Математик решил ключевую задачу ленты Мебиуса



Ученые бились над ней с конца 70-х годов прошлого века.
























https://resizer.mail.ru/p/9d971b3d-0...MhH-OSl9DI.jpg




Лента Мёбиуса — занимательный математический объект. Для их создания достаточно взять полосу бумаги, сделать в ней один поворот и соединить концы. Несмотря на простоту ее формы, свойства этих фигур заставляют математиков более 150 лет искать ответы на сложные вопросы, касающиеся их структуры.

Только на протяжении последних 50 лет математики ломали голову над обманчиво простым вопросом: какова минимальная длина полосы бумаги, необходимая для создания ленты Мёбиуса без самопересечений? Этот вопрос был поставлен в 1977 году математиками Чарльзом Сидни Уивером и Бенджамином Риглером Халперном.

Ученые предположили ограничение для лент Мёбиуса: соотношение между длиной и шириной бумаги должно быть больше √3, или значением около 1,73. То есть, к примеру, полоса длиной в один сантиметр должна быть шире, чем √3 или 1,73 сантиметра. Несмотря на предположения, ученые не могли доказать свою теорию.

Ричард Шварц, математик из Университета Брауна (США), сказал, что он заинтересовался лентой Мёбиуса после того, как узнал о ней четыре года назад во время разговора с коллегой. На протяжении многих лет он предпринял несколько попыток решить эту задачу, и в 2021 году опубликовал статью с многообещающим подходом, который в конечном итоге потерпел неудачу.

Ученый не мог оставить эту проблему в покое и начал экспериментировать со сжатием бумажных лент Мёбиуса в надежде, что с наглядной двумерной формой на руках задачу будет проще решить. Но когда он разрезал одну из этих петель под углом (что было необходимо для решения его задачи оптимизации), он пришел к неожиданному результату.

Длина двухмерного листа бумаги не была похожа на параллелограмм, как он сообщал в своей первой статье. Скорее, это была трапеция — форма с четырьмя прямыми сторонами, из которых только две стороны параллельны друг другу. «Недавно я обнаружил, что допустил ошибку при постановке задачи оптимизации», — написал Шварц.

Он исправил свою ошибку и доказал предположение Уивера и Халперна. Результаты его экспериментов доступны в виде препринта arXiv.

Недавно математики узнали, сколько лотерейных билетов нужно для выигрыша. Оказалось, что это очень затратно.

https://dzen.ru/a/YktItztb013bsI6b?from_site=mail
Что такое число. Виды чисел.

5 апреля 2022
2,2K прочитали








Виды чисел

Тип лекции: обзорная; Время чтения: 5 минут;
Цель – узнать что такое число и какие бывают числа.
Зачем: это позволит не смешивать единорогов с дельфинами, а также даст возможность понимать математические определения.
Что такое число

Число – это математический инструмент, который обозначает количество "моделей". Чтобы понять, что такое модель, представьте стол с четырьмя ножками. Число 4 обозначает ножки, каждая ножка состоит из разных кусочков материала, на них свои трещинки, но важно то, что это ножки. Берём не конкретную ножку, а идеальную модель ножки. Число 4 показывает количество этих моделей.
Математика упрощает реальные объекты до идеальных моделей, отбрасывая лишнее, сосредотачивается на главном. Число это и есть идеальная модель, точнее количество этих моделей. Это дает силу понимания и мы не складываем золото с ракушками.
Также важно знать: один и тот же объект можно выразить разными числами, это зависит от наших задач. Дерево можно представить как: 1000 веток или 50000 листьев или 100 л кислорода в сутки.
Число - это количество идеальных моделей.
Виды чисел




За каждым числом стоит объект и существует разделение на разные виды чисел в зависимости:

• от задач, которые решают числа
• от предметов, которые скрывается за числами

Числовое множество

Числовое множество - диапазон чисел. Когда мы говорим о видах чисел, подразумеваем, что эти числа принадлежат диапазону чисел, то есть числовому множеству.
Принадлежность к числовому диапазону обозначается символом ∈.
Ноль принадлежит множеству целых чисел записываем так: 0 ∈ Z
Натуральные числа N

Существуют объекты, которые при делении теряют свои свойства. Разделите бутылку на части она перестанет выполнять свою роль: перестанет быть сосудом. Если разделить самолёт, он также перестанет выполнять свою роль: перевозить пассажиров. Автомобиль, поезд, телевизор, стул, списку нет конца. Это называется исчисляемые предметы.
Для исчисляемых предметов существует специальный вид чисел: натуральные числа. Также в натуральные числа существуют в моменте здесь и сейчас, для работы с движением во времени существуют отрицательные числа, но об этом в отдельной лекции.
Натуральные числа - это обозначение неделимых предметов "здесь и сейчас". Обозначаются символом N. Другое определение: Натуральные числа - это целые положительные числа от единицы до бесконечности.
Целые числа Z

За целыми числами скрывается исчисляемые предметы, то есть те, которые теряют свои свойства при делении, но эти числа уже не ограниченные настоящим временем: могут описывать движение предметов во времени. Отсюда и возникает диапазон отрицательных чисел. Подробно о том, что такое отрицательные числа мы поговорим в соответствующей лекции.
Целые числа - это натуральные числа, ноль и целые отрицательные числа. Обозначаются символом Z.
Рациональные числа Q

Существуют предметы, которые при делении не потеряют свои свойства: вода, воздух, зерно, свет, этот список можно продолжать без конца. Возникла потребность описывать маленькие части и здесь приходят на помощь дробные числа.
Рациональные числа - это целые числа и не целые, которые можно представить в виде дроби. Можно представить в виде дроби m/n, где m - целое число, n - натуральное число и n ≠ 0. Обозначаются символом Q. Рациональное число можно получить благодаря четырём арифметическим операциям: сложение, вычитание, умножение и деление.
Иррациональные числа I

Некоторые предметы зависят от других. В равнобедренном прямоугольном треугольнике со стороной равной 1 гипотенуза будет равна √2.
Если мы попытаемся извлечь корень, то получим число с бесконечным количеством знаков после запятой: 1.4142135623730951. Эти знаки будут не периодичны, то есть непредсказуемыми.
Иррациональные числа - это дробные числа, которые нельзя выразить дробью. Обозначается символом I. К иррациональным числам также относятся число 𝜋, число Эйлера e, золотое сечение φ, все квадратные корни натуральных чисел, кроме полных квадратов.
Действительные (вещественные) числа R

Действительные (вещественные) числа - это рациональные числа и иррациональные числа. Обозначается символом R.
Комплексные числа C

Комплексные числа - это служебные числа которые, не несут за собой реального предмета, но помогают решать квадратные уравнения и другие операции. Комплексные числа - это выражения, содержащие мнимую единицу: 3х + i, 4i, y - xi и так далее. Обозначаются символом C
Мнимая единица - это √-1 и обозначается символом i. Как мнимые числа спасли математику.
Заключение



Число - это математический инструмент, количество моделей какого-то объекта. Важно понимать что скрывается за числом. Один и тот же предмет может быть выражен разными числами зависимости от нашей задачи.
Числовое множество - диапазон чисел.
В зависимости от задач и объектов, которые скрываются за числами, числа делятся на следующие числовые множества:

• Натуральные числа N
• Целые числа Z
• Рациональные числа Q
• Иррациональные числа I
• Действительные (вещественные) числа R
• Комплексные числа C

https://dzen.ru/a/Ydsl8Oe5yXYmZyWB

Почему окружность — это 360°, а не 100°, хотя это было бы логичнее (спойлер: по тому же, почему в килобайте 1024 байта)



Никогда у вас не возникал такой вопрос? А у детей возникает. Потому что с 360° возиться гораздо менее приятно для них, чем с сотней. Да и десятки с сотнями привычнее. В килограмме 1000 грамм. В метре 100 сантиметров. В 100 долларах 100 центов. Так с чего же вдруг в окружности 360 градусов?





