий, но вместо вербальной информации ваш коллега демонстрирует бумажные доказательства, что денежные средства компании уходят на банковский счет вашего начальника. В этом случае вес доказательств намного сильнее, поэтому вероятность того, что «босс — вор», сильно вырастет. Чем сильнее доказательства, тем сильнее ваши новые убеждения. И если доказательства достаточно убедительные, это побудит вас полностью изменить свое мнение о начальнике. Если это кажется очевидным и интуитивным, так и должно быть. Человеческий мозг в какой-то мере и есть естественная машина байесовского мышления благодаря процессу, известному как прогностическая обработка. Проблема в том, что почти все наши интуитивные чувства развивались в более простых ситуациях, вроде борьбы за выживание в саванне. Сложность более современных решений может иногда приводить к тому, что байесовское мышление не срабатывает, особенно если дело касается того, что нас действительно волнует. Ловушки мотивированных рассуждений Что, если вместо уважения к начальнику вы испытываете раздражение, потому что считаете, что его несправедливо повысили до нынешней позиции вместо вас? Объективно говоря, ваше «априорное» убеждение в том, что он расхищает средства, должно быть почти таким же маловероятным, как в предыдущем примере. Однако поскольку вы не любите его по другой причине, у вас теперь есть дополнительная мотивация поверить в сплетни от вашего коллеги. В результате ваше «апостериорное» убеждение может измениться кардинально, несмотря на отсутствие убедительных доказательств… и возможно, дойдет до того, что вы сделаете или скажете что-то неблагоразумное. Феномен перехода от корректного выстраивания выводов к опоре на личные желания или эмоции известен как «мотивированное рассуждение», и оно затрагивает каждого из нас, какими бы рациональными мы себя ни считали. Сложно сосчитать, сколько объективно глупых игр я провела за покерным столом из-за чрезмерной эмоциональной привязанности к конкретному результату — от погони за потерянными фишками и безрассудными блефами после неудачной раздачи карт до отчаянного геройства против соперников, которые действовали мне на нервы. Когда мы слишком сильно отождествляем себя с глубоко укоренившимся убеждением, идеей или результатом, могут возникнуть множество когнитивных предубеждений. Например, возьмите предвзятость подтверждения. Это наша склонность охотно принимать любую информацию, подтверждающую наше мнение, и недооценивать все, что противоречит ему. Это очень легко заметить у других людей (особенно у тех, с кем вы не согласны в политическом плане), но очень трудно обнаружить у себя, потому что предвзятость возникает бессознательно. Но она всегда есть. И такая байесовская ошибка может иметь очень реальные и трагические последствия: это уголовные дела, в которых присяжные заседатели бессознательно игнорируют оправдательные доказательства и отправляют невиновного в тюрьму из-за своего предшествующего негативного столкновения с кем-то из демографической группы, в которую входит подсудимый. Это и растущая неспособность услышать альтернативные аргументы от представителей другой части политического спектра. Теоретики заговора впитывают любые нетрадиционные убеждения, которые попадаются им под руку: они считают, что Земля плоская, что звезды кино — ящеры, а случайная пиццерия — база сексуального рабства, и все из-за комментариев, прочитанных в интернете. Итак, как нам преодолеть эту глубоко укоренившуюся часть человеческой натуры? Как правильно применять байесовское мышление? Экстраординарные высказывания требуют экстраординарных доказательств Для мотивированных рассуждений решение очевидно: самосознание. Хотя предвзятость подтверждения обычно незаметна для нас, ее физиологические триггеры более очевидны. Есть ли человек, слыша о котором, вы стискиваете зубы, а ваша кровь вскипает? Социальные или религиозные убеждения, которые вам дороги настолько, что вы считаете смехотворным даже обсуждать их? У всех нас есть какое-нибудь глубокое убеждение, которое заставляет нас немедленно занять оборонительную позицию. Это не означает, что убеждение на самом деле неверно. Но это значит, что мы уязвимы к плохой аргументации по поводу этого убеждения. И если вы научитесь определять у себя соответствующие эмоциональные сигналы, у вас будет больше шансов объективно оценить доказательства или аргументы другой стороны. Впрочем, лучшее средство от некоторых байесовских ошибок — точная информация. Именно это помогло мне в битве против ипохондрии. Изучение числовых вероятностей болезней, которых я боялась, означало, что я могу справиться с рисками так же, как и в покере. Уставший от моего невротизма друг оценил приблизительные шансы того, что кто-то моего возраста, пола и истории болезни подцепит эту смертельную амебу после купания в этом конкретном озере. «Лив, вероятность этого значительно меньше того, что ты сделаешь королевский флеш дважды подряд, — сказал он. — Ты сыграла тысячи партий, и этого никогда не случалось ни у тебя, ни у кого-то другого, кого ты знаешь. Перестань беспокоиться об этой гребаной амебе». Если бы я хотела сделать еще один шаг, я могла бы, применив к этой априорной вероятности формулу Байеса, умножить ее на доказательную силу моих симптомов головного мозга. Чтобы сделать это математически, я бы взяла обратную ситуацию: насколько вероятны мои симптомы без амебы? (Ответ: очень вероятны!) Поскольку головные боли бывают у людей постоянно, это очень слабые доказательства амебной инфекции, и поэтому апостериорная вероятность остается практически неизменной. И это важный урок. Когда речь идет о статистике, легко сосредоточиться на жареных заголовках, таких как «тысячи людей погибли от терроризма в прошлом году», и забыть о другой, такой же важной части уравнения: число людей, которые не погибли от него в прошлом году. Иногда энтузиасты заговора попадают в подобную статистическую ловушку. На первый взгляд, оспаривать некие устоявшиеся убеждения — хорошая научная практика, это может раскрыть несправедливость и предотвратить повторение системных ошибок в обществе. Но для некоторых доказательство, что главенствующая точка зрения ошибочна, становится всепоглощающей миссией. И это особенно опасно в эпоху интернета, когда поиск в Google всегда подбрасывает что-то, что соответствует вашим убеждениям. Правило Байеса учит, что экстраординарные высказывания требуют экстраординарных доказательств. Тем не менее, для некоторых людей чем менее вероятно объяснение, тем более вероятно, что они этому поверят. Возьмите тех, кто утверждает, что Земля плоская. Они исходят из представления, что все пилоты, астрономы, геологи, физики и инженеры GPS в мире участвуют в заговоре, чтобы ввести общественность в заблуждение относительно формы планеты. Априорная вероятность этого сценария, учитывая все другие мыслимые возможности, чрезвычайно мала. Но, что совершенно дико, любая демонстрация противоположной точки зрения, какой бы сильной она ни казалась, еще больше укрепляет их мировоззрение. Безусловная неопределенность Если и есть хоть одна вещь, в которой мы благодаря Байесу можем быть уверенными, так это то, что ни в чем нельзя быть уверенными абсолютно. Как космический корабль, пытающийся достичь скорости света, апостериорная вероятность может только приближаться к 100% (или 0%), но никогда не сможет достичь этого показателя. Когда мы говорим или думаем: «Я уверен на 100%!» — даже в отношении чего-то очень вероятного, как шарообразная форма Земли, — это не просто глупость, это фактическая ошибка. Говоря так, мы утверждаем, что в мире нет доказательств, какими бы сильными они ни были, которые способны изменить наше мнение. И это так же смешно, как утверждать: «Я знаю все обо всем, что когда-либо могло произойти во Вселенной», потому что всегда есть нечто неизведанное, что мы не можем себе представить, какими бы знающими и мудрыми мы ни были. Именно поэтому наука никогда официально ничего не доказывает — она просто ищет подтверждения или опровержения существующих теорий, пока степень уверенности не приблизится к 0% или 100%. Это должно служить напоминанием о том, что мы всегда должны допускать возможность поменять мнение, если появятся достаточно сильные доказательства. И самое главное, мы должны смотреть на наши убеждения реально: это просто еще одна априорная вероятность, дрейфующая в море неопределенности. |
Самая красивая и фундаментальная математическая картина: скатерть Улама
2 дня назад 4,9 тыс. дочитываний 2,5 мин. 6,7 тыс. просмотров. Уникальные посетители страницы. 4,9 тыс. дочитываний, 74%. Пользователи, дочитавшие до конца. 2,5 мин. Среднее время дочитывания публикации. Активируйте ПРОМОКОД mathematic25 для LITRES.RU до 31.08 и получите скидку 25% на весь каталог электронных книг.Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения! https://avatars.mds.yandex.net/get-z...860/scale_1200 Я уже писал когда-то о самом невероятном математическом совпадении и о других математических конструкциях (например, формулах), полных красоты, например фракталах. Впрочем, все эти красоты, так или иначе, реализуются через специальные функции, построения и т.д. Сегодня же мы поговорим о "фундаментальной красоте" математики - распределении простых чисел - очень важной задачи, имеющей огромное прикладное значение. Поехали! Предыстория 1963 год. На очередном семинаре польский математик Станислав Улам откровенно скучает. Вместо того, чтобы слушать докладчика, он чертит на бумаге сетку для шахматного этюда, но вместо этого начинает нумеровать клетки своей тетради по спирали: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...80d/scale_1200 Источник: https://upload.wikimedia.org/wikiped...s.svg.pngЧисто интуитивно Станислав начинает отмечать простые числа, т.е. те, которые нацело не делятся ни на какие числа, кроме себя и единицы: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...f62/scale_1200 Совпадение? Не думаю!Уже даже на таком небольшом рисунке ему становится ясно, что простые числа удивительным образом выстраиваются по диагоналям или, как сказал Улам, " проявляли сильно неслучайное поведение". Добравшись до институтской ЭВМ, математик вместе с коллегами построил этот паттерн для 90 миллионов чисел и получил т.н. скатерть Улама или спираль простых чисел: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...1fc/scale_1200 Черные точки - простые числа. Картина абсолютно неслучайна: если сравнить ее с такой же картиной, но с расположенными случайно точками, различие будет очень серьезное. Источник: https://habrastorage.org/getpro/habr...9c21eb33b5.jpgВ чем математическое значение скатерти Улама ? Диагонали, на которых лежат простые числа описываются квадратным трехчленом вида: ax^2+bx+c, что позволяет быстро выделять такие многочлены, порождающие простые числа, что является важной криптографической задачей. Например, вот известный порождающий трехчлен Эйлера: x^2+x+41, значение которого для любого числа меньше 40 является простым числом: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...a27/scale_1200 Источник: https://upload.wikimedia.org/wikiped...am_2.pngПройдя по пути Улама, математики начали предлагать другие, иногда даже более удобные, визуализации. Например, спираль Сакса, построенная по следующему принципу в полярной системе координат: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...f24/scale_1200 Для каждого числа его расположение на спирали Сакса определяется расстоянием r и углом θ . Например, для числа 16, радиус - это √ 16 = 4, а угол θ =2π*4=8π, т.е. это число расположено строго на восток. Если взять больше чисел, получится завораживающая картина: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...cf3/scale_1200 Источник: https://habrastorage.org/getpro/habr...56ad93720.pngВ спирали Сакса простые числа располагаются на кривых линиях, называемых "кривыми произведений". Так как они закручиваются в бесконечность, с их помощью можно предсказывать появление гигантских простых чисел, что очень нравится криптографам, т.к. чем больше простое число, тем труднее "взломать" шифр, на основе которого он создан (очень грубое описание). https://avatars.mds.yandex.net/get-z...c16/scale_1200 Источник: https://habrastorage.org/getpro/habr...ea775c411b.png Почему скатерть Улама и спираль Сакса нравятся мне больше других визуализаций? Всё потому, что простые числа - это "кирпичики" математического мироздания, которые появляются во всех сферах реальной жизни, а для построения этих картин не требуется никаких вспомогательных функций: надо просто записать определенным порядком все положительные числа. Красота в простоте! |
|
Теорема Байеса: почему стопроцентная уверенность — зло
Популяризатор науки и одна из успешнейших женщин-игроков в покер Лив Боэри рассказывает о том, как формула вероятности Байеса помогла ей избавиться от ипохондрии и улучшить навыки логического мышления https://ideanomics.ru/wp-content/upl...p31-Thomas.jpgПортрет Томаса Байеса Я была ипохондриком большую часть своей жизни. Когда мне было 13, я прочитала статью о девушке моего возраста, которая недавно облысела. Следующие шесть месяцев я одержимо подсчитывала каждую волосинку, оставшуюся на расческе. Несколько лет спустя, когда я была первокурсницей, у меня три дня подряд болела голова, и из-за этого я рыдала в постели, будучи уверенной, что у меня опухоль мозга. (Ее не было.) В 2008 году мой невротизм достиг головокружительного пика. Я занималась вейкбордингом на теплом озере во время поездки в Лас-Вегас и спустя несколько дней после этого проснулась с недомоганием. Спустя три часа чтения Google я была в полной панике. Видите ли, существует чрезвычайно редкая, но тем не менее ужасающая амеба под названием Naegleria fowleri, которая иногда появляется в теплых пресноводных озерах в южных штатах, и если вдохнуть воды из озера, амеба может проникнуть к обонятельному нерву, размножиться и в буквальном смысле поедать ваш мозг. И хотя я понимала смысл слов «чрезвычайно редко», сюжет был чересчур уж идеальным — невротический ипохондрик, который постоянно страшился редких страшных болезней, пал жертвой редкой страшной болезни. Конечно, я снова ошиблась. Единственное, что ело мой мозг, – это мое иррациональное беспокойство, и после нескольких бессонных ночей я почувствовала себя достаточно хорошо, чтобы опять присоединиться к загулу в Вегасе. Перескакивая на сегодняшний день, я рада сказать, что мои ипохондрии — и мои навыки логического мышления в целом — значительно улучшились. По большей части этим я обязана своей профессии: я начала играть в профессиональный покер вскоре после случая с амебой, и за 10 лет игра научила меня лучше справляться с неопределенностью. Но самое сильное противоядие от моей иррациональности я получила из удивительного источника: от английского священника XVIII века — преподобного Томаса Байеса. Его новаторская работа в статистике выявила чрезвычайно мощный инструмент, который при правильном использовании может радикально улучшить наше восприятие мира. Теорема Байеса Наш современный мир, как известно, непредсказуем и сложен. Покупать ли биткойны? Верить ли этому заголовку? Мое смятение действительно существует или просто навязано мне? Будь то финансы, карьера или любовная жизнь, нам приходится ежедневно принимать сложные решения. Кроме того, смартфоны круглосуточно бомбардируют нас бесконечным потоком новостей и информации. Часть этой информации надежна, часть — просто шум, а кое-что и вовсе придумано, чтобы ввести нас в заблуждение. Итак, как же мы решаем, во что верить? Преподобный Байес сделал громадные шаги в решении этой вековой проблемы. Он был статистиком, и его работа над природой вероятности заложила основу того, что теперь известно как теорема Байеса. Хотя его формальное определение представляется довольно устрашающим математическим уравнением, оно, по существу, сводится к следующему: Предыдущие убеждения (априорная вероятность) х новые данные = новые убеждения (апостериорная вероятность) Другими словами, всякий раз, когда мы получаем новое доказательство, насколько оно влияет на то, что мы в настоящее время считаем истиной? Поддерживает ли эта информация наши убеждения, подрывает ли их или вообще никак не влияет? Этот подход известен как «байесовское» мышление, и скорее всего, вы используете этот метод построения убеждений всю свою жизнь, не осознавая, что у него есть формальное название. Например, представьте себе, что коллега приходит к вам с шокирующей новостью: он подозревает, что ваш босс «выкачивает» деньги из компании. Вы всегда уважали своего начальника, и если бы вас попросили оценить вероятность его воровства до того, как вы услышали какие-то сплетни («априорная вероятность»), вы сочли бы это крайне маловероятным. Между тем известно, что ваш коллега преувеличивает и драматизирует ситуации, особенно то, что касается руководства. Таким образом, одно его слово несет в себе небольшой доказательный вес — и вы не слишком серьезно относитесь к этим обвинениям. Статистически говоря, ваша «апостериорная вероятность» остается почти неизменной. Теперь возьмем тот же сценарий, но вместо вербальной информации ваш коллега демонстрирует бумажные доказательства, что денежные средства компании уходят на банковский счет вашего начальника. В этом случае вес доказательств намного сильнее, поэтому вероятность того, что «босс — вор», сильно вырастет. Чем сильнее доказательства, тем сильнее ваши новые убеждения. И если доказательства достаточно убедительные, это побудит вас полностью изменить свое мнение о начальнике. Если это кажется очевидным и интуитивным, так и должно быть. Человеческий мозг в какой-то мере и есть естественная машина байесовского мышления благодаря процессу, известному как прогностическая обработка. Проблема в том, что почти все наши интуитивные чувства развивались в более простых ситуациях, вроде борьбы за выживание в саванне. Сложность более современных решений может иногда приводить к тому, что байесовское мышление не срабатывает, особенно если дело касается того, что нас действительно волнует. Ловушки мотивированных рассуждений Что, если вместо уважения к начальнику вы испытываете раздражение, потому что считаете, что его несправедливо повысили до нынешней позиции вместо вас? Объективно говоря, ваше «априорное» убеждение в том, что он расхищает средства, должно быть почти таким же маловероятным, как в предыдущем примере. Однако поскольку вы не любите его по другой причине, у вас теперь есть дополнительная мотивация поверить в сплетни от вашего коллеги. В результате ваше «апостериорное» убеждение может измениться кардинально, несмотря на отсутствие убедительных доказательств… и возможно, дойдет до того, что вы сделаете или скажете что-то неблагоразумное. Феномен перехода от корректного выстраивания выводов к опоре на личные желания или эмоции известен как «мотивированное рассуждение», и оно затрагивает каждого из нас, какими бы рациональными мы себя ни считали. Сложно сосчитать, сколько объективно глупых игр я провела за покерным столом из-за чрезмерной эмоциональной привязанности к конкретному результату — от погони за потерянными фишками и безрассудными блефами после неудачной раздачи карт до отчаянного геройства против соперников, которые действовали мне на нервы. Когда мы слишком сильно отождествляем себя с глубоко укоренившимся убеждением, идеей или результатом, могут возникнуть множество когнитивных предубеждений. Например, возьмите предвзятость подтверждения. Это наша склонность охотно принимать любую информацию, подтверждающую наше мнение, и недооценивать все, что противоречит ему. Это очень легко заметить у других людей (особенно у тех, с кем вы не согласны в политическом плане), но очень трудно обнаружить у себя, потому что предвзятость возникает бессознательно. Но она всегда есть. И такая байесовская ошибка может иметь очень реальные и трагические последствия: это уголовные дела, в которых присяжные заседатели бессознательно игнорируют оправдательные доказательства и отправляют невиновного в тюрьму из-за своего предшествующего негативного столкновения с кем-то из демографической группы, в которую входит подсудимый. Это и растущая неспособность услышать альтернативные аргументы от представителей другой части политического спектра. Теоретики заговора впитывают любые нетрадиционные убеждения, которые попадаются им под руку: они считают, что Земля плоская, что звезды кино — ящеры, а случайная пиццерия — база сексуального рабства, и все из-за комментариев, прочитанных в интернете. Итак, как нам преодолеть эту глубоко укоренившуюся часть человеческой натуры? Как правильно применять байесовское мышление? Экстраординарные высказывания требуют экстраординарных доказательств Для мотивированных рассуждений решение очевидно: самосознание. Хотя предвзятость подтверждения обычно незаметна для нас, ее физиологические триггеры более очевидны. Есть ли человек, слыша о котором, вы стискиваете зубы, а ваша кровь вскипает? Социальные или религиозные убеждения, которые вам дороги настолько, что вы считаете смехотворным даже обсуждать их? У всех нас есть какое-нибудь глубокое убеждение, которое заставляет нас немедленно занять оборонительную позицию. Это не означает, что убеждение на самом деле неверно. Но это значит, что мы уязвимы к плохой аргументации по поводу этого убеждения. И если вы научитесь определять у себя соответствующие эмоциональные сигналы, у вас будет больше шансов объективно оценить доказательства или аргументы другой стороны. Впрочем, лучшее средство от некоторых байесовских ошибок — точная информация. Именно это помогло мне в битве против ипохондрии. Изучение числовых вероятностей болезней, которых я боялась, означало, что я могу справиться с рисками так же, как и в покере. Уставший от моего невротизма друг оценил приблизительные шансы того, что кто-то моего возраста, пола и истории болезни подцепит эту смертельную амебу после купания в этом конкретном озере. «Лив, вероятность этого значительно меньше того, что ты сделаешь королевский флеш дважды подряд, — сказал он. — Ты сыграла тысячи партий, и этого никогда не случалось ни у тебя, ни у кого-то другого, кого ты знаешь. Перестань беспокоиться об этой гребаной амебе». Если бы я хотела сделать еще один шаг, я могла бы, применив к этой априорной вероятности формулу Байеса, умножить ее на доказательную силу моих симптомов головного мозга. Чтобы сделать это математически, я бы взяла обратную ситуацию: насколько вероятны мои симптомы без амебы? (Ответ: очень вероятны!) Поскольку головные боли бывают у людей постоянно, это очень слабые доказательства амебной инфекции, и поэтому апостериорная вероятность остается практически неизменной. И это важный урок. Когда речь идет о статистике, легко сосредоточиться на жареных заголовках, таких как «тысячи людей погибли от терроризма в прошлом году», и забыть о другой, такой же важной части уравнения: число людей, которые не погибли от него в прошлом году. Иногда энтузиасты заговора попадают в подобную статистическую ловушку. На первый взгляд, оспаривать некие устоявшиеся убеждения — хорошая научная практика, это может раскрыть несправедливость и предотвратить повторение системных ошибок в обществе. Но для некоторых доказательство, что главенствующая точка зрения ошибочна, становится всепоглощающей миссией. И это особенно опасно в эпоху интернета, когда поиск в Google всегда подбрасывает что-то, что соответствует вашим убеждениям. Правило Байеса учит, что экстраординарные высказывания требуют экстраординарных доказательств. Тем не менее, для некоторых людей чем менее вероятно объяснение, тем более вероятно, что они этому поверят. Возьмите тех, кто утверждает, что Земля плоская. Они исходят из представления, что все пилоты, астрономы, геологи, физики и инженеры GPS в мире участвуют в заговоре, чтобы ввести общественность в заблуждение относительно формы планеты. Априорная вероятность этого сценария, учитывая все другие мыслимые возможности, чрезвычайно мала. Но, что совершенно дико, любая демонстрация противоположной точки зрения, какой бы сильной она ни казалась, еще больше укрепляет их мировоззрение. Безусловная неопределенность Если и есть хоть одна вещь, в которой мы благодаря Байесу можем быть уверенными, так это то, что ни в чем нельзя быть уверенными абсолютно. Как космический корабль, пытающийся достичь скорости света, апостериорная вероятность может только приближаться к 100% (или 0%), но никогда не сможет достичь этого показателя. Когда мы говорим или думаем: «Я уверен на 100%!» — даже в отношении чего-то очень вероятного, как шарообразная форма Земли, — это не просто глупость, это фактическая ошибка. Говоря так, мы утверждаем, что в мире нет доказательств, какими бы сильными они ни были, которые способны изменить наше мнение. И это так же смешно, как утверждать: «Я знаю все обо всем, что когда-либо могло произойти во Вселенной», потому что всегда есть нечто неизведанное, что мы не можем себе представить, какими бы знающими и мудрыми мы ни были. Именно поэтому наука никогда официально ничего не доказывает — она просто ищет подтверждения или опровержения существующих теорий, пока степень уверенности не приблизится к 0% или 100%. Это должно служить напоминанием о том, что мы всегда должны допускать возможность поменять мнение, если появятся достаточно сильные доказательства. И самое главное, мы должны смотреть на наши убеждения реально: это просто еще одна априорная вероятность, дрейфующая в море неопределенности. |
Удивительный мир математики: о золотом сечении известно всем, а вы знали, что есть и серебряное сечение?