Маленькая подсказка для тех, кто хочет дойти до этого своим умом. Причина та же, по которой в одном килобайте 1024 байта, а не 100.
Да-да, дело в системах счисления. Мы пользуемся десятичной системой счисления, поэтому нам и удобно измерять все в десятках, сотнях, тысячах и так далее.
Есть двоичная система счисления. Это наборы нулей и единиц. Назовём её условно "компьютерной". В байтах измеряют объем информации, то есть термин чисто "компьютерный", поэтому в 1 килобайте не 1000, а 1024 байта. Потому что 1024=2¹⁰.
Есть и другие системы счисления. Древние вавилоняне пользовались шестидесятеричной системой счисления. У них было 60 богов (у каждого бога своё имя и свой порядковый номер) и вообще число 60 у них было ритуальным.
Люди Вавилона наблюдали за движением Луны и Солнца по небу (чем же им ещё было заниматься?) — вот они первые астрономы — и пришли к выводу, что за один день солнце смещается относительно звезд на один шаг (иногда ещё пишут про диаметры солнечного диска, но это не совсем так). И пришли они к выводу, что полный оборот (возвращается на место, с которого начали отсчет) солнце делает за 360 шагов.


Строго говоря, это не совсем так, но вавилоняне, думается мне, решили немного подогнать (ну или реально так совпало, так как суперточных приборов не было), ведь круто же осознавать, что сам бог солнца указал им удобную меру для измерения углов на небе. А она ещё так прекрасно согласуется с их шестидесятеричной системой счисления. Иначе как чудом не назовешь. И вряд ли кто-то при таких обстоятельствах искал бы во всем этом косяк.



Короче говоря, на том и порешили, что окружность надо поделить на 360 шагов. Один шаг — это один день (да-да, дней в году тогда было 360, а не 365,25).
Прелесть того, что в окружности 360° ещё и в том, что раньше основным углом считался угол равностороннего треугольника (а не прямой, как сейчас), ибо его было проще всего построить: натягиваешь три равных по длине высушенных воловьих хвоста и готово. И какое совпадение — угол равностороннего треугольника равен 60° — идеально для шестидесятеричной системы счисления.
Потом градус разделили на 60 минут. А минуту на 60 секунд. Остается только заметить то, что окружность вмещает в себя ровно 6 углов равностороннего треугольника. Короче говоря, вавилоняне подогнали всё под свою систему, чтобы им было удобно считать в их системе счисления.
Потом без особых заморочек и перепроверок у вавилонян их умозаключения позаимствовали греки. А потом римляне. А на латинском "шаг" — это "градус". Вот и получается, что в окружности 360°. Если коротко, то во всём виноваты вавилоняне. Нет бы поделить окружность на 100 равных частей, так нет же, заморочились с солнцем, да ещё и накосячили.


По их измерениям диаметр солнечного диска (поперечник) равнялся половине шага, то есть 0,5°. Но это не совсем так. На самом деле средний диаметр солнца — 32', что при переводе в градусы равняется 5,(3)°. Вроде бы не такая большая разница, но в Валоне считали, что солнечный диск помещается на окружности 720 раз, а на самом деле 675 раз. Но переделывать уже ничего не стали, потому что все и так привыкли, так и осталось у нас 360° в окружности.
А позже аналогичным образом стали делить и циферблат часов. Так что древневавилонская шестидесятеричная система счисления до сих пор путает школьников, когда надо переводить минуты в часы, например. Скольких ошибок в контрольных можно было бы избежать, будь в четверти часа не 15, а 25 минут.

https://dzen.ru/a/ZNUY9Xqhz0R5oG8E
Вы знали, что у чисел тоже есть возраст? Всего лишь одно "доживает" до 11!

10 августа 2023
1,7K прочитали




Сегодня мы обсудим вопрос, о котором никогда не задумывались не только обычные люди, но и математики. Речь пойдет о том, что числа, подобно людям, имеют определенный срок существования. Я подробно расскажу об этом в статье. Давайте начнем!
Кто придумал числовой возраст?

Нил Слоан (род. 10 октября 1939 года) - выдающийся американский математик. Он является одной из важнейших фигур в области комбинаторики, дискретной математики и компьютерных наук.





Слоан окончил Массачусетский технологический институт (MIT) в 1960 году, где изучал математику. Затем он получил докторскую степень в Йельском университете, где его научным руководителем был Гарретт Биркгоф. Его диссертация была посвящена теории графов и алгебраической комбинаторике.
Самый известный вклад Нила Слоана - создание "Энциклопедии последовательностей целых чисел" (OEIS), которая стала неоценимым ресурсом для математиков, ученых и любителей математики. OEIS является онлайн-базой данных, содержащей миллионы последовательностей чисел, включая те, которые встречаются в различных математических задачах, теории чисел, комбинаторике, физике и других областях. Каждая последовательность сопровождается описанием, ссылками на литературу и иногда даже комментариями от самого Нила.


Стандартная статья из OEIS - огромное количество комментарий и бесценных ссылок

Нил Слоан также работал над проблемами, связанными с сетями, кодами, теорией графов и другими областями дискретной математики. Он опубликовал множество статей и книг по этим темам.
Числовой возраст

Как это часто бывает, видимо от скуки, математик решил поиграться с числами, сопоставив каждому из них некоторый алгоритм. В этом случае Нил предложил перемножать значащие цифры, а возраст определять по длине цепочки умножений, приводящей к единственной цифре. Например:


"Числа-то маленькие" - скажете Вы, но не всё так просто. Их увеличение не ведёт к пропорциональному изменению возраста. Иногда даже происходят вот такие коллизии:



Понятно, что основным ограничивающим фактором является появление цифры "0", которая сразу прерывает "жизнь" числа.
Однако здесь на сцену выходит вот такое число:


И его результат просто ошеломительный:



Его психологический возраст равен 11! Более того, проанализировав (конечно, не в лоб) числа до 10^223, Нил не обнаружил ни одного числа с продолжительностью жизни, большей 11!
Этот поразительный результат противоречит нашей интуиции. Казалось бы, если мы возьмем огромное число с десятками и сотнями значащих цифр (например, 7, 8 и 9), то для того чтобы получить однозначный результат, потребуется значительно больше, чем 11 шагов. Однако реальность оказывается иной: ноль появляется на одиннадцатом шаге или даже раньше. Как отметил сам Слоун, его алгоритм можно назвать "чрезвычайно эффективным уничтожителем огромных чисел".
Известным это число стало, конечно же, после видео на канале "Numberphile":




Оно на английском языке, но нейросети Яндекса позволяют перевести его в очень удобоваримом формате.

https://dzen.ru/a/Zh7Cr_e13wA-wdNI
"Столбик больше не нужен" — уникальная система умножения, придуманная русским евреем и узником Освенцима Яковом Трахтенбергом

17 апреля
4,8K прочитали




Наши дни. Одна из экспериментальных частных школ. Урок математики. К доске выходят ученики плюс-минус десяти лет (третий класс) и за пару минут в уме перемножают десятизначные числа. Это метод устного счёта, придуманный евреем русского происхождения Яковом Трахтенбергом.
Метод на самом деле не особо известный, потому что в жизни перемножать такие огромные числа, да ещё и в уме, надобности нет. Но уникальность метода ещё и в том, что придуман он был во время нахождения в концентрационном лагере Освенцим. Но давайте обо всём по порядку.
Родился Яков в Одессе, в семье евреев, в 1888 году. Заметные способности у него проявились очень рано. Будущий педагог, инженер и книгоиздатель закончил Петербургский политехнический институт по специальности металлурга, а позднее ― Горный институт. Уже в 20 лет Трахтенберг был главным инженером Обуховского сталелитейного завода и руководил почти 10 тысячами человек.





Когда к власти пришли большевики, Яков решился на переезд из уже бывшей Российской империи. В 1919 году его новым домом стал Берлин. Находясь в иммиграции, Трахтенберг занялся написанием очерков о политической ситуации в России, позднее ― составлением справочника промышленности России. Будучи талантливым во многих сферах, он создал метод изучения иностранных языков (в частности ― изучения русского), который широко применялся в школах Германии до 1960-х годов.
С приходом к власти нацистов во Главе с Адольфом Гитлером, Трахтенбергу как еврею стало опасно находиться в Германии, поэтому он вместе со своей женой Алисой в 1934 году уехал сперва в Швейцарию, а затем ― в Австрию, в Вену. В 1937 году Трахтенберг написал книгу о великой войне, которая вот-вот должна была начаться между СССР и Германией.
Австрию вскоре аннексировала Германия, а Яков после первого ареста был вынужден бежать в Югославию. Но было поздно: все книги Трахтенберг издавал под своей фамилией, потому её хорошо знали нацисты. После оккупации Югославии его снова арестовали, но спустя два года отпустили. А вот в 1944 году его арестовали в третий раз и теперь уже отправили в один из самых страшных концлагерей, где погибли тысячи евреев.


В Освенциме (немцы, кстати, называли его Аушвиц), Яков, несмотря на нечеловеческие условия и тяжёлую работу, старался сохранить рассудок. Чтобы чем-то занять мозг, и отвлечься от криков умирающих в газовых камерах буквально за стеной, он перемножал, делил, вычитал или складывал между собой большие числа. Всё приходилось делать в уме: добыть хотя бы кусочек бумаги и карандаш было крайне сложно.
Удивительно, но там, где другие просто сходили с ума от страха и боли, Яков Трахтенберг сумел не только не «упасть духом», но и развить свой гений. Часть своих умозаключений он записывал на чудом добытой обёрточной бумаге и использованных конвертах: некоторым заключённым присылали посылки и корреспонденцию, но получали содержимое лишь «любимчики» администрации, выполнявшие роль надсмотрщиков.
Миновала Пасха 1944 года, и Трахтенбергу сообщили о скорой казни. Яков спокойно принял этот факт, но продолжал работать над своей арифметической системой, в надежде успеть завершить её и передать на волю.
Жена Трахтенберга тоже узнала о предстоящем исполнении смертного приговора. Уж не известно, каких трудов, связей и денег ей это стоило (известно, что женщина как минимум продала все фамильные драгоценности), но буквально за день до казни Якова перевели в другой лагерь. По другой версии математику удалось сбежать, благодаря помощи надзирателя, знавшего о том, чем он занимался. В общем, Трахтенберг остался жив.
Вскоре война завершилась, Яков благополучно уехал в Швейцарию, где достаточно крупным тиражом издал брошюру о своём методе скоростного устного счёта. Позднее, основав институт, он стал обучать своему методу взрослых и детей, причём выбирая явно не способных к математике. После его смерти в 1951 году, жена Трахтенберга также пропагандировала уникальную методику.



В чём суть системы Трахтенберга

Система Трахтенберга сильно отличается от традиционных методов счёта. Знать «на зубок» таблицы умножения и деления для использования этой системы вовсе не обязательно. Считается, что система Трахтенберга позволяет производить те же математические действия, что и при обычном счёте, но более чем на 20% быстрее. Те, кто освоил методику, говорят, что они буквально «читают числа», причём с невероятной точностью.
В изданной им брошюре описывались специальные приёмы умножения конкретных (2, 3, 6, 11 и прочих) чисел, их сложения, способы легко возвести в квадрат, извлечь корень. Все эти манипуляции основывались на общих принципах.
Но давайте об умножении. При использовании методики числа записываются в столбик, а результат «собирается» по цифре ― справа налево. Алгоритм следующий: в первую очередь умножаются «младшие» разряды и записывается результат этого умножения. После крест-накрест перемножаются и складываются следующие два разряда, но записывается лишь последняя «младшая» цифра, а остальные переносятся в следующий шаг.
Дабы никого не утомлять (вот так вот на раз-два объяснить всё равно не получится), приведу лишь два самых простых примера счёта от Трахтенберга.
25 на 47

Возьмём и перемножим двузначные числа 25 и 47. Сначала запишем их столбиком:
2 5
4 7
Первым действием перемножим «единицы», то есть последние цифры двузначных чисел:
5*7=35
Пишем «5», а «3» запоминаем (как в обычном умножении столбиком). Далее перемножаем числа крест-накрест и прибавляем цифру, которую держали в уме:
2х7+4х5+3=37
Отсюда пишем только «7», а «3» ― запоминаем.
Третьим действием перемножаем цифры разряда «десятки» и прибавляем цифру, которую держали в уме:
2*4+3=11
Полученное число ― это первые две цифры искомого значения. Получаем: 25*47=1175.
Схематично это выглядит так:


356 на 782

На примере двухзначных чисел разница в вычислениях столбиком и методом Трахтенберга. Но давайте возьмём пример посложнее, попробуем перемножить в уме трёхзначные числа: 356 и 782. Представляем в голове эти числа друг под другом:
3 5 6
7 8 2
Первое действие: 6*2 =12. Пишем 2, а 1 ― в уме.
Второе действие: крест-накрест умножаем 56 на 82 и прибавляем 1, которая в уме:
5*2 + 6 * 8 + 1=59
Цифру 9 из этого действия записываем слева от 2, полученной на предыдущем шаге. 5 ― запоминаем.
Далее крест-накрест перемножаем крайние цифры, а средние ― друг с другом и прибавляем 5, которая в уме:
3*2 + 6*7 + 5*8 + 5=93
Отсюда записываем 3, а 9 ― в уме.
Теперь крест-накрест перемножаем левую пару цифр и прибавляем 9, которая в уме:
3*8 + 5*7 + 9=68.
Пишем 8, а 6 ― в уме.
Последним действием перемножаем первые цифры наших первоначальных чисел и прибавляем 6, которая в уме:
3*7 + 6 = 21 + 6= 27
Получаем: 356*782=278392.
Схематично, хоть и запутанно, это выглядит так:



Описанный алгоритм успешно применяется и с 4-значными, и с 5-значными, и даже с 10-значными числами. Навык такого устного счёта, если уж и не пригодится в практической жизни, то хотя бы позволит удивить знакомых невероятными для них возможностями. Для взрослых и пожилых людей система полезна тем, что прекрасно помогает держать мозг «в тонусе», оберегая от старческого слабоумия.
Книга

Уже после смерти Трахтенберга на основе его трудов Катлером и Мак-Шейном была написана книга «Быстрая система элементарной математики по Трахтенбергу». Кстати, в самой Швейцарии польза методики Трахтенберга была общепризнана, а его наработки до сих пор используют банки, налоговые службы и крупные корпорации.


Если было интересно, закр

https://dzen.ru/a/YKkUirDKT0ROtSjO
Треугольник Рёло - круглый квадрат или квадратный круг? Одна из самых экстремальных фигур на плоскости

22 мая 2021
187K прочитали




Наука
Больше по теме



Применение треугольника Рёло - это отдельная история, которая длится уже сотни лет (смотрите анимации в конце), но об этом позже. Сначала к математическим основам.




Франц Рёло - создатель фигуры. Источник: https://upload.wikimedia.org/wikiped...z_Reuleaux.jpg

Итак, чтобы построить треугольник Рёло Вам понадобится только циркуль (даже линейка не нужна). Устанавливаете раствор и проводите окружность. Затем ставите циркуль на любую точку и проводите еще одну. После этого ставите циркуль в одну из двух точек пересечения окружностей и проводите третью. Вот, что должно у Вас получится:


Треугольник Рёло заштрихован в центре.

Самое главное его свойство - это фигура постоянной ширины наряду, например, с окружностью. Чтобы понять, что такое постоянная ширина необходимо знать понятие опорных прямых.

Опорная прямая - это прямая, содержащая точку фигуры, но не разделяющая никакие две точки на ней. На рисунке выше проведены три пары опорных прямых, расстояние между которыми как раз и равно постоянной ширине треугольника Рёло.