8 июля 2,9 тыс. дочитываний 3 мин. 4,6 тыс. просмотров. Уникальные посетители страницы. 2,9 тыс. дочитываний, 64%. Пользователи, дочитавшие до конца. 3 мин. Среднее время дочитывания публикации. #хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳 https://avatars.mds.yandex.net/get-z...aad/scale_1200 "Мона Лиза" Леонардо да Винчи в золотом сечении. Источник фото: golden-ratio.clubЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ С «золотым сечением» мы уже сталкивались в статье о числах Фибоначчи. В сегодняшней статье я хотела бы уделить внимание этому понятию и понятию «серебряное сечение» с математической точки зрения. Пропорция(лат. proportio «соразмерность, выравненность частей» — это равенство отношений двух (и более) пар чисел a, b и c, d, т.е. равенство вида: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...3dc/scale_1200 Золотое сечение(золотая пропорция) — соотношение 2 –х величин a и b, при котором бОльшая вечичина относится к меньшей так же как сумма величин к бОльшей, и выражается алгебраической формулой (1): https://avatars.mds.yandex.net/get-z...9ca/scale_1200 В древнегреческой математике изначально золотым сечением именовалось деление отрезка АВ точкой С на 2 части, так, что большая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...3f9/scale_1200 https://avatars.mds.yandex.net/get-z...705/scale_1200 Из равенства (1), представляя а независимой переменной, можно получить квадратное уравнение, которое описывает свойства золотого сечения: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...782/scale_1200 Решая это уравнение, получим корни: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...059/scale_1200 называется золотым числом. Для практических целей используют приближённое значение Φ = 1,618… Красивое представление числа Φ выглядит в виде бесконечной цепочки квадратных корней: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...750/scale_1200 и в виде бесконечной цепной дроби: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...300/scale_1200 В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника. В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...5a1/scale_1200 Золотое сечение в пятиконечной звездеНеизвестно точно, кто и когда именно впервые ввёл в обращение термин «золотое сечение». Некоторые авторы связывают появление этого термина с Леонардо да Винчи в XV веке. На это число обратили внимание художники, скульпторы, архитекторы — его назвали божественной пропорцией и стали использовать в произведениях искусства, чтобы добиться идеальной композиции, наилучшего сочетания всех элементов произведения. С тех пор золотое сечение находят в пропорциях гениальных произведений: пирамидах в Гизе и афинском Парфеноне, «Сотворении Адама» и сводах Сикстинской капеллы, созданных Микеланджело, «Мона Лиза» да Винчи. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...a92/scale_1200 Парфенон иллюстрирует золотое сечение своими пропорциями СЕРЕБРЯНОЕ СЕЧЕНИЕ Оказывается, существуют ещё и серебряное сечение, и бронзовое сечение, и прочие безымянные «металлические сечения». Общее уравнение «металлических сечений»: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...c68/scale_1200 Если р = 1, то это как раз золотое сечение (см. выше); Если р = 2, то уравнение выглядит, как https://avatars.mds.yandex.net/get-z...f3d/scale_1200 это уравнение имеет один положительный корень: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...c77/scale_1200 https://avatars.mds.yandex.net/get-z...fa3/scale_1200 это и есть серебряное число (если р = 3, то можно получить бронзовое число и т.д.). Серебряное число — иррациональное число, равное https://avatars.mds.yandex.net/get-z...df8/scale_1200 или приблизительно 2,414213562. В отличие от золотого сечения, серебряное сечение не имеет единого определения и общепринятого обозначения. Считается, две величины находятся в «серебряном сечении», если отношение суммы меньшей и удвоенной большей величины к большей то же самое, что и отношение большей величины к меньшей. Алгебраически оно записывается так: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...ddf/scale_1200 Математики исследовали серебряное отношение со времён древнегреческой науки, хотя такое название, возможно, появилось только недавно. Однако доказано, что металлические сечения — красивая математическая абстракция, неприменимая на практике. Многие значения металлических сечений вписываются в окрестности сечения золотого. Всё-таки, как удивителен и красив мир чисел! |
Числа Гёделя, создание которых поставило на колени всю математику
3 дня назад 20 тыс. дочитываний 3 мин. 28 тыс. просмотров. Уникальные посетители страницы. 20 тыс. дочитываний, 71%. Пользователи, дочитавшие до конца. 3 мин. Среднее время дочитывания публикации. Приветствую Вас, уважаемые Читатели. На своем блоге я много рассказывал про различные числа: натуральные и целые, рациональные и действительные, комплексные и алгебраические. Все эти числа рано или поздно встречались Вам по жизни. Однако есть и такие числа, например числа Гёделя, которые мало кто использует, кроме ученых, которые исследуют метаматематику – «наднауку», призванную охарактеризовать эту область знаний с метафизических и методологических сторон. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...37a/scale_1200 Один из величайших математиков 20 века - Курт Гёдель. Источник: https://avatars.mds.yandex.net/get-z.../scale_1200Тем не менее, понимание чисел Гёделя доступно каждому, кто знаком с элементарной арифметикой (таких, я думаю большинство), а некоторые выводы из теории их построения могут немного шокировать обывателя, в той же степени, в которой они стали «дамокловым мечом» для математиков в середине 20 века. Поехали! Числа Гёделя Чтобы к ним подобраться во всеоружии, необходимо вспомнить основную теорему арифметики (я о неё писал подробно в одном из материалов). Из теорему следует, что любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел, причем единственным образом например:
Это даёт нам возможность арифметизации любых математических формул, высказываний, доказательств путем сопоставления каждому из них одного единственного порядкового номера, называемого номером Гёделя. Рассмотрим подробнее как это сделать. Язык математики состоит из различных знаков операция (умножения, сложения и т.д.), знаков равенства, скобок, переменных и т.д. Курт Гёдель сначала определил минимальный набор таких знаков, вот он: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...b74/scale_1200 После этого каждой буквенной переменной (например, х,y,z… и т.д.) можно сопоставить следующие простые числа – 13,17, 19 и т.д. Рассмотрим, например, высказывание 2 * 2 = 4 Как его формализовать? Необходимо под каждым символом написать cоответствующие ему Гёделевы номера: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...6f6/scale_1200 Ориентируйтесь на первую таблицуВо второй строке у нас кроме порядковых чисел появились выражения вида ss0 и ssss0 – они означают второй символ и четвертый символ после нуля (2 и 4 соответственно). Их тоже нужно декомпозировать: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...197/scale_1200 Всё понятно? Таким образом, мы получили некоторое числовое сопоставление нашему высказыванию: 2*2= 4 сопоставлено 776 12 776 5 77776 Но хотелось бы это сопоставление ужать, с чем нам успешно поможет справиться основная теорема арифметики. Взяв простые числа 2,3,5… и возведя их в соответствующие степени мы получим натуральное число единственно соответствующее исходному высказыванию. Вот оно: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...c39/scale_1200 Вот именно это и только это число (хоть оно и невероятно большое) соответствует высказыванию 2*2=4. Верно и обратно, например, рассмотрим какое высказывание определяет число 995328 ? Для этого разложим его на простые множители: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...a9b/scale_1200 Восстанавливая по первой таблице, получим высказывание 0 = 0. Вот так! Таким образом, мы определили, что каждое математическое высказывание можно единственным образом представить в виде натурального числа.Именно это утверждения стало основой для доказательства теорем Геделя о неполноте, буквально поставивших на колени всех тех, кто пытался создать математическую теорию всего. Гедель показал, что такой теории не может быть в принципе. что каждая аксиоматическая теория в любом случае противоречива, что в рамках любой теории есть высказывания, недоказуемые в ней. Как? Читайте в следующих выпусках! |
Кто вспомнит школьную геометрию и решит старую японскую задачку?
В этой задачке известно, что радиус каждого из синих кругов равен 4. Зелёная точка - центр большого полукруга. Чёрные точки - центры синих кругов. Посчитайте радиус большого (чёрного) полукруга. Читайте также: Размер имеет значение: чей периметр больше? https://avatars.mds.yandex.net/get-z...8c2/scale_1200 |
Проблема числа 10958: говорят, что за её решение обещают 5000$
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Прошлая статья про творение бразильского математика Индера Танежи вызвала неподдельный интерес. В конце того материала я обещал рассказать еще про один занимательный факт, который обнаружил этот ученый - неразложимость числа 10958 определенным им способом. Посмотрим же, что он имел ввиду. Поехали! https://avatars.mds.yandex.net/get-z...6ad/scale_1200 Один из популяризаторов проблемы числа 10958: "Mad Astronomer". Источник: https://i.ytimg.com/vi/o6gk_SDNUwU/m...fault.jpgИндер в своей 161-страничной работе "Crazy Sequential Representation: Numbers from 0 to 11111 in terms of Increasing and Decreasing Orders of 1 to 9" рассматривает разложение чисел в прямом и обратном порядке следования цифр. Давайте рассмотрим на простом примере: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...5e0/scale_1200 Для представления чисел допускается использовать цифры от 1 до 9 в прямом и обратном порядках, бинарные операции (+,-,*, возведение в степень) и конкатенацию (только в таком виде, как показано выше).Индер Танежа таким образом описал разложения для всех чисел до 11111, но к великому удивлению осталось одно пятно. Вот оно: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...d1d/scale_1200 10958 - полупростое число: у него из делителей только 2 и, соответственно, 5479. Кстати, с представление 5479 проблем нетНа данный момент не существует решения проблемы разложения числа 10958, причем наиболее разработанные направления относятся к доказательству отсутствия такого представления. Кстати, полным перебором на существующих компьютерах решить задачу Танежи не получится. Скажется погрешность в вычислениях из-за особенностей перебора.Самое удивительное в том, что проблема числа 10958 стала основой для формирования отдельной математической теории - теории конечно-трансцендентных чисел и частью нового математического аппарата в программировании и алгебраической топологии. Некоторые утверждают, что за решение задачи Массачусетский технологический институт готов выплатить 5000$! Неплохо для "школьной задачки". Но, как Вы уже поняли, не всё так просто. Впрочем, дерзайте! |
По следам Пифагора: пифагорейский пентакл и его замечательные свойства, о которых вы не знали
17 августа 21 тыс. дочитываний 4 мин. Здравствуйте, уважаемые читатели канала Хакнем Школа! Прежде всего, хочу выразить огромную благодарность читателям канала за комментарии и положительные отзывы к моим статьям в рубрике #хакнем_математика Часто в ваших комментариях я читаю о том, что если бы на уроках математики рассказывали о тех или иных исторических фактах, связанных с математикой, как например, о способах умножения русских крестьян (помните, статью?), то интерес к математике у детей был бы гораздо больше. Но мне почему-то кажется, что многие из вас просто забыли, о чём рассказывали на уроках, а может, и правда не рассказывали. Я постараюсь и дальше писать для вас интересные и занимательные материалы об истории математики и о знаменитых учёных, которые посвятили ей всю свою жизнь. Сегодня поговорим о Пифагоре (около 570 – 490 гг. до н.э.), известен как древнегреческий философ, математик и мистик. Существует много легенд о его биографии, по самой распространённой версии — родился он на острове Самос. Пифагор создал свою собственную школу. Его многочисленные ученики почитали своего учителя. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...ff1/scale_1200 Пифагор Самосский. Источник фото: ruspekh.ruПифагорейский пентакл Известно, что пифагорейский союз был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Излюбленной геометрической фигурой пифагорейцев был так называемый звёздчатый пятиугольник — пентаграмм или пифагорейская звезда, или пифагорейский пентакл. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...dec/scale_1200 Пентаграмм был опознавательным знаком пифагорейцев. Существует легенда, согласно которой один пифагореец заболел на чужбине и не мог перед смертью расплатиться с ухаживающим за ним хозяином дома. Хозяин дома нарисовал на стене своего дома звёздчатый пятиугольник. Увидев через несколько лет этот знак, другой странствующий пифагореец осведомился о случившемся у хозяина и щедро его вознаградил. Пентаграмм можно получить, если продолжить стороны правильного пятиугольника до их взаимного пересечения. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...c69/scale_1200 Фигура эта очень интересная и обладает удивительными свойствами:
Самой знаменитой теоремой Пифагора является теорема о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. В таком виде эта теорема сформулирована в Началах Евклида. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...0ef/scale_1200 Но мы со школы помним теорему Пифагора в другой формулировке:в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...a61/scale_1200 https://avatars.mds.yandex.net/get-z...d97/scale_1200 Справедливо и обратное утверждение: если для сторон a, b, c треугольника выполняется соотношение https://avatars.mds.yandex.net/get-z...9ef/scale_1200 то треугольник – прямоугольный, при этом a и b — катеты, c — гипотенуза. Особенно интересны треугольники, все три стороны которых выражаются целыми числами, подчиняющимися этому пифагорейскому условию. Такие треугольники называются пифагорейскими. Например, треугольник со сторонами 3, 4, 5 https://avatars.mds.yandex.net/get-z...ab6/scale_1200 Вот ещё несколько пифагорейских треугольников: a = 5, b = 12, c = 13 a = 15, b = 8, c = 17 a = 7, b = 24, c = 25 a = 21, b = 20, c = 29 a = 9, b = 40, c = 41 Интересно, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 был известен уже в глубокой древности египтянам и другим народам древнего Востока. Так называемая царская комната в пирамиде Хеопса имеет размеры, особенным образом связанные с числами 3, 4, 5: диагональ всей комнаты содержит 5 тех же самых единиц, которых самая длинная стена имеет 4, а диагональ самой маленькой стены — 3 единицы. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...0b0/scale_1200 Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника — он только первым сумел его обобщить и доказать, перевести его из области практики в область науки. В настоящее время теорема Пифагора доказана не менее 400 способами. Сумма углов треугольника Второй, исключительной по значению геометрической теоремой, приписываемой Пифагору, является теорема о сумме углов треугольника, равной двум прямым углам. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...595/scale_1200 Плоскость вокруг точки Считается, что Пифагор первым сформулировал положение, что плоскость вокруг точки может быть полностью заполнена лишь тремя видами правильных многоугольников: равносторонними треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...c0e/scale_1200 Правильные многогранники Приписывают Пифагору и построение пяти правильных многогранников: тетраэдра (а), куба (б), октаэдра (в), додекаэдра (г) и икосаэдра (д). https://avatars.mds.yandex.net/get-z...1cc/scale_1200 Согласно представлениям современных антиковедов Пифагор не написал ни единого сочинения. Информация о жизни и учении Пифагора основана на сведениях из написанных через столетия после его смерти источников. В созданной Пифагором школе не только превозносили мудрость своего основателя, но и приписывали ему все достижения последующих поколений. В связи с этим решить кому именно принадлежит то или иное положение, Пифагору или его последователям V — IV веков, не представляется возможным. Если вам было интересно, подписывайтесь на хэштег #хакнем_математика и на наш канал Хакнем Школа. Автор: #ирина_чудневцева координатор канала Хакнем Школа, 42 года, город Ярославль Другие статьи автора:
|
https://zen.yandex.ru/media/the_worl...07ce06046e5f3f
Конституция биоматематики Основной принцип жизни и разума Во всех процессах природы царит универсальная, в определеннойhttps://avatars.mds.yandex.net/get-z...703/scale_1200 Рисунок RBDA OxfordВведение. Трудности передачи мудрости Мудрость нельзя передать. Мудрость, которую мудрец пытается кому-то сообщить, всегда звучит как глупость… Знание можно передать, но не мудрость. Ее можно найти, можно ее нажить, можно от нее жить, можно творить с ней чудеса, но высказать ее и научить ей — нельзя.Cформулированный и формализованный Карлом Фристоном принцип свободной энергии (Free Energy Principle) в последние годы все чаще упоминают:
Принцип свободной энергии (ПСЭ) представляет собой фундаментальную базовую концепцию биоматематики — междисциплинарного направления науки, занимающегося изучением сложных динамических систем, а также термодинамических и эволюционных аспектов самоорганизации в целях математической интерпретации биологических процессов. Но ПСЭ не только фундаментальный принцип. На его основе построен ряд важнейших научных теорий, объясняющих и математически описывающих:
К сожалению, это математическое описание чрезвычайно сложно. Многие ведущие нейроученые сетуют на невозможность разобраться в штабелях многострочных формул, в которых задействован чуть ли ни весь греческий алфавит. Ну а математики, хоть и подтверждают строгость и точность выкладок Фристона, не в состоянии хоть как-то квалифицированно судить об их смысловой трактовке в контексте нейробиологии и когнитивистики. В итоге тупик. Есть фундаментальный принцип — ПСЭ. ✔️ На его базе построены теории, описывающие важнейшие понятия нейробиологии и когнитивистики. ✔️ И даже разработано строгое математическое обоснование этих теорий. ✔️ Но из-за междисциплинарности эти теории мало кто понимает, и потому говорить об их широком признании пока не приходится.https://avatars.mds.yandex.net/get-z...bb8/scale_1200 Три основные формулы свободной энергии (справа) и их схематическое пояснение (слева). Источник: DOI 10.1007/s00422–010–0364-zЧто же говорить о журналистах и популяризаторах, пытающихся донести до публики суть теории, основанных на ПСЭ. Число неверных трактовок и даже ошибок (в том числе принципиальных) в таких публикациях, к сожалению, весьма велико. Чего стоит широко используемая трактовка свободной энергии, как энергии, потребляемой мозгом, минимизация которой необходима в связи с высокой долей энергопотребления мозга в общих энергетических затратах организма. С подобными трактовками ПСЭ понять суть построенных на его основе совсем непростых теорий становится совсем безнадежным делом. Полагаю, что и в моем посте «Преодоление неопределенности», где я попытался по диагонали пробежаться по основным понятиям «единой теории мозга» Фристона, получилось немногим лучше. Понятия-то я перечислил и даже их кратко описал, пытаясь заодно содержательно увязать их между собой без использования формул. Однако, понять, как и почему это все работает на практике, и что из этого следует, — боюсь, мало у кого получилось по прочтению того моего поста. Ибо принцип свободной энергии Фристона — это концепция на границе теории и неизвестности.А когда подходишь к такой границе, одной теории недостаточно для понимания. Здесь нужно, по терминологии Брета Виктора, воспользоваться «лестницей абстракций», постепенно обретая понимание при переходах между разными уровнями абстракции. Например, — как мы открываем для себя новый город? Можно гулять по улицам, вглядываясь в архитектурные детали и пытаясь почувствовать неповторимую историческую ауру каждой. А можно совершить вертолетный тур над городом, чтобы город открылся вам целиком, одномоментно представив вам уникальный узор из неповторимых городских достопримечательностей. Но куда лучше можно понять и прочувствовать город, совместив оба подхода — сначала вертолетный тур, а потом прогулки по городу. Возможность увидеть город с разных уровней открывает самый эффективный путь к его изучению.https://avatars.mds.yandex.net/get-z...b0f/scale_1200 Старый ТаллинТак может стоит попытаться использовать подобный двухэтапный подход с двумя уровнями абстракции, чтобы пробиться, наконец, к пониманию основ «единой теории мозга» Фристона? Что если сначала попытаться взглянуть на ПСЭ с максимально высокого уровня абстракции, чтобы ухватить в нём главное — его суть, составляющую основное начало построенных на его базе теорий. А потом, с высоты верхнеуровневого понимания сути ПСЭ, рассмотреть пару конкретных теорий на его основе, иллюстрирующих прикладные аспекты этого фундаментального принципа. Этой парой теорий, важнейших для понимания феноменов познания через призму ПСЭ, являются теории представления мозгом пространства и времени. Именно они определяют метрику окружающей нас действительности. Если с помощью ПСЭ нам удастся понять, каким образом пространство и время конструируются в нашем сознании так, чтобы оптимизировать наше выживание и удовлетворение предпочтений в окружающей нас действительности, — будем считать, что наше первое знакомство с двумя главными достопримечательностями «города мозг» удалось. К сожалению, уместить такое двухчастное повествование о ПСЭ в одном, даже очень длинном лонгриде, у меня не получилось. Поэтому пришлось разбить его на два лонгрида. И перед вами первый из них — взгляд на ПСЭ с высшего уровня абстракции. Столь высокоуровневое его описание, насколько мне известно, еще не публиковалось. ─── ≈ ≈ ≈ ─── Часть 1. Целесообразность природы «Когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным»1. Принципы оптимальности https://avatars.mds.yandex.net/get-z...124/scale_1200 Источник: https://www.resonancescience.org/quantum-geometryС точки зрения физики, любая «настоящая» теория имеет два этажа. Первый этаж составляют законы, связывающие и объясняющие различные явления окружающей действительности. Второй же этаж построен из дедуктивных (логических) связей между законами 1го этажа. Эти связи позволяют выводить одни законы из других, или по словам А. Эйнштейна, позволяют “понять эмпирическую закономерность как логическую необходимость”. Если этот 2й этаж отсутствует, то данная область может рассматриваться только как совокупность эмпирических знаний, но не как теория (подробней об этом см. в [1]). В каждой из областей науки, для которой 2й этаж построен (напр. механика, геометрическая оптика, термодинамика), сформулирован некий принцип оптимальности (другие названия — экстремальный или вариационный принцип). Это некое утверждение об экстремуме (минимуме или максимуме) некоторой величины (называемой целевой функцией или функционалом), которую в данной области «экономит» природа.Лейбниц в 1714 г. писал, что Бог наиболее экономичным образом распорядился пространством и временем, и при помощи наипростейших средств Он произвел наибольшие действия. А Эйлер, спустя 30 лет открывший вариационное исчисление, писал, что природа повсюду действует согласно некоему принципу максимума и минимума, и именно в этом следует искать подлинные основы метафизики. Самое главное, считал Эйлер, — найти, что это за величина, что именно «экономит» природа в конкретной области знаний.Зная это, можно сформулировать соответствующий экстремальный принцип, содержащий в себе основные физические законы данной области, вывести которые в явной форме — дело простой математической ловкости (подробней об этом см. в [2]). Несмотря на кажущуюся простоту предположения Эйлера, на его реализацию потребовалось почти три века. Но и поныне не найден универсальный метод выявления экстремизируемых величин, которые «экономит» природа. Проще всего оказалось в механике и оптике. Там экстремизируемые величины были найдены практически путем перебора. Однако, в термодинамике такой величиной оказалась энтропия — непростое понятие с не самым очевидным физическим смыслом. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...164/scale_1200 Слева направо: Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер, Пьер де ФермаВ результате нахождения в разных областях своих экстремизируемых величин, в оптике был открыт принцип наименьшего времени (принцип Ферма), в механике — принцип наименьшего действия Гамильтона (первая формулировка этого принципа принадлежит Мопертюи), в термодинамике — принцип максимума энтропии (в статистической механике Гиббса и теории информации Шеннона). Дальше больше. Нашли соответствующие экстремизируемые величины для применения экстремального принципа и в других разделах физики: в релятивисткой и квантовой механике, электродинамике, теории поля, космологии. Все эти экстремальные принципы обладают беспрецедентной эвристической и обобщающей силой. Например, самый известный из экстремальных принципов принцип наименьшего действия (ПНД) утверждает: система ведёт себя таким образом, чтобы ее «действие» было минимальным (или максимальным) из всех возможных при данных условиях.Иными словами, — все процессы в мире происходят так, чтобы был максимальный эффект при минимуме затрат действий. Наиболее наглядным примером реализации этого принципа является принцип наименьшего времени в геометрической оптике, выдвинутый Ферма. Он постулирует, что свет выбирает из множества путей между двумя точками тот путь, который потребует наименьшего времени. Т.е. луч света движется из начальной точки в конечную точку по пути, минимизирующему время движения. Являясь «законом 2го этажа», этот принцип обобщает ряд известных «законов 1го этажа» в области геометрической оптики: напр., прямолинейность луча света в однородной среде, законы отражения и преломления света на границе двух прозрачных сред. Иллюстрацией действия последнего служит рисунок из работы Гюйгенса «Трактат о свете», поясняющий доказательство принципа Ферма на основании закона преломления. Простым геометрическим доказательством здесь показано, что время прохождения света по траектории ABC самое короткое из возможных. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...165/scale_1200 Рисунок из работы Гюйгенса «Трактат о свете», поясняющий доказательство принципа Ферма на основании закона преломленияА вот какова логика доказательства принципа Ферма, изложенная в повести Теда Чана «История твоей жизни». Великий природообразующий смысл вариационных принципов еще в молодости захватил воображение Тэда Чана. Его размышления о роли этих принципов в мироздании легли в основу самой знаменитой повести Чана, по которой был снят отличный фильм Дени Вильнёва «Прибытие». Принцип Ферма использован героями Чана в попытках наладить коммуникацию с инопланетянами, обладающими совершенно иным, чем у людей, разумом. Вследствие кардинально иного восприятия времени и причинности (подробней см. в моем посте «Время →Мышление→Язык→Смысл жизни») инопланетяне иначе, чем люди воспринимали физическую реальность. А принцип Ферма, ставший ключом к взаимопониманию, послужил идеальным отображением иной причинности физических процессов, возможной в природе. Но об этом важнейшем моменте, будут написано позже. Пока же вернемся к логике доказательства принципа Ферма. Допустим, траектория светового луча пролегает из воздуха в воду. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...38f/scale_1200 В воздухе луч света распространяется по прямой, ибо это для него самый быстрый из всех возможных путей. Но потом луч достигнет воды, у которой иной коэффициент преломления. И поэтому луч меняет свое направление таким образом, чтобы его путь по итоговой траектории был самым быстрым из всех возможных путей между точками А и В. Если, ради наглядности, предположить, что луч света пойдет по прямой, то эта гипотетическая траектория (показана пунктиром) будет короче реальной. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...38e/scale_1200 |
Однако, в воде свет распространяется медленнее, чем в воздухе, а на воду теперь приходится бОльшая, чем раньше, часть пути. В результате, на всю траекторию от А до В лучу света также потребовалось бы больше времени, чем при изменении траектории на границе раздела сред (сплошная линия).