Из всех фигур постоянной ширины треугольник Рёло имеет минимальную площадь (окружность, кстати, максимальную).
Другое экстремальное свойство треугольника Рёло в том, что его углы при вершинах так же минимальны среди всех фигур с постоянной шириной. Посмотрите ни рисунок:


Кстати, существуют треугольники Рёло и с большим количеством углов

Проходя через точку а все опорные прямые (а их бесконечность) образуют т.н. пучок, угол между крайними положениями которого и равен углу при вершине треугольника Рёло - 120 градусов. Меньше на плоскости быть просто теоретически не может! Уж такая геометрия.
Однако самое поражающее воображение свойство треугольника Рёло - это возможность вписания его в квадрат с равной стороной! Посмотрите на эту анимацию:


Источник: https://r4.mt.ru/u25/photoBF8C/20734...0/original.gif

Как видно, вращаясь, треугольник Рёло практически полностью повторяет контур квадрата, что позволяет на его основе делать, например, сверла, которые вырезает близкие к квадратам отверстия:


Т.н. "сверло Уаттса". Источник: https://s.fishki.net/upload/users/20...1c44dedfcc.gif

"Круглое тащим, квадратное катаем" - этот известный армейский принцип точно не подходит к треугольнику Рёло. Несмотря на углы, колеса такой формы хотя бы на небольших скоростях легко заменят обычные круглые:




Кроме всего прочего, треугольник Рёло использовался в кулачковых механизмах паровых двигателей, т.к. позволяет преобразовывать вращательное движение в возвратно-поступательное.
В специальном роторном двигателе Венкеля, треугольник позволяет выполнять сразу три цикла сгорания топлива в один такт:


Источник: http://rulikolesa.ru/wp-content/uplo...bca2e967ee.jpg

Кстати, на данный момент даже есть один автомобиль с такого вида двигателем - это спорт-купе Мазда RX-8, но это - уже совсем другая история. Спасибо за внимание!

https://dzen.ru/a/ZnzmuBvN0X8C2lhP
Тайна константы Каталана

Вчера
163 прочитали




Меня всегда восхищали бесконечные ряды или бесконечные суммы. Думаю, что многих математиков тоже. Очевидно, этот математический "вирус" стал пандемией, потому что в интернете полно статей и видео о функции дзета Римана, геометрических рядах и т.д.





Но на самом деле я считаю, что это хорошо. Чем больше распространяется этот вирус, тем больше людей влюбится в эту удивительную тему и прекрасное поле исследований. В этой статье мы рассмотрим то, что мы знаем, а также то, что мы не знаем о таких рядах. В частности, мы обсудим одну из самых простых и важных констант, о которой мы знаем почти ничего.
Эта константа называется константой Каталана и обозначается заглавной буквой G. Но прежде чем её представить, давайте немного вернемся к началу и начнем с того, что мы знаем.
Классические результаты

С середины 14 века мы знаем, что следующий ряд,


называемый гармоническим рядом, в конечном итоге "взрывается" и стремится к бесконечности по мере добавления всё большего числа членов. Это было доказано французским натурфилософом Никола Оремом около 1350 года. Фактически, частичные суммы растут примерно как натуральный логарифм - очень медленно! Но всё же до бесконечности.
Если мы заменим натуральные числа в знаменателях на простые числа, ряд всё равно будет расходиться. Однако если заменить их на близнецовые простые числа, ряд будет сходиться и даст конечное число: это означает, что плотность близнецовых простых чисел среди натуральных чисел значительно меньше плотности простых чисел.
Так гармонический ряд расходится, но если чередовать знаки между членами ряда, мы получим странный результат, а именно:



Здесь ln - это натуральный логарифм (и если вы не помните, что это такое, не беспокойтесь - это не нужно, чтобы следовать дальше).
Это первый намек на то, что чередование знаков может существенно изменить бесконечный ряд. Мы можем легко доказать это, используя разложение натурального логарифма в ряд Тейлора.
Тогда мы можем спросить себя: «Что, если рассмотреть подобный чередующийся ряд, но в знаменателях будут только нечетные числа?».
На рубеже 14 века (в зависимости от источника) индийский математик Мадхава из Сангамаграмы доказал следующий удивительный результат:


Что!? Почему здесь появляется π, спросите вы?
Действительно, π является явным признаком того, что круги каким-то образом участвуют в этом процессе. Эта красота может быть получена из разложения обратной тангенс-функции в ряд Тейлора с использованием того факта, что arctan(1) = π/4, и вот откуда берется связь с кругами.
Этот ряд назван в честь Готфрида Лейбница, который открыл его независимо от Мадхавы, но на несколько сотен лет позже.
Этот ряд важен по нескольким причинам, но не из-за его свойств сходимости. Он сходится чрезвычайно медленно.

«Для вычисления π с точностью до 10 десятичных знаков, используя прямую сумму этого ряда, требуется ровно пять миллиардов членов»

~ Википедия.

Так почему это важно?
Этот ряд и все другие ряды, которые мы рассмотрим в этой статье, принадлежат к широкой семье рядов, все из которых имеют прямую связь с простыми числами через так называемый произведение Эйлера, о котором мы поговорим чуть позже.
А теперь самое интересное. Вышеописанные результаты являются классическими и считаются элементарными (не то чтобы они не были удивительными и интересными - они такими и являются!), но оказывается, что когда мы возводим знаменатель в различные степени, всё становится ещё более интересным.
300 лет спустя…

В середине 17 века для математиков того времени была поставлена задача. Вопрос был прост: выразить следующий бесконечный ряд через комбинацию известных констант.



где числа в знаменателях - это квадраты чисел. Эта проблема стала очень известной из-за многих великих математиков, которые пытались её решить и терпели ужасные неудачи в этом процессе. Понадобилось около 100 лет попыток и неудач, прежде чем молодой и на тот момент неизвестный математик решил попробовать решить эту задачу. Его звали Леонард Эйлер.
В мгновение озарения Эйлер нашел связь между этой математической "горой" и очень известной и хорошо изученной функцией, с которой математики играли около тысячи лет: синусоидальной функцией.
Хотя современная тригонометрия зародилась в Индии в 5 веке, никто не обнаружил, что синусоидальную функцию можно записать как бесконечное произведение простых множителей. Эйлер открыл это, и это оказалось недостающим элементом головоломки.
В 1734 году Эйлер использовал это, чтобы доказать, что:


Это до сих пор считается одним из самых удивительных и красивых результатов во всей математике, и Эйлер продолжал доказывать это различными способами, чтобы лучше понять теорему. Это сейчас известно как базельская проблема, названная в честь родного города Эйлера.
Его доказательство стало всемирно известным благодаря его изобретательности и гениальному прикосновению, и в наши дни оно считается началом союза двух огромных областей анализа и теории чисел.
А где же теория чисел, спросите вы? Ну, для полного раскрытия силы этих бесконечных рядов потребовался еще один гений, но Эйлер был первым, кто показал, что существует связь между такого рода рядами и простыми числами, но об этой связи мы поговорим в другой статье.
А как насчет чередующейся версии этого ряда? Как только у нас есть результат Эйлера, несложно показать, что



Эйлер перешел к более высоким степеням и нашел удивительные результаты, которые, парадоксально, оказались зависимыми от определённых рациональных чисел, названных в честь Якоба Бернулли, который не смог решить знаменитую базельскую проблему в первую очередь.
Примером является случай, когда степень равна 4:


и, фактически, он доказал общую формулу для таких рядов, когда знаменатели являются чётными степенями.
Тайна

Используя так называемый анализ Фурье, мы можем доказать, что



что само по себе является фантастическим результатом и относится к той же категории, что и ряд Лейбница для π, описанный выше, поскольку он также чередуется и имеет нечетные числа в основаниях степеней знаменателей.
На данный момент мы собрали много доказательств. Чтобы подытожить, вот что мы рассмотрели в этой статье:


однако внимательный читатель может заметить, что в нашей головоломке не хватает некоторых частей для завершения картины. Первой недостающей частью является оценка ряда:



Это число называется константой Каталана в честь математика Эжена Каталана, который опубликовал мемуар о ней в 1865 году.
Этот ряд кажется таким же простым, как и вышеописанные, но до сих пор проблема нахождения замкнутого решения этого бесконечного ряда не решена! Более того, мы даже не знаем, является ли G иррациональным или рациональным! То есть можно ли записать G в виде дроби двух целых чисел?
G было названо:

«Возможно, самой основной константой, иррациональность и трансцендентность которой (хотя и сильно подозреваемы) остаются недоказанными»

~ Notices of the American Mathematical Society, 60 (7): 844–854.

Мы ничего не знаем об этом числе, и что самое безумное - это суперважное число по нескольким причинам. Оно является специальным значением специальной функции, известной как функция бета Дирихле, появляется в статистической механике, комбинаторике, распределении массы спиральных галактик и множестве сложных интегралов.
Как пишет Сеан Стюарт,

«Существует богатый и, казалось бы, бесконечный источник определенных интегралов, которые можно приравнять или выразить через константу Каталана.»

Два моих личных любимых примера:


и



которые кажутся настолько разными друг от друга и обоих очень простыми, но, конечно, внешность может быть обманчива. Если вы хотите стать новым Эйлером, то найдите замкнутую форму для этой константы! Тогда ваше имя никогда не забудется.
Если присмотреться еще внимательнее к нашему списку, вы заметите, что мы также упускаем ряд:


Это называется константой Апери в честь Роже Апери.
Нахождение замкнутой формы для этого ряда является еще более знаменитой проблемой, чем проблема константы Каталана. Тем не менее, мы знаем больше об этом числе в том смысле, что доказана его иррациональность. Даже Эйлер не смог найти замкнутую форму для этого числа, так что, вероятно, это сложно. Возможно, даже невозможно с нашими нынешними известными константами и методами, которые мы знаем… Возможно, даже невозможно в рамках нашей математической системы. Чередующаяся версия ζ(3) так же сложна (фактически эквивалентна).
В общем, мы знаем очень мало об этих рядах, когда степень нечетная. Мы даже не начали рассматривать пятую степень или седьмую! Как известно, Эрдеш сказал:

«Математика еще не достаточно зрелая для таких вопросов.»

Все вышеперечисленные ряды являются частью большой семьи рядов, известных как (особые значения) ряды Дирихле, и особый хорошо ведущий себя класс рядов Дирихле называется L-рядами Дирихле.
Эти бесконечные ряды имеют сильную связь с распределением простых чисел, потому что все они могут быть записаны как бесконечные произведения по простым числам, они все симметричны относительно определенной линии симметрии и все, кажется, подчиняются правилу, известному как гипотеза Римана.
Каждый такой L-ряд или L-функция имеет свою гипотезу Римана, связанную с ним, и самая простая из всех L-функций - это функция, которую Эйлер начал изучать в 1734 году:



если рассматривать её как функцию комплексного переменного, эта функция называется дзета-функцией Римана, но у неё есть другие "кузены" с другими гипотезами Римана. Например, в этой статье мы рассмотрели значения


которая является другим L-рядом, определенным с помощью так называемого характера Дирихле периода 4. Мы установили, что β(1) = π/4, β(2) = G, β(3) = π³/32. Мы абсолютно не знаем, что такое β(4), кроме того, что это связано со значениями полигамма-функции, что не менее сложно, но оказывается, что β(5) = 5π⁵/1536.
Существует определенный способ расширения области определения этих функций так, чтобы имело смысл оценивать их для почти всех комплексных чисел. При этом можно показать, что ζ имеет нули при отрицательных четных целых числах -2, -4, -6, -8,… и что β имеет нули при отрицательных нечетных целых числах: -1, -3, -5, -7,…
Это связано с более общей закономерностью, известной как паритет характера.
Но, похоже, все их другие нули находятся на одной и той же вертикальной линии. А именно при Re(s) = 1/2. То, что все их нетривиальные нули лежат на этой линии, и есть две гипотезы Римана, связанные с ними. Это только две из бесконечного семейства L-функций, которые, как полагают, имеют гипотезы Римана, удерживающие их нетривиальные нули на этой вертикальной линии в комплексной плоскости.
Полная проблема известна как обобщенная гипотеза Римана. Если вы решите её, вы получите миллион долларов, но как кто-то упомянул:

«Это, вероятно, самый трудный способ заработать миллион долларов!»

Суть нашего небольшого отклонения здесь в том, что вышеперечисленные бесконечные ряды являются частью чего-то гораздо большего. Индийцы, Лейбниц, Эйлер и все другие герои этой истории не имели возможности знать это, конечно, но теперь мы знаем, и есть причина, почему эти проблемы трудны, но очень важны.
И это не только вопрос понимания особых констант. Это вопрос понимания функций, которые дают эти константы.

https://dzen.ru/a/ZhDRURHnsk6eCvBD
Реальны ли воображаемые числа?

6 апреля
787 прочитали




Наука
Больше по теме



Воображаемые числа стали бичом многих школьников на уроках математики. Они улавливают суть базовых уравнений и геометрии, даже когда появляются неизвестные переменные вроде x, они могут разобраться. Но потом учитель бросает им серьезный вызов в виде буквы i. Это значение не только загадочное и довольно путающее, но его еще и называют воображаемым! Кажется, что эти числа нарушают правила математики, которые были до этого, и их трудно понять. Плюс, зачем нам это знать, если это даже не реально?





Затем эти студенты узнают о некоторых полезных областях применения воображаемых чисел. Это интересно и определенно помогает решать проблемы, но большинство студентов уходят с мыслью о воображаемых числах, как о не более чем полезном инструменте, который не реален. Несмотря на это общее восприятие, воображаемые числа используются в широком спектре областей для важных расчетов. Но что они на самом деле такое?
В этой статье я собираюсь показать, что воображаемые числа так же реальны, как и любые другие числа. Я укажу некоторые области, где они полезны, и поговорю о том, что вообще означает быть "реальным" для числа. В идею воображаемых чисел встроено множество глубоких вопросов о математике и философии. Это большая тема, так что давайте начнем!


Множество Мандельброта опирается на воображаемые числа для своего определения.

Основы

Определение воображаемого числа на самом деле очень простое, мы можем определить i следующим образом:


Существует множество комплексных чисел, и их можно записать в общем виде как a+bi. Технически, любое число, содержащее i, является воображаемым, и в этой общей форме оно становится комплексным числом. Это определение содержит все возможные воображаемые числа. Вы, возможно, помните из школьной математики, что у отрицательного числа нет квадратного корня. Однако это не так, если мы допускаем существование комплексных чисел. Например,



Признание этого случая открывает множество возможностей. Большой набор уравнений становится разрешимым, если мы допускаем существование i. Мы можем расширить эту идею еще дальше, создав плоскость комплексных чисел. Она состоит из двух осей, действительной и мнимой.


Комплексная плоскость

Даже действительные числа могут быть описаны на этой плоскости, они просто находятся только на оси x. Каждое воображаемое число существует как точка на этой двумерной плоскости.


An example cubic polynomial

Пример кубического многочлена Воображаемые числа имеют долгую и интересную историю. Впервые они были описаны в 1500-х годах, когда математик Джероламо Кардано пытался решить кубические уравнения. Он понял, что решить уравнение невозможно, не научившись работать со значениями, содержащими квадратный корень из отрицательного числа. Несмотря на необходимость их использования для решения многих уравнений, он описывал их как "такие же тонкие, как и бесполезные".


Рене Декарт с невероятными волосами

Это оставалось общим мнением среди математиков на протяжении веков. Некоторые использовали их для решения определенных проблем, но считали их неприятностью, которой следует избегать, когда это возможно. Это мнение укрепилось, когда в 1637 году Рене Декарт написал, что эти числа "иногда только воображаемые, то есть можно представить столько, сколько я сказал в каждом уравнении, но иногда не существует количества, которое соответствует тому, что мы представляем".
Например, представьте, что вы пытаетесь решить это уравнение.