А теперь предположим, что луч света пойдет вот так, минимизируя длину пути через воду, дабы предельно сократить отрезок пути, на котором скорость распространения света меньше, чем в воздухе. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...390/scale_1200 В этом случае на воду приходится еще минимальный путь. Но зато общая длина траектории увеличилась. Так что и этот гипотетический путь тоже занял бы больше времени, чем реальный. Ибо уж больно длинным теперь стал путь луча по воздуху. Т.о. на путешествие по любой из гипотетических траекторий всегда потребуется больше времени, чем луч света тратит в реальности.Иными словами, свет всегда выбирает самый быстрый путь, что и постулирует вариационный принцип наименьшего времени, выдвинутый Ферма. 2. Цель вместо причины https://avatars.mds.yandex.net/get-z...496/scale_1200 Edward Clydesdale Thomson Causa Finalis 4 https://www.fonswelters.nl/exhibitio...-Вышеописанную логику легко объяснить на словах. Но для точной математической формулировки принципа требуется не обычная математика, а вариационное исчисление. А для философского осмысления данного принципа необходимо заменить общепринятые представления о причинности (казуальности) в физическом мире. Дело в том, что общепринятые формулировки физических законов казуальны, в то время как вариационные принципы, вроде принципа Ферма, являются целеполагающими. В привычной нам казуальной трактовке, достаточно знать исходное направление луча, расстояние от его источника до поверхности раздела сред и коэффициенты преломления сред. Преломление света в каузальных терминах происходит, когда луч достигает поверхности воды — это причина. А то, что, достигнув воды, луч меняет свое направление — это следствие. В неказуальной (целеполагающей или телеологической) трактовке поведение света описывается, как ориентированное на цель. И эта цель в том, чтобы минимизировать (либо максимизировать — в общей формулировке вариационных принципов) время, затраченное на путь к назначенной точке пространства, куда ему суждено в итоге попасть. Чтобы сделать это, луч обязан абсолютно точно знать место назначения своего движения еще до того, как выберет направление движения. Ведь если место назначения будет иным, то и самый быстрый путь к нему также окажется другим. Такая телеологическая трактовка принципа Ферма абсолютно не совпадает с заложенным в нас пониманием причинности. В науке и в повседневной жизни мы привыкли к действующей причинности Causa efficiens — причина, действие которой простирается из настоящего в будущее и порождает там более поздние состояния обусловленные более ранними. В телеологической трактовке мы сталкиваемся с целевой (или конечной) причинностью: Causa finalis — причина, находящаяся в будущем в виде цели, к которой самою природой определенно стремяться, и являющейся предпосылкой тех процессов, которые приводят к этой цели.Ситуация еще более усложняется при рассмотрении вариационных принципов из других разделов физики, казалось бы, не имеющих ничего общего с геометрической оптикой. Дело в том, что почти каждый физический закон можно представить в виде вариационного принципа. Единственная разница между ними будет в том:
В случае, величина, которую «экономит» природа, является временем. В общем же случае, используется понятие «действие», имеющее размерность «энергия х время». Действие может выражаться интегралами по времени, по траектории в пространстве-времени или по объему любой размерности. Многими физиками «действие» (в отличие, например, от энергии) трактуется вообще не как физическая величина, а некий математический объект, а ПНД понимается ими лишь как способ записи физических законов в математической форме, наиболее удобной для расчетов. Но как ни трактуй ПНД, уровень его обобщения таков, что он одинаково применим для классической и релятивистской механики. Из него легко выводятся и 2й закон Ньютона для тела, движущегося под действием постоянной силы, и уравнение Эйнштейна из общей теории относительности для движений в сильных полях и с высокими скоростями. Сам Эйнштейн писал, что всю общую теорию относительности можно разработать на основе именно этого «одного-единственного вариационного принципа». А Планк, считавший ПНД «высшим физическим законом», предлагал рассматривать как величайшее чудо, что сама формулировка ПНД создает впечатление, будто природа управляется разумной, целесообразной волей. А при такой трактовке, естественен вопрос — чей это разум и воля управляют природой? Понятно, что постановка подобных вопросов не могла не сказаться на научной судьбе вариационных принципов. И при всей их неоспоримости, гениальной простоте и универсальности, со времен Эйнштейна и Планка куда большее распространение получили привычные людям казуальные представления о физике окружающего нас мира. С тех пор прошло много десятилетий. Но и сегодня пока неизвестно, почему значительная часть физических явлений природы может быть описана через какой-то из принципов оптимальности, представляющий собой вариационный принцип для конкретной области. По сути, все эти принципы, являясь аксиомами, — ни что иное, как некие суперзаконы природы, составляющие «2й этаж» знаний в каждой из областей науки. Их даже можно считать не физическими, а философскими принципами, — фундаментальными принципами Бытия. А можно сказать, что это просто проверенный временем формальный метод, которому нужно следовать, ибо любые реальные физические системы (летящий камень, элементарная частица, луч света, планеты, внутренняя симметрия Вселенной …) подчиняются ему. 3. От оптимальности к упорядоченности https://avatars.mds.yandex.net/get-z...377/scale_1200 Andrew Vucko Order in Chaos / Arm PelionНалет мистической телеологии на объяснении экстремальных принципов, как стремления природы к простоте и экономии, не позволил им получить признание в качестве основного закона — «конституции природы». Тем не менее, экстремальные принципы, воплощающие «стремление природы» к оптимизации (максимизации или минимизации) определенных физических величин, ныне общепризнаны в качестве наиболее общих физических принципов природы, которые не требуют своего доказательства, — они просто есть. Эти принципы просто постулируются. А их справедливость проявляется и проверяется всем дальнейшим развитием науки. При этом ни одна из наук не считает экстремальные (вариационные) принципы предметом своих исследований. Однако, принимая их как аксиому, или просто многократно проверенный опытом формальный метод, многие из наук за пределами физики сформулировали собственные вариационные принципы: в химии, биологии, теории информации, в теории оптимального управления и пр. Оказалось, что эти принципы одинаково эффективны для описания детерминистических, статистических и вероятностных процессов. Кроме того (и это оказалось крайне важно), экстремальные (вариационные) принципы можно интерпретировать и в информационных терминах.При этом экстремизируемые величины (которые «экономит» природа) определяются в логарифмической форме — энтропия, информация и связанные с ними понятия. Так в 1957 г. был сформулирован принцип максимума энтропии в трактовке Джейнса (как меры незнания), имеющий скорее логический, чем физический характер и описывающий субъективные свойства познания. Эта трактовка нашла успешное применение за пределами физики: в лингвистике, экономике, биологии, психологии и теории распознавания образов. А в 1967 г. появился принцип минимума различающей информации Кульбака, формализм которого на основе известного “априорного” распределения и какой-то дополнительной информации о величине Х, определял наилучшим (самым непредвзятым) «апостериорным распределением» то, что минимально отличается от «априорного», с учетом дополнительного условия для некоторой функции. А спустя еще три десятка лет стали предприниматься попытки совмещения двух вышеназванных вариационных принципов для ответа на сокровенный вопрос науки — как может возникать упорядоченность в мире, где энтропия в целом возрастает? 4. Биологическая термодинамика жизни https://avatars.mds.yandex.net/get-z...8d8/scale_1200 Источник: http://images.fineartamerica.com/ima....jpgЗнаменитый английский астрофизик Артур Эддингтон, подтвердивший опытным путем предсказание общей теории относительности Эйнштейна, писал в вышедшей в 1920 г. книге «Пространство, время и тяготение»: «Действие — это одно из понятий физики периода, предшествовавшего появлению теории относительности, которое сохраняется неизменным в абсолютном описании мира. Единственное другое понятие, пережившее эту революцию — энтропия. Теория относительности бросала свою тень вперед уже при своем приближении, и физические явления уже тогда имели тенденцию объединяться около двух великих обобщений, — принципа наименьшего действия и второго закона термодинамики или принципа максимума энтропии».Первые попытки объединения этих «двух великих обобщений» были предприняты еще в 19 веке для объяснения сущности жизни как природного явления. Наш великий соотечественник, которого называли Русским Леонардо да Винчи 20 века, Побиск Георгиевич Кузнецов так писал в 1964, предваряя рассказ об истории применения термодинамики в биологии: «Необходимо отметить, что в науке редко «неожиданно» рождаются новые идеи — чаще всего эти идеи имеют длительную предысторию, но не были правильно поняты современниками».Л. Больцман еще в 1886 г. предпринимал попытки дать термодинамический анализ явлений жизни, выдвигая тезис, что борьба за существование — это борьба за энтропию. В своей речи на заседании Академии наук в Вене, он говорил так. «Всеобщая борьба за существование, охватывающая весь органический мир, не есть борьба за вещество: химические элементы органического вещества находятся в избытке в воздухе, воде и земле; это также не борьба за энергию, — она, к сожалению, в непревратимой форме, в форме теплоты, щедро рассеяна во всех телах; это борьба за энтропию, становящуюся доступной при переходе энергии от пылающего солнца к холодной земле».Через 16 лет в 1902 русский физик-теоретик Николай Алексеевич Умов в книге «Физико-механическая модель живой материи», предложил сформулировать 3-й закон термодинамики для выражения специфической термодинамической закономерность явлений жизни, прямо противоположных 2-му закону термодинамики. А еще через 3 года в 1905 эта тема развивается в работах немецкого физика и математика Феликса Ауэрбаха. Он вводит в термодинамику новое понятие «эктропия», прямо противоположное понятию «энтропия». В 1911 выходит книга Ауэрбаха «Эктропизм или физическая теория жизни», в которой было сформулировано: «Жизнь — это та организация, которую мир создал для борьбы против обесценения энергии…, снижению её способности к действию». «В человеческом роде эктроптческая способность достигла высшей своей точки». «Если энтропическое есть, по Больцману, вероятное, то в соответствии с этим эктропическое будет невероятное». «Отличительным признаком всего индивидуального, специфически эктропического будет, очевидно, то, что оно производит невероятное, опрокидывает статистику». «Биология есть, следовательно, физика тех систем, которые в состоянии самостоятельно, свободно пользуясь чужой энергией, действовать экстропически и упорядочивающе».Спустя еще 16 лет в 1927 великий российский учёный-естествоиспытатель Владимир Иванович Вернадский в работе использовал термодинамическое различие живого вещества от неживой природы и 2-й закон термодинамики для объяснения всей космической эволюции. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...0f1/scale_1200 |
Слева направо: Л. Больцман, Н.А.Умов, Ф.Ауэрбах, В.И.ВернадскийВ 1935 г. появляется работа советского биолога Эрвина Симоновича Бауэра «Теоретическая биология». В основу этой работы Бауэр положил принцип, характеризующий эволюцию живого