Если бы у нас не было инструмента воображаемых чисел, это было бы невозможно. Однако с их существованием это становится довольно легко:


Два решения для вышеуказанного уравнения

Тем не менее, несмотря на сомнения в их ценности, математики продолжали их использовать! Гаусс был первым математиком, который серьезно отнесся к ним и принял их как полезный и реальный инструмент. Как оказалось, воображаемые числа необходимы для математики описания волны. Используя всего одно число, мы можем получить как амплитуду, так и частоту одной волны. Так что любая область изучения, связанная с волнами, думайте физика и электротехника, в значительной степени зависит от воображаемых чисел для решения уравнений.



Но реальны ли они?

Мы видели некоторые применения комплексных/воображаемых чисел, но достаточно ли этого, чтобы сказать, что они реальны? Что вообще значит быть реальным для любого числа? Давайте начнем с самых основных типов чисел: натуральных чисел. Это первый тип чисел, с которым знакомится каждый, это просто список, который вы получите, считая от 1. Например, 2, 10 и 100 являются натуральными числами, но -10, 5/7 и 0 не являются.
Натуральные числа универсально приняты за реальные. Они существуют для описания размера набора объектов. Это чрезвычайно распространенная задача, которая может варьироваться от подсчета числа яблок в миске до населения страны.


По какой-то причине яблоки являются примером перехода к описанию размера набора.

Однако существуют и другие рамки, в которых мы думаем о числах. Например, мы можем расширить натуральные числа до всего набора целых чисел. Это включает в себя отрицательные числа, а также ноль. Этот набор несколько сложнее! Нет смысла говорить, что в миске содержится -2 яблока. Однако вы можете использовать целые числа для сравнения двух мисок. Вы могли бы сказать, что одна миска содержит на два яблока меньше (-2), чем другая.
Это различие может показаться не таким уж важным, но это только потому, что мы так привыкли к этому. Многие ранние математические тексты полностью отвергают концепцию отрицательных чисел, называя их абсурдными. Однако они медленно начали признаваться как полезный метод представления долгов. По мере того, как их практичность становилась лучше известна, математики начали использовать их чаще, и к 1800-м годам они были полностью приняты. Число ноль также долго принималось. Однако это не заняло столько времени, сколько отрицательные числа.
Это всего лишь две концепции чисел, которые мы все носим с собой, но есть и другие! Дроби представляют собой совершенно другую идею. Вместо сравнения размера наборов они могут рассматриваться как соотношение между двумя наборами. Это концепция, которая полностью отличается от натуральных чисел и целых чисел. Еще более отличными от дробей являются иррациональные числа, такие как пи и квадратный корень из 2.


Линия действительных чисел содержит натуральные числа, целые числа, дроби и иррациональные числа.

В целом, мы обычно называем эти числа "действительными" числами. Несмотря на то, что это обозначение содержит четыре разные идеи того, что такое число. Действительные числа могут использоваться для описания непрерывного измерения, например, длины куска дерева. Все четыре эти определения стали для нас интуитивно понятными, и мы легко переключаемся между ними.
По определению, воображаемые числа не входят в класс действительных чисел, потому что они не содержатся в четырех типах чисел, описанных выше. Однако я бы утверждал, что они так же много являются частью реальности, как и предыдущие типы. У них много ясных и демонстрируемых применений и они следуют последовательному набору правил.


Выше изображенное показывает классификации, о которых я говорил, в визуальной форме и дает несколько примеров. Натуральные числа содержатся в целых числах, и оба эти типа содержатся в дробях (также называемых рациональными числами). Иррациональные числа отдельны, но все эти типы входят в действительные числа. Воображаемые числа отличаются от этой группы, но все они входят в класс, который я называю числами, принадлежащими реальности.
Возможно, эти числа просто страдают от маркетинговой проблемы с названием "воображаемые" и не включены в класс, называемый "действительными" числами.
Что вы думаете? Я бы хотел услышать ваши мысли в комментариях!

https://dzen.ru/a/ZoDkJffqoCEtEUIu
Объясняем на пальцах, чем занимаются разные области математики

30 июня
1K прочитали




Когда я изучал математику в начальной и средней школе, я не знал, что на самом деле изучал лишь крошечную часть разнообразной области, наполненной наукой, знаниями и искусством.
Это было похоже на взгляд на радугу, где единственный свет, который ты видишь, это то, что ты способен увидеть, но на самом деле ты наблюдаешь лишь крошечную часть более величественного вида — большего спектра света, который скрыт, пока ты не получишь правильное оборудование, так сказать.





С математикой все то же самое. Тебя кормят тем, что они считают, ты способен понять, и скрывают хорошие вещи до тех пор, пока они не считают, что ты готов!
Надеюсь, что это написание приподнимет завесу и откроет некоторые скрытые компоненты математики, чтобы те, кто сохранил свой математический искру, смогли взглянуть на истинные цвета этого неустанного стремления к знаниям и изяществу.
Математика как область изучения имеет много поддисциплин, и в этой статье мы пройдемся по основным из них одну за другой и попробуем объяснить, что они охватывают и почему мы их изучаем.
Чтение таких слов, как «Алгебраическая топология», может быть довольно пугающим для начинающих студентов математики и любителей, пытающихся войти в эту область. Это не должно быть преградой, потому что это просто вопрос разбиения на части, чтобы это было усваиваемо. Многие люди испытывают страх или чувство запугивания от математики и математиков, но я здесь, чтобы сказать вам, что это не обязательно должно быть так.
Я ясно помню, как пытался получить представление о большом количестве областей математики, как они связаны и о чем они. Это было запутанно и сложно. Эта статья предназначена как небольшая экскурсия, которая должна сделать области математики более понятными.
Каждый может изучать математику. К сожалению, по-настоящему хорошие вещи скрыты на более низких уровнях. Давайте посмотрим, о чем же великие темы математики.
Теория чисел

Эта тема является одной из старейших подполей математики. Она изучается с древности и в значительной степени является фундаментом всей математики. Лично мне всегда нравилась эта тема из-за ее чистоты.
Но о чем она на самом деле?
Эта тема посвящена изучению натуральных чисел. То есть положительных целых чисел, иногда называемых нашими счетными числами, и вы можете подумать, что с учетом того, что у нас было почти 4000 лет для исследования этих довольно простых чисел, мы должны были бы уже закончить. Я имею в виду, если бы это было предложением ремесленника с дедлайном в 4000 лет на понимание 1, 2, 3, ..., я думаю, большинство людей отклонило бы его!
Но, как и со многими вещами в жизни, обманчиво простой узор становится намного сложнее при более глубоком исследовании. В частности, они становятся очень загадочными, когда мы смотрим на мост между двумя простыми операциями сложения и умножения.
Теория чисел, среди прочего, занимается исследованием мультипликативной структуры натуральных чисел. Причина этого в том, что эти числа оказываются имеющими мультипликативную ДНК — уникальный рецепт, который описывает их полностью как построенные из базовых чисел, называемых простыми числами. Это похоже на то, как ДНК построена из базовых молекул, и идея заключается в том, что для понимания натуральных чисел мы пытаемся понять простые числа.
Простые числа — это числа p > 1, такие что единственными делителями p являются 1 и p. Последовательность простых чисел начинается 2, 3, 5, 7, 11, ... и поиск общей формулы для n-го простого числа был своего рода святым Граалем математики с тех пор, как греки начали их изучать около 300 г. до н.э.
Чтобы дать вам представление о этой уникальности, возьмите, например, число 12. Простая факторизация 12 — это {2, 2, 3}, потому что 12 = 2⋅2⋅3 = 2²⋅3, и его нельзя записать с использованием любых других простых чисел. Это уникальный набор простых чисел, произведение которых равно 12, и это разложение на уникальные простые числа верно для любого натурального числа.
Сразу же возникают два очень естественных вопроса:
1. Есть ли закономерность в распределении простых чисел среди натуральных чисел?
2. Сколько простых чисел существует?
Ответ на первый вопрос: «Мы так не думаем!» Мы знаем, что простые числа становятся все более редкими по мере продвижения по числовой линии, и именно поэтому второй вопрос не так очевиден, как может показаться. Промежутки между последовательными простыми числами становятся произвольно большими, однако около 300 г. до н.э. Евклид доказал, что существует бесконечно много простых чисел. Это все еще одна из коронных драгоценностей теории чисел, и мы до сих пор учим наших студентов его доказательству!
Мы также знаем приблизительное распределение простых чисел, то есть у нас есть асимптотические формулы, приближающие количество простых чисел до некоторого числа. Гаусс предположил, что простые числа растут примерно как функция x/log(x), где log здесь — натуральный логарифм (часто обозначаемый ln в других контекстах), и это было доказано в конце 19 века. С тех пор идет поиск лучших приближений. Наивысший такой результат, который мы считаем верным, называется гипотезой Римана, однако она остается нерешенной по сей день.
Следует отметить, что в теории чисел есть много поддисциплин. У нас есть аналитическая теория чисел (смешивающая теорию чисел и комплексный анализ), алгебраическая теория чисел и т.д., но вместо того, чтобы перечислять все эти области, я бы предпочел объяснить вам, что такое анализ и алгебра на самом деле.
Перед тем, как двигаться дальше, нам нужна знаменитая цитата одного из мастеров.