вещества в том смысле, как понимал этот процесс Вернадский. Бауэр выдвинул гипотезу о существовании основного закона биологии, который он формулирует как «принцип устойчивой неравновесности», вытекающий из способности живых организмов в изменившихся условиях внешней среды уходить от состояния термодинамического равновесия. При этом, по Бауэру, изменение состояния системы направлено в некотором смысле против изменения состояния окружающей среды. Следующий этап термодинамического анализа биологических процессов связан с публикацией в 1947 книги Эрвина Шредингера «Что такое жизнь с точки зрения физики?». В ней было введено понятие «отрицательной энтропии», которая служит питанием для всех живых организмов. Достаточно обратиться к приведенным выше цитатам из Больцмана (1886) и Ауэрбаха (1911), чтобы увидеть тесную связь всего хода развития науки, неизбежно приводящую различных ученых к одинаковым выводам, — пишет Побиск Георгиевич Кузнецов в послесловии к вышедшему в 1965 второму изданию книги Карла Сигизмундовича Тринчера «Биология и информация. Элементы биологической термодинамики». https://avatars.mds.yandex.net/get-z...914/scale_1200 Слева направо: Э.С. Бауэр, Э. Шредингер, П.Г. Кузнецов, К.С. ТринчерТак за более полувека, гениальностью и трудом великих умов Умова, Ауэрбаха, Вернадского, Бауэра, Шредингера, Кузнецова, Тринчера и еще нескольких истинных ученых биологическая термодинамика жизни вплотную подошла к своей информационной интерпретации. С её помощью исследователи пытались понять — как может возникать упорядоченность в мире, где энтропия в целом возрастает. 5. Поиск вариационного принципа жизни https://avatars.mds.yandex.net/get-z...9ef/scale_1200 Слева направо: Г.А. Голицын, В.М. Петров, А.П. ЛевичОдна из первых попыток ответа на вопрос, как может возникать упорядоченность в мире, где энтропия в целом возрастает, была предложена в 1992 г. российским исследователем сложных систем с помощью теории информации Германом Алексеевичем Голицыным в работе «Принцип максимума информации в эволюции материи». Отвечая на вопрос — какой фактор, определяющий суть биологической организации, остается вне (или, по крайней мере, на периферии) поля зрения при традиционном термодинамическом подходе, — Голицын предположил, что таким фактором является действие, а точнее взаимодействие живой системы со средой. Ранее, в совместных работах Г.А Голицына с Владимиром Михайловичем Петровым, уже было сформулировано другое важное предположение, — что наиболее общей и адекватной мерой адаптации системы к окружению является средняя взаимная информация между условиями среды X и реакциями (или признаками) системы Y. А основным принципом, определяющим эволюцию и поведение системы, является принцип максимума взаимной информации: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...132/scale_1200 Здесь p(x / y), p(x) — условная и безусловная вероятность, H(X / Y), H(X) — условная и безусловная энтропия. Спустя 14 лет, в вышедшей в 2006 г. совместной работе Голицина и Александра Петровича Левича «Принцип максимума информации и вариационные принципы в научном знании», был предложен заключительный шаг на пути формулирования искомого экстремального принципа, объясняющего, как может возникать упорядоченность в мире, где энтропия в целом возрастает. Авторы обратили внимание на то, что для биологических систем чрезвычайно типичны и важны такие процессы как потеря устойчивости, уход от равновесия и переход к новому равновесию. Такие процессы обеспечивают гомеостаз (от греч. Ὅμοιος , hómoios , аналогичные и στάσις, stásis , стоя на месте) живых организмов — их уникальную способность поддерживать свои состояния в определенных пределах. Гомеостаз позволяет сохранять относительное динамическое постоянство состава и свойств внутренней среды и устойчивость основных физиологических функций в условиях изменяющейся внешней среды. Способность гомеостаза присутствует на всех уровнях организации жизни — от клеток и молекул до биоценозов и биосферы в целом. Все аспекты развития индивидов, их поведение, творчество, равно как и эволюция всей биосферы в целом, — основаны именно на таких неустойчивых процессах. Поэтому Голицын и Левич поставили перед собой сверхзадачу. Найти экстремальный принцип, который, с одной стороны, адекватно описывал бы динамику этих процессов, а с другой — сохранял бы преемственность по отношению к известным экстремальным принципам, включая их в себя как предельные частные случаи.Для отыскания законов изменчивости систем авторы предложили обобщенный формализм, основанный на принципе максимума обобщенной энтропии. Последняя интерпретируется, как мера структурированности состояния (мера удаленности состояния от его бесструктурного аналога) и определяется логарифмом удельного числа допустимых преобразований данного состояния системы. В итоге авторы показали, что принцип максимума обобщенной энтропии эквивалентен принципу реализации экстремального состояния системы, а также принципу наименьшего “потребления” ограничивающих ресурсов или их определенной комбинации, которую авторы назвали обобщенной свободной энергией системы. Т.о. к началу 21 века в науке уже нашла распространение гипотеза некоего единого вариационного принципа на стыке информации и энтропии, способного объяснить механизм долговременного сохранения и поддержки живыми организмами упорядоченной структуры внутренних состояний в мире, энтропия которого неуклонно возрастает. Более того, даже определился главный кандидат на звание универсального антиэнтропийного свойства живого организма — его активное взаимодействие со средой. Для превращения гипотезы в формально обоснованный и математически описанный принцип необходим был следующий решающий шаг. Предстояло понять, что же оптимизирует («экономит») природа в случае живых организмов для обеспечения их выживания в упорядоченном состоянии наперекор росту энтропии в окружающем мире. Поняв, что «экономит» природа в случае живых организмов, можно было бы (как это почти три века назад предположил Эйлер) сформулировать и математически упаковать соответствующий экстремальный принцип, содержащий в себе основные законы функционирования живых существ, включая законы управления поведением, сознанием, эмоциями и разумом. Всё это и было сделано в первом десятилетии 21 века Карлом Фристоном. ─── ≈ ≈ ≈ ─── Часть 2. Биоматематика целесообразности жизни Всю первую половину нашего столетия стихийно созревала, однако, мысль о важнейшем качестве, наблюдаемом как на всех живых системах, так и на искусственных устройствах, создававшихся человеком для усиления своей власти над природой, и в то же время категорически отсутствующем в каких бы то ни было неживых и не построенных человеком объектах. Этим качеством была целесообразность.1. Хочешь выжить — избегай неожиданностей https://avatars.mds.yandex.net/get-z...f2b/scale_1200 Карл Фристон и символическое изображение основных теоретических конструктов, построенных на основании ПСЭ«Сейчас делается все более ясным, что математический аппарат, разработанный для изображения и анализа физических и химических явлений и великолепно справлявшийся с проблематикой наук о неживой природе, нуждается в глубокой доработке и обновлении для того, чтобы овладеть также и проблемами жизни. Есть все основания ожидать, что это совершится уже в недалеком будущем» — писал в 1935 г. проф. Н. А. Бернштейн в предисловии к книге К.С. Тринчера «Биология и информация. Элементы биологической термодинамики». https://avatars.mds.yandex.net/get-z...7e1/scale_1200 Однако, как было показано в предыдущем разделе, за следующие более полувека математический аппарат, описывающий целесообразность жизни, так и не был создан, не смотря на усилия многих великолепных умов. Целесообразность (разумность, полезность, желательность), — как отличительное свойство живого, подразумевает у него некую закономерность, принцип, аналогичный причинности, но не сводящийся к ней. Прообразами такого принципа, разработанными в начале 21 века, стали вариационные принципы максимума информации и наименьшего “потребления” ограничивающих ресурсов или их определенной комбинации, которую авторы (Голицын и Левич) назвали обобщенной свободной энергией системы. Однако, вопрос, что же конкретно «экономит» природа для обеспечения целесообразности в случае живых организмов, так и оставался открытым до появления принципа свободной энергии Карла Фристона. В поисках ответа на этот вопрос Фристон следовал интуитивной логике. Что для нас является отличительным свойством жизни? Ведь отличить живое от неживого мы можем чисто интуитивно, не озадачивая себя выбором отличительных критериев живого от неживого. Следовательно, должен быть какой-то общий организующий принцип, характерный для любых агентов, демонстрирующих особенности, позволяющие нам интуитивно считать их живыми. Дальнейшие умозаключения следующего этой логике Фристона вполне прозрачны и понятны. Если, конечно, не погружать читателя в пучину формул, — коими до предела напичканы работы Фристона. И не пытаться объяснять абстрактные понятия с помощью еще более абстрактных понятий — типа «живой капли чернил» или «снежинки с крыльями», — как это часто делает Фристон в своих интервью. Попробуем проследить логику Фристона, структурировав её в максимально наглядной форме с помощью простых примеров (как это сделала Джули Питт в презентации «Machines that learn through action …the future of AI»). |
Дано: 1) Гомеостатический императив
Отличительной способностью живых организмов является их способность поддерживать собственный гомеостаз — т.е. сохранять относительное динамическое постоянство состава и свойств внутренней среды и устойчивости основных физиологических функций в условиях изменяющейся внешней среды. Сохранение гомеостаза — абсолютное условие выживания любого живого организма.Это значит, что набор внутренних состояний живого организма есть некое подмножество всех возможных внутренних состояний. Причем состояния, совместимые с выживанием агента, составляют мизерную толику всех возможных состояний. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...e87/scale_1200 Под состояниями понимаются все положения и движения частей тела агента, электрохимические состояния его мозга, физиологические изменения в органах и т. д. Пока эти состояния находятся в области, совместимой с выживанием (в области гомеостаза), все в порядке — агент будет жить. Если же состояния организма окажутся за пределами области состояний, совместимых с выживанием, жизнь агента прекратится (например, если температура тела человека станет ниже 24° или выше 43°). Следует, однако, иметь в виду, что для разных организмов области состояний, совместимых с выживанием могут сильно отличаться. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...817/scale_1200 Но так уж устроен мир, что выживанию агента постоянно мешает хаос в окружающей его среде. В соответствии со 2-м законом термодинамики, энтропия мира в целом неуклонно растет. Это провоцирует увеличение числа возможных состояний агента, что грозит риском выхода за пределы области состояний, совместимых с выживанием. Агенту нужно как-то с этим бороться, ибо вопрос стоит о самом для него важном — о выживании. Дано: 2) Прогнозирующий мозг Согласно доминирующей в современной науке концепции «прогнозирующего мозга», в нем постоянно формируется и обновляется модель окружающего мира и самого агента в этом постоянно меняющемся окружении. Поступающие от органов чувств сенсорные данные (о состоянии среды и самого агента) постоянно сравниваются с прогнозами (ожиданиями) мозга, какими эти данные должны быть в соответствии с его моделью. При этом главная цель существования (см. в «дано 1» выше) постоянна и неизменна — оставаться в области состояний, совместимых с выживанием.На практике для агента возможны два варианта.
2. Что экономит природа В предыдущем разделе, на основании двух «дано», была представлена общая схема оценки ситуации прогнозирующим мозгом, стремящимся сохранить гомеостаз — состояния, совместимые с жизнью организма. В зависимости от величины неожиданности, у прогнозирующего мозга получаются два возможных результата: удовлетворительный для живого организма или неудовлетворительный. Зададимся вопросом: что же в такой схеме должна «экономить» природа? Исходя из того, что было «дано», ответ очевиден. Нужно «экономить» (т.е. стараться не давать снижаться) вероятности гомеостаза. А для этого нужно (как видно из приведенного выше рисунка) минимизировать неожиданность. Именно она — угроза для выживания. Поскольку цель агента — во что бы то ни стало выжить, необходимо минимизировать неожиданность. Это, по сути, универсальный принцип выживания любого агента.https://avatars.mds.yandex.net/get-z...f4b/scale_1200 Но как измерять неожиданность? Напрямую — получается, что никак. Окружающая среда — находится вне агента. А модель — внутри него (в мозге). Связь между ними непрямая — через органы чувств. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...322/scale_1200 Тогда зададимся вопросом — а в чем суть неожиданности? Интуитивный ответ однозначен — в том, что мы такого не ожидали. Т.е. произошло что-то невероятное с точки зрений наших ожиданий. Воспользуемся этим пониманием неожиданности, как невероятности, в контексте прогнозирующего мозга. Есть модель мира (m) и сенсорные данные (s). Вероятность совпадения сенсорных данных с моделью мира можно записать так: log p (s | m). Тогда невероятность этого будет тем же самым выражением со знаком минус: -log p (s | m). Математически минимизация средней неожиданности (также называемой энтропией) становится тем же самым, что и максимизация обоснованности p (s | m ) модели. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...cb3/scale_1200 Но вместо неожиданности, можно измерять ошибку модели, т.е. разницу между реальными сенсорными данными и их прогнозом в соответствии с моделью мира в мозге агента. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...3ee/scale_1200 Тогда в качестве верхней границы неожиданности (максимума ошибки модели) будет величина, называемая в статистической физике «свободная энергия». Она по определению будет больше или равна неожиданности (ошибки модели), ибо свободная энергия = неожиданность + дивергенцияПоследняя — это некая мера удалённости друг от друга двух вероятностных распределений и, следовательно, неотрицательная величина. Из чего следует, что свободная энергия всегда будет верхним пределом неожиданности. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...e10/scale_1200 Принципиально важно зафиксировать. Свободная энергия здесь не имеет ничего общего с энергией в общепринятом смысле. Это теоретико-информационное понятие, взятое Фристоном из статистической физики.Вместе с тем, свободная энергия Фристона, будучи рассмотренной в контексте принципа наименьшего действия, вполне соответствует понятию «действие», в механике используемом в качестве меры изменения количества движения в ходе процесса, ведущего к изменению состояния. Как было показано в части 1, понятие действие обобщается и на немеханические формы движения, в которых под действием понимают количественную меру процесса, связанного с преодолением каких-либо сил. А сила — это понятие, относящееся к нескольким объектам. И в общем виде материальных взаимодействий можно говорить не только о механической природе сил, но и о химической, электрической, ядерной и прочими видами взаимодействий. Озарение Фристона, сумевшего-таки найти таинственную величину, что «экономит» природа в живых агентах, основано на том, что он первым увидел ускользавшее ранее от других.