«Математика — королева наук, а теория чисел — королева математики».

— Карл Фридрих Гаусс

Геометрия

Геометрия вместе с теорией чисел является одной из старейших дисциплин в математике и классически занимается формами, размерами, расстояниями, углами и т.д.
Геометрия применяется во всех естественных науках в той или иной форме, и по этой причине мы все еще учим наших детей о треугольниках, кругах, линиях и так далее. Например, в теории относительности Эйнштейна мы рассматриваем гравитацию как следствие геометрической формы 4-мерного многообразия, которое мы называем пространственно-временным континуумом!… Круто, знаю…
Геометрия является одной из первых областей, которую аксиоматизировали (поставили на строгую основу снова древние греки) и в этом смысле исторически это первый пример современной математики.
Классически существует три различных типа геометрий. Несколько изменив аксиомы, мы можем получить либо сферическую геометрию, где сумма углов в треугольнике больше 180 градусов, в другую сторону у нас есть гиперболическая геометрия, в которой сумма углов в любом треугольнике меньше 180 градусов, и затем в середине у нас есть старая добрая евклидова геометрия (плоская геометрия), которую мы все изучали в школе.
У нас также есть проективная геометрия, где мы можем позволить параллельным линиям встретиться в «точке на бесконечности», что играет ключевую роль в диофантовых уравнениях и теории эллиптических кривых.
Геометрия, конечно, тесно связана с тригонометрией, где мы изучаем функции углов, определяемые на единичной окружности. Думаю, мы все помним кошмары о тригонометрических тождеств.
Когда математики говорят о геометрии, они обычно имеют в виду либо дифференциальную геометрию, либо алгебраическую геометрию. В дифференциальной геометрии мы изучаем локальные свойства форм в нескольких измерениях, используя гладкие функции, определенные на этих формах.
В алгебраической геометрии мы изучаем формы, определяемые решениями многочленов уравнений, известных как алгебраические многообразия, используя теорию из абстрактной алгебры (о которой я коснусь ниже).

«Геометрия — архетип красоты мира».

— Иоганн Кеплер

Алгебра

Алгебра — это абстракция чисел. В элементарной алгебре мы изучаем свойства арифметических операций, используя переменные как заменители наших чисел. Позже, изучая более продвинутый предмет абстрактной алгебры, мы узнаем о обобщении симметрий, называемых группами, и обобщении числовых систем, называемых кольцами. У нас даже есть обобщения векторных пространств (называемых модулями), а также многие другие конструкции.
Мы также изучаем векторные пространства и линейные операторы между ними, называемые матрицами, которые составляют область линейной алгебры.
Алгебра — это клей математики, некоторые говорят, язык математики. Без алгебры мы бы не продвинулись далеко. Каждый раз, когда уравнение решается, мы используем техники из алгебры в той или иной форме. На самом деле, первое использование алгебры исторически было для получения некоторого рода рецепта для решения часто встречающихся уравнений.
Египтяне, вавилоняне и древние греки были одними из первых, кто исследовал ранние техники алгебры, но только когда персидский математик аль-Хорезми опубликовал одну из самых влиятельных книг по этой теме в 9 веке, эта область выделилась как собственная ветвь математики.
За сотни лет персидские, арабские и индийские математики развили эту дисциплину, в то время как Европа и остальной мир практически стояли на месте. Затем в 13 веке путешествующие торговцы из арабского мира передали свои знания об алгебре в Европу, где церковь и академическая культура сделали так, чтобы распространение знаний было заблокировано на примерно 300 лет. В Италии даже было незаконно использовать индийско-арабские цифры (наши современные числа)! Представьте, что вас отправляют в тюрьму за то, что вы записали «2» вместо «II».
Как только алгебра была освобождена от церкви, все начало двигаться быстро. Европа вошла в Ренессанс на полной скорости, и вместе с ним также начался математический Ренессанс. В невероятном интеллектуальном прыжке Рене Декарт объединил геометрию и алгебру через графики функций в двухмерной координатной системе, которая до сих пор носит его имя (декартова система координат), и эти две дисциплины с тех пор тесно связаны. Чтобы быть справедливым, Декарт не был единственным, кто предложил это, но кредит почему-то достался ему.
Дуальность алгебры и геометрии — это то, что мы до сих пор учим наших детей в школе, и в университете это превратилось в экзотическую область алгебраической геометрии, где мы изучаем геометрические формы, образованные решениями многочленов уравнений через абстрактные алгебраические техники, такие как кольца и идеалы (определенные хорошие подкольца).

«Алгебра — это интеллектуальный инструмент, созданный для прояснения количественных аспектов мира».

— Альфред Норт Уайтхед

Анализ и математический анализ

Анализ и математический анализ — это изучение функций. В частности, дифференцируемых функций и их свойств. Область анализа заключается в разборке функции для понимания ее свойств, в то время как математический анализ обычно о теории дифференцирования и интегрирования функций с использованием различных техник.
Тема дифференциальных уравнений особенно важна в прикладной математике и является одним из самых важных инструментов в физике и инженерии. На самом деле, почти все физические законы можно сформулировать на языке дифференциальных уравнений!
У нас есть подполе комплексного анализа, которое занимается анализом и математическим анализом функций комплексной переменной. Оказывается, что эта теория значительно отличается от реального анализа и имеет, в некотором смысле, гораздо более богатую теорию. Комплексный анализ настолько мощен, что многие реальные проблемы можно решить только с его помощью. Когда мы объединяем комплексный анализ с теорией чисел, мы получаем аналитическую теорию чисел, где мы раскрываем секреты наших натуральных чисел, используя голоморфные (комплексно-дифференцируемые) свойства комплексных функций!
Когда мы объединяем анализ с геометрией, мы получаем дифференциальную геометрию, где мы изучаем формы, используя теорию из математического анализа.
В анализе также у нас есть теория меры, которая позволяет нам говорить об области и объеме в гораздо более общем смысле и находить «объем» более общих множеств, чем подмножества ℝ^n. Эта теория является основой теории вероятностей! Она тесно связана с областью теории интеграции, которая использует результаты теории меры для интегрирования функций, которые не являются интегрируемыми по Риману на более общих множествах, чем наши обычные числовые поля.

«Математический анализ — это самое мощное оружие мысли, которое когда-либо было изобретено человеческим умом».