Фото лекции Ричарда Фейнмана, на которой он рассказывает, что фундаментальные законы можно облечь в форму принципа наименьшего действия. Источник фото и стенограмма лекции: https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_19.html В результате этих догадок, у Фристона, как и у Фейнмана, происходит минимизация свободной энергии в смысле, эквивалентном максимизации доказательств модели. И делается это решением задачи оптимизации с применением вариационного принципа. Поэтому точное название того, что «экономит» природа в живых организмах — вариационная свободная энергия.«Экономя» её, мозг, пытается максимизировать доказательства своей байесовской модели мира, неявно пытаясь при этом минимизировать свою энтропию. Другими словами, сопротивляясь 2-му закону термодинамики, мозг прибегает к самоорганизации в борьбе с царящим в мире беспорядком. Из чего следует, что мозг — это самоорганизующаяся система, минимизирующая свою энтропию и тем самым противостоящая естественной тенденции к беспорядку, поддерживая устойчивый и гомеостатический обмен с окружающей средой.Таким образом, Фристон показал, что предложенный им принцип оптимальности (принцип свободной энергии — ПСЭ) является принципом экстремального действия, лежащим в основе работы мозга. Теперь Фристону оставалось ответить на вопрос, — КАК мозг это делает? 3. Как минимизируется свободная энергия Ответ на этот вопрос лежит на поверхности. Он вытекает из того, чем живое отличается от неживого. Живой организм способен действовать, меняя состояния внешней среды. А ключевым фактором этой способности является движение.Что делает организм столкнувшись с опасной для него неожиданностью? Вариантов всего два. ✔️ Действовать — воздействовать на мир (убегать, нападать, ломать, строить и т.д.) ✔️ Изменять представления о мире в своей модели (может, на самом деле, все не так плохо, как она прогнозирует, и если ее соответствующим образом подправить, глядишь, неожиданность исчезнет). Получается такая схема. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...545/scale_1200 Реализация данной схемы мозгом автоматически ведет к минимизации свободной энергии. Как эта происходит на практике, можете посмотреть в изложении Джули Питт (примерно 10 мин. с 21й минуты). А можно послушать и самого Фристона (1 час 47 мин с переводом), дабы узнать куда больше, если пробиться сквозь непроходимую сложность изложения, присущую гениальному ученому. Но как наиболее емкий и понятный рассказ, я бы рекомендовал доклад на совместном биолого-математическом семинаре ИПУ РАН и ИБР РАН д.ф.м.н. Людмилы Юрьевны Жиляковой (здесь можно скачать слайды доклада). В докладе Л.Ю.Жиляковой в деталях рассматривается математическое описания мозговых функций с помощью ПСЭ, выполненое Фристоном на основе «Байесовской теории мозга». Мы же здесь лишь пробежимся по верхам этого математического описания, чтобы уловить главное. Байесовская теория мозга содержит в себе набор математических инструментов для моделирования взаимодействия организмов с окружающим миром. В настоящее время это одна из самых влиятельных теорий в когнитивной нейробиологии. Ее суть в том, что мозг строит свои прогнозы в форме байесовских вероятностей, получая данные от органов чувств, и постоянно обновляя (выводя) свои убеждения (beliefs) о состоянии окружающего мира. Здесь термин “убеждение” обозначает ментальную репрезентацию, которой придерживается агент и которая может отражать его предшествующий опыт. Убеждения могут касаться конкретных (например, физических свойств объектов в мире) или абстрактных (например, намерений других людей) сущностей мира. Чтобы учесть неизбежную неопределенность, убеждения имеют вероятностное представление и соответствуют распределениям вероятностей. Т.о. они характеризуются статистическими данными, такими как математическое ожидание (среднее значение) или точность (обратная дисперсия). Более того, убеждения могут зависеть друг от друга и в совокупности составляют модель мира агента. |
В частности, теорема Байеса описывает, как первоначальное убеждение (или априорная информация — Prior) о конкретной величине интегрируется с новыми наблюдениями (то есть сенсорным входом — Likelihood) или обновляется ими, что приводит к обновленному (или апостериорному — Posterior) убеждению.
Данный процесс можно проиллюстрировать так. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...061/scale_1200 Источник оригинала: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/art...PMC7243935/Вот что иллюстрируется каждым из четырех графиков. А) Иллюстрация концепции “убеждений” как вероятностных распределений. Показано гауссово распределение вероятностей, характеризующееся математическим ожиданием (вертикальная пунктирная линия) и точностью (горизонтальная двойная стрелка). Ось X (Коричневая) указывает на сущность, по отношению к которой формируется убеждение (например, температура конкретного объекта). Ось Y (фиолетовая) представляет собой, попросту говоря, вероятность, которая присваивается каждому возможному значению этой сущности (в приведенном выше примере: вероятность того, что температура объекта имеет определенное значение). Б) Графическое изложение теоремы Байеса для гауссовых распределений вероятностей. Показано, что Posterior представляет собой компромисс между Prior и Likelihood, в зависимости от их относительной точности. PE-это аббревиатура от «prediction error» (ошибка предсказания). Допустим, что данный рисунок иллюстрирует восприятие температуры. Фактически воспринимаемая температура (апостериорное убеждение Posterior) — это компромисс между ожидаемой или предсказанной температурой (априорным убеждением Prior) и сенсорным входом Likelihood. Posterior можно также понимать, как обновление Prior, где величина обновления убеждения зависит от ошибки предсказания (PE) и относительной точности (обратной дисперсии) Prior и Likelihood. В этом примере точность сенсорного ввода Likelihood выше, и поэтому Posterior сдвигается в сторону Likelihood. В) Когда точность Prior выше, чем точность Likelihood, происходит небольшое обновление убеждения, приводящее к тому, что Posterior остается близким к Prior. Г) Когда точность Likelihood выше, чем точность Prior, происходит большое обновление убеждения, приводящее к тому, что Posterior перемещается в сторону Likelihood. Резюмировать рассмотренное выше математическое представление интегрального процесса минимизации свободной энергии на основе «Байесовской теории мозга» можно в виде двух процессов: прогностического кодирования и активного вывода. ✔️ Мозг конструирует иерархическую модель мира (физической и социальной среды, а также собственного тела), которая направляет восприятие и действие. ✔️ Процесс прогностического кодирования (Predictive coding) представляет восприятие как байесовский вывод в рамках иерархической модели о мире. ✔️ Процесс активного вывода (Active inference)объясняет выбор действий, как процесс реализации представлений о мире путем постоянного уточнения убеждений (Belief-fulfilling process). Иными словами, все биологические, живые системы имеют три характерные особенности:
цель мозга — свести к минимуму неожиданность (или ошибку предсказаний) сенсорных входов.Сочетание прогностического кодирования и активного вывода позволили Фристону и его последователям использовать ПСЭ для объяснения разнообразных явлений в сенсорной, когнитивной и двигательной неврологии, а также получить полезную информацию о структурно-функциональных отношениях в мозге. Результатом этого стала формализация важной связи между теорией информации (в смысле статистической термодинамики) и формальным описанием адаптивных агентов с точки зрения теории полезности и теории оптимальных решений. 4. Универсальная основа всего живого https://avatars.mds.yandex.net/get-z...cc4/scale_1200 Пример универсальности ПСЭ на разных уровнях биологической организацииДаже из приведенного предельно сжатого и упрощенного изложения основ ПСЭ, видно, что этот простой постулат имеет весьма важные “побочные эффекты”. Среди них три важнейших феномена, характеризующих живых агентов: восприятие, действие и обучение. Все они непосредственно связаны с процессами прогностического кодирования и активного вывода.
Жизнь, понимаемая, как биологическая самоорганизация, является неизбежным эмерджентным свойством любой эргодической случайной динамической системы, обладающей марковским ограждением (Markov blanket). |
Два особых требования, указанные в этом определении понятия «жизнь», необходимы для идентификации индивидов (отдельных живых существ) и объясняются так.
a) Требование наличия марковского ограждения необходимо для индивидуализации — выделение конкретного индивида в пространстве из его окружения (не являющегося этим индивидом). Понятие марковское ограждение возникло не в нейробиологии. Оно гораздо более фундаментально. Любая материальная сущность обладает своим марковским ограждением, поскольку, если его нет, невозможно отличить эту сущность от другой или от окружающего мира. b) Требование эргодичности системы необходимо при определении того, что этот индивид живой, т.е. он существует во времени. Эргодичность позволяет интерпретировать среднее время нахождения динамической системы в некотором состоянии, как вероятность того, что она будет находиться в этом состоянии при случайном наблюдении. Указанные два требования определяют живого индивида, как нечто стабильное, существующее во времени и поддерживающее собственную биологическую самоорганизацию.Это представление новой биологии 21 века (биологии процессов, в отличие от биологии вещей 20 века) согласуется с информационной теорией индивидуальности. Согласно ей, «живой индивид» — это агрегат (в смысле упорядоченная совокупность частей), который сохраняет свой показатель целостности во времени, распространяя в будущее максимально возможное количество информации (подробней см. мой пост «Что такое жизнь с точки зрения науки 21 века»). С учетом всех сделанных уточнений, можно переформулировать ПСЭ в общем виде. Любая живой индивид взаимодействующий с окружающей средой, в целях собственного выживания, должен минимизировать неопределенность в отношении причин сенсорных входов (и тем самым максимизировать свою адаптивную приспособляемость).Следовательно, ПСЭ является условием самой возможности существования адаптивных систем. Это предполагает, что адаптивные системы были бы невозможны, если бы ПСЭ не был истинным. По словам Фристона, “биологические системы, которые не минимизируют свободную энергию, не могут существовать”. А теперь, чтобы проиллюстрировать универсальность ПСЭ для всего живого, воспользуемся описанием, взятым из работы Максвелла Рамстэда и Пола Бэдкока «Answering Schrödinger’s question: A free-energy formulation» (отвечая на вопрос Шредингера: формулировка свободной энергии). Вопрос Шредингера, как мы помним, звучал так — «Что такое жизнь с точки зрения физики?». Как следует из приведенного выше определения, живой индивид может существовать на любом уровне биологической организации: от субклеточного до социального. Тогда, с учетом вложенности марковских ограждений, ПСЭ может быть принят в качестве универсального принципа существования жизни, разума и общества, применительно к широчайшему диапазону временных и пространственных масштабов. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...004/scale_1200 Источник оригинала: https://www.researchgate.net/publica...to_ThorntonЭта схема суммирует различные временные шкалы, в течение которых минимизация свободной энергии может рассматриваться как оптимизация следующих аспектов живого индивида: состояние (восприятие), конфигурирование (действие), коммуницирование (обучение и внимание), анатомия (развитие мозга) и фенотип (эволюция). Аргумент минимизации (argmin) определяет такие значения аргументов, при которых функция (свободная энергия F) достигает минимума. Аргументы включают в себя для живого индивида m: его внутренние состояния m, сенсорные входные данные s и действия a. Как видно из рисунка, минимизация свободной энергии происходит в широчайшем диапазоне временных и пространственных масштабов:
Заключение «Слова скрывают тайный смысл; каждый раз, как его одевают в слова, он становится немного иным, немного искаженным, немного глуповатым… да, и это тоже очень хорошо, и очень мне нравится, это тоже мне очень понятно: слова, в которых один человек находит жемчужины мудрости, для другого звучат глупостью».Это резюме я не зря сопроводил цитатой из «Сиддхартха». Сейчас, когда пост почти закончен, мне уже не кажется, что мое изложение теории Фристона получилось сильно понятней, чем оригинальные тексты самого Фристона. Увы, но зачастую, слова скрывают не только тайный смысл, но и тот, что автор пытается выразить явным образом. Весьма возможно, что многое из воспринимаемого мною в теории Фристона жемчужинами мудрости, многими будет воспринято непроходимой глупостью. Но кабы то ни было, резюмируем. ✔️ ПСЭ представляет собой математическую формулировку тенденции автономных живых систем адаптивно противостоять энтропийному распаду. ✔️ ПСЭ гласит, что все живые системы действуют так, чтобы уменьшить ошибку предсказаний и тем самым неявно противостоять энтропийной тенденции к термодинамическому равновесию — рассеянию и смерти. ✔️ ПСЭ является основополагающим принципом биологической самоорганизации (или самосборки) автономных биологических систем в масштабах от соматической адаптации на субклеточном и клеточном уровне до эволюции на уровне биологического вида. ✔️ Биологическая самоорганизация (жизнь) эргодических случайных динамических систем, проявляющаяся на всех уровнях вложенности марковских ограждений (клетка, орган, организм, группа, вид) является неизбежным эмерджентным свойством, обусловленным ПСЭ. ✔️ На всех этих уровнях, в широком диапазоне временных и пространственных масштабов, ПСЭ определяет ход процессов развития, присущих каждому из уровней: нейрокогнитивность, нейроразвитие, эпигенетика и эволюция. ✔️ Разум в этой схеме не является «объектом». Он проявляется в поведении живого индивида, совместно управляемом мозгом и телом и направленном на сохранении гомеостаза. Последнее, в свою очередь, всего лишь следствие ПСЭ для биологической самоорганизации. И сознание также не «объект», а естественный процесс, такой как эволюция или погода. А интеллект — и не «объект», и не процесс, а всего лишь мера разумности (целесообразности) поведения индивида. Тогда как волю живого индивида можно рассматривать, как результат интеграции способности предсказывать будущее и возможные действия и способности, основываясь на внутренней мотивационной структуре, выбрать конкретный путь, выполняя соответствующие действия. Т.о. попытка создать искусственный разум или искусственный интеллект в схеме Фристона просто нонсенс.Без воплощенного в какое-то тело живого индивида, обладающего собственной мотивационной структурой, волей и сознанием, определяющими разумность его поведения, говорить о создании искусственного интеллекта бессмысленно. Мера разумности такого ИИ, в сравнении с человеком, равна 0. Это будет всего лишь устройство, способное выполнять какие-то действия человека (возможно, даже намного лучше его), но не обладающее ничем из вышеназванного и, следовательно, не являющееся разумным (типа экскаватора, несомненно превосходящего человека в копании). Подробней вопрос об условиях формирования разума в контексте пространственного восприятия мозгом окружающего мира и собственного тела, а также о том, как это связано с «временной толщиной» моделей будущего (и прошлого) в мозге, — планируется рассказать во второй части настоящего повествования. ≈ ≈ ≈ В завершение закольцуем наш рассказ, чтобы закончить тем, с чего начали — с принципа наименьшего действия и его великого природообразующего смысла. Только теперь мы приведем слова самого Фристона, цитирующего первооткрывателя ПНД Пьера Луи Мопертюи в своей знаменитой стать «Принцип свободной энергии для биологических систем» «Таким образом, принцип свободной энергии — это всего лишь тонкая реконструкция принципа наименьшего действия в условиях случайных динамических систем. Заслуга первой формулировки этого принципа принадлежит Пьеру Луи Мопертюи, который писал: “поскольку законы движения и покоя, выведенные из этого принципа, в точности совпадают с законами, наблюдаемыми в природе, мы можем восхищаться его применением ко всем явлениям. Движение животных, вегетативный рост растений… есть только его последствия; и зрелище вселенной становится тем величественнее, тем прекраснее, тем достойнее ее создателя, когда знаешь, что для всех движений достаточно небольшого числа мудро установленных законов.”Закольцевав рассказ, можно заканчивать первую часть предлинного повествования об основном принципе жизни и разума — вариационном принципе свободной энергии. Мы рассмотрели его с высшего уровня абстракции, дабы попытаться, не заморачиваясь деталями, увидеть и понять его суть. Насколько это получилось, судить вам. Закончить этот лонгрид хочу словами одного из его героев — Феликса Ауэрбаха. Ими он закончил свою визионерскую, если не пророческую книгу «Эктропизм или физическая теория жизни». https://avatars.mds.yandex.net/get-z...ecf/scale_1200 «Мы пришли к концу. Не к концу того, что по этому предмету может быть сказано; но к концу того, что мы сочли уместным здесь сказать. Если ты переполнен тем, что остается еще сказать, то нужно с быстрой решимостью кончить». https://www.youtube.com/watch?v=DuqR...ature=emb_logo https://www.youtube.com/watch?v=28XD...ature=emb_logo https://www.youtube.com/watch?v=qRi_...ature=emb_logo |
Как извлекать квадратный корень в столбик? Показываю простой алгоритм!
3 августа 11 тыс. дочитываний 2,5 мин. Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения! https://avatars.mds.yandex.net/get-z...b17/scale_1200 Еще в школе Вас научили складывать и вычитать, умножать и делить в столбик. Более "закаленные" математики помнят, что и многочлены в школьном курсе математики приходилось делить на бумаге. А что же с извлечением квадратного корня? Интуиция подсказывает, что и эта операция может быть выполнена на бумаге достаточно просто, и она нас не обманывает. Давайте посмотрим вместе, как это сделать. Поехали! Извлекаем квадратный корень из 6-значного числа Гостем сегодняшней программы является число 341187. Попробуйте, не заглядывая дальше, прикинуть, чему равен квадратный корень из него. Первую цифру, наверняка, Вы отгадаете, и это будет 5, а вот дальше становится сложнее. Однако, цифра 5 является "толчком" для следующих действий. https://avatars.mds.yandex.net/get-z...8aa/scale_1200 Первые шаги мы уже описалиОбратите внимание, что я поставил апострофы, чтобы было удобно сносить цифры. Почему по две цифры? Потому что, любое число меньше 10 в квадрате состоит не более, чем из 2 цифр. (в сиутации с кубическим корнем всё сложнее). Итак, продолжим: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...c14/scale_1200 Объясняю: каждое число, которое будет получаться в результате, мы будем умножать на 2 и сносить вот таким образом: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...4b7/scale_1200 Здесь подробнее:
https://avatars.mds.yandex.net/get-z...01f/scale_1200 Запятая между разрядами не нужна)Теперь вычитаем и получаем 47, приписываем оставшиеся две цифры справа, умножаем 58 на 2 и приписываем слева с точкой: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...aaa/scale_1200 Аналогично находим, что за точкой скрывается число 4. Теперь поправочка: если бы корень извлекался нацело, то на этом этапе получился бы 0. В нашей ситуации, всё не так: результат будет дробным. Впрочем, никто не мешает приписать справа два нуля и продолжить извлечение корня: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...b37/scale_1200 Проверьте на калькуляторе: всё правильно! |
Приёмы мгновенного умножения чисел от Якова Перельмана, которые помогут вам виртуозно и быстро считать
10 августа 40 тыс. дочитываний 3,5 мин. #хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳 https://avatars.mds.yandex.net/get-z...2f8/scale_1200 Н.П. Богданов-Бельский . 1930 годЗдравствуйте, уважаемые читатели канала Хакнем Школа! После многочисленных отзывов и комментариев к статье «Умножение — мучение, или «русский» способ умножения от Перельмана, который вы не знали» я решила написать к ней продолжение. В комментариях наши читатели рассказывали о быстрых способах умножения, которые применяют сами, за что — огромное спасибо! В этой статье я предложу вам ещё несколько приёмов, которые можно применить для быстрого умножения чисел. 1. Алгебраические преобразования Пример 1. Выполним умножение чисел 19×17 Представим число 19 = 20 – 1 и выполним умножение, раскрыв скобки: (20 – 1) × 17 = 20×17 – 1×17 = 340 – 17 = 323 Можно и так: 19 × 17 = 19 × (10 + 7) = 19 × 10 + 19 × 7, но так сложнее, сами видите Пример 2. Выполним умножение чисел 93×34 Представим число 93, как 93 = 100 – 10 + 3 и выполним умножение, раскрыв скобки: (100 – 10 + 3) × 34 = 100 × 34 – 10 × 34 + 3 × 34 = 3400 – 340 +102 = 3162. Как видите, умножение двузначных чисел выполняется практически устно. Здесь мы применили распределительный закон умножения относительно сложения (вычитания): (a + b)c = ac + bc (a – b)c = ac – bc Способ вычисления взят опять же у Перельмана Я.И. «Занимательная алгебра». — 1955 год (очень занимательная книга, тем, кто не читал — советую!). Пример 3. Вычислить https://avatars.mds.yandex.net/get-z...a4b/scale_1200 988 × 988 = (988 + 12) × (988 – 12) + 12 × 12 = 1000 × 976 + 144 = 976000 + 144 = 976144 Легко сообразить, что в этом случае мы пользуемся формулой сокращённого умножения https://avatars.mds.yandex.net/get-z...43a/scale_1200 и следующими алгебраическими преобразованиями: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...c13/scale_1200 В математике часто применяется этот способ: вычесть и прибавить одно и то же число, тем самым, исходное число не меняется. Для удобства вычислений мы вычли и прибавили 12 в квадрате, т.е. 144, чтобы использовать при вычислении умножение на 1000. Пример 4. Вычислить 986 × 997 Вычисляется это так: 986 × 997 = (986 – 3) × 1000 + 3 × 14 = 983 000 + 42 = 983 042 Почему так? Как видите сами, числу 986 до 1000 не хватает 14, а числу 997 — 3. Представим исходное произведение, как (1000 – 14) × (1000 – 3) = Раскроем скобки и выполним следующие преобразования: = 1000 × 1000 – 1000 × 14 – 1000 × 3 + 14 × 3 = 1000 (1000 – 14 – 3) + 14 × 3 = 1000 × (986 – 3) + 14 × 3 Разберитесь с этим правилом, и попробуйте сами решить следующий пример: 987 × 995 = ???? (Ответ должен получиться 982 065) https://avatars.mds.yandex.net/get-z...922/scale_1200 2. Правило быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, оканчивающихся на 5, состоит в том: - умножают число десятков на число, на единицу большее, и к произведению приписывают 25. 35 × 35= 1225, (3 × 4 = 12 и приписываем 25); 65 × 65 = 4225, (6 × 7 = 42 и приписываем 25); 75 × 75 = 5625 (7 × 8 = 56 и 25). Данный способ основан на следующем: если число десятков обозначить за a, то всё число записывается: 10a + 5, возведём его в квадрат в таком виде, применив формулу сокращённого умножения: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...0b3/scale_1200 Выражение a (a +1) — это и есть произведение числа десятков на ближайшее большее число. Умножить это число на 100 и прибавить 25 — всё равно, что приписать к числу 25. 3. Особенности перемножения чисел, оканчивающихся на 1, 5, 6, 25 и 76 Вероятно, все помнят, что при перемножении чисел, оканчивающихся на 1 или 5, получается число, оканчивающееся той же цифрой. Так вот то же правило работает и с 6, 25 и 76 Например: https://avatars.mds.yandex.net/get-z...4a8/scale_1200 https://avatars.mds.yandex.net/get-z...f28/scale_1200 Я.И. Перельман (1882 - 1942). Источник фото: fkr.spb.ru |
| Часовой пояс GMT +4, время: 14:52. |
Powered by vBulletin® Version 3.7.3
Copyright ©2000 - 2025, Jelsoft Enterprises Ltd. Перевод: zCarot