— Уоллес Б. Смит

Топология

Топология — это фундаментальная математическая дисциплина, где мы изучаем «формы», но параметры интереса не размеры, углы, кривизна или гладкие функции, которые являются фундаментальными в геометрии.
Вместо этого нас интересует классификация форм вплоть до растяжения, изгиба и склеивания (в определенной степени), но не разрыва и разрезания. Карты интереса не обязаны быть гладкими (сохраняющими геометрию), а скорее непрерывными (сохраняющими топологию). В этом смысле топология более «фундаментальна», чем геометрия.
Классический пример концепции топологической формы — это факт (или шутка, на самом деле), что чашка для кофе и пончик топологически эквивалентны, поскольку можно преобразовать чашку для кофе в форму пончика, если чашка для кофе бесконечно растяжима — основная особенность — это отверстие!
Область особенно мощна, когда мы объединяем ее с инструментами и техниками из абстрактной алгебры. Эта область известна как алгебраическая топология. Оказывается, что каждая класс форм имеет определенные алгебраические симметрии, называемые группами, прикрепленными к ней (одна группа в каждом измерении), и алгебраические особенности этих групп переводятся в топологические особенности данной класс форм.
Структуросохраняющие карты между группами (называемые гомоморфизмами групп) переводятся в карты между классами форм, которые сохраняют топологию форм и наоборот — непрерывные карты переводятся в гомоморфизмы.
В топологии у нас также есть более нишевые предметы, такие как теория узлов, где мы изучаем математические узлы, а также другие более экзотические дисциплины.

«Топология — это именно та математическая дисциплина, которая позволяет переходить от локального к глобальному».

— Рене Том

Дискретная математика

Дискретная математика — это набор нескольких поддисциплин, охватывающих комбинаторику и теорию графов до математической логики и аксиоматической теории множеств. Все они объединены тем, что все они касаются неконтинуальных математических объектов (под «дискретным» мы понимаем неконтинуальное).
Комбинаторика — это математическое искусство подсчета. Мы используем техники из комбинаторики в теории вероятностей и других смежных областях, где основные факторы — это выбор, комбинации и перестановки.
В теории графов (которая, кстати, также может рассматриваться как часть топологии!) мы изучаем объекты и их отношения, где важны только отношения, а не размеры или метрики.
Примером является социальные сети, где отношения (или ребра, как их называют) представляют собой дружбу, но нам не важны физические расстояния между друзьями! Другой пример — это знакомая карта метро. Она определенно не сохраняет углы или расстояния ни в коей мере. Важно то, можете ли вы добраться от точки A до точки B и какой поезд вам нужно взять. Таким образом, важны отношения — а не география.
Дискретная математика также может быть объединена с непрерывной в подполе конкретной математики. Здесь мы обычно используем многочлены и степенные ряды, где пересечение между двумя полями лежит в взаимодействии между дискретными коэффициентами и непрерывной природой степенного ряда, рассматриваемого как функция.
Эти функции (где коэффициенты что-то считают или представляют какой-то вид интересной последовательности) называются порождающими функциями.
Дискретная математика — это смесь предметов из различных областей, включая группы, кольца и поля из абстрактной алгебры и математической логики, среди прочего.
Математическая логика касается языка математики и ее фундамента. Строгая формулировка математических утверждений и определение истины самой по себе. Мы работаем с формальными языками и фундаментом математики, называемым аксиомами.
У нас также есть теория множеств, которая в определенном смысле является самой фундаментальной теорией, потому что все остальное можно построить из нее. По крайней мере, теоретически. В теории множеств мы изучаем коллекции вещей, называемых множествами, такие как числа, включая бесконечные коллекции чисел.
Мы узнаем, что некоторые множества содержат большие бесконечности вещей, чем другие множества. Да, есть разные виды бесконечностей. На самом деле, есть бесконечно много различных размеров бесконечностей! Как велика эта бесконечность бесконечностей, вы спрашиваете? Прекрасный вопрос для другой статьи…

«Акцент на математических методах, кажется, смещается в сторону комбинаторики и теории множеств — и от алгоритмов дифференциальных уравнений, которые доминируют в математической физике».

— Джон фон Нейман

Заключительные замечания

Надеюсь, эта статья проливает свет на некоторые различные математические дисциплины и то, как они связаны. Лично я бы хотел иметь такой обзор, когда начал изучать математику, чтобы получить представление о том, где я нахожусь и куда мне выгодно двигаться дальше.
Одно из ключевых пониманий, которое начинает приходить, как только у вас есть этот обзор, заключается в том, что многие из концепций, которые мы изучаем в различных поддисциплинах, действительно являются одной и той же концепцией! Мы просто смотрим на нее с разных перспектив. Так что, кажется, существуют универсальные свойства через поля.
Например, для изучения векторных пространств, реальными объектами интереса оказываются функции между ними, сохраняющие их структуру, т.е. линейные отображения (матрицы), для изучения групп из абстрактной алгебры мы изучаем структуросохраняющие карты между ними, называемые гомоморфизмами, структуросохраняющие карты между топологическими пространствами — это непрерывные карты, структуросохраняющие карты между множествами — это функции и так далее.
Определенные структуросохраняющие карты между некоторыми пространствами эквивалентны другим структуросохраняющим картам между эквивалентными пространствами.
Область, изучающая эти абстрактные структуры сверху, называется теорией категорий, и это абстракция математики и ее поддисциплин самих по себе. Это алгебра математики!
Некоторые говорят, что математика — это замок, где вы продолжаете строить на истинных утверждениях, некоторые говорят, что это паутина переплетенных идей, некоторые говорят, что это наука, а некоторые говорят, что это не так.
Я говорю, что это искусство знания, истины, изящества и красоты.
Банах сказал следующее о ней:

«Математика — это самое красивое и мощное творение человеческого духа». — Стефан Банах

Спасибо за чтение.

https://dzen.ru/a/ZpY6kPyvWw9ef-77
Чего «нельзя» делать в математике: на ноль делить, а еще что? 10 действий, которые не имеют смысла

3 дня назад
5,1K прочитали




Про деление на ноль мы уже бурно обсуждали, про комплексные и отрицательные числа тоже. Но подписчик предложил создать список того, чего ещё в математике нельзя до сих пор делать. А на самом деле, есть ли такие запретные действия, которые невозможно сделать? Давайте разбираться вместе.
10 самых известных «нельзя» в математике

Мы уж знаем, что в математике нет слова «нельзя», но существует множество математических операций или действий, которые либо нельзя выполнить по своей сути, либо они приводят к некорректным или даже абсурдным результатам или которые просто не имеют смысла выполнять.





1. Нельзя делить на ноль

Это одно из самых известных правил математики. Причина этого в том, что результат деления на ноль не имеет смысла. Например, если мы делим любое число на ноль, то получаем бесконечность, что является неопределенным результатом не имеющего смысла.
Однако, в высшей математике делить на ноль все-таки можно и мы об этом с вами рассматривали вот в этой статье:


https://avatars.dzeninfra.ru/get-zen...1a43/scale_360




Делить на ноль нельзя: а если всё-таки разделить, то что будет?
Техно Колибри5 декабря 2022



2. Нельзя получить положительное число, если умножить положительное на отрицательное

Другими словами, нельзя положительное число умножать на отрицательное число и получать положительный результат. Это правило связано с тем, что умножение на отрицательное число меняет знак числа.
Например, -5 х 20 = -100 или 5 х-20 = -100. Если мы умножаем положительное число на отрицательное, то получим отрицательный результат – это правило, и оно не оспаривается.
3. Нельзя вычислить логарифм нуля

Логарифм – это обратная операция возведению в степень. Логарифм по основанию a от числа b (обозначается как logₐb) – это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Например, log₂8 = 3, потому что 2³ = 8.
Попытка вычислить логарифм нуля нарушает основные правила логарифмов и не имеет смысла. Так как не существует такого числа, которое можно было бы возвести в любую действительную степень, чтобы получить ноль. Это действие не имеет смысла.
4. Нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа

Это правило связано с определением корня. Квадратный корень из числа – это такое число, которое при возведении в квадрат дает исходное число.
Но если представить, что исходное число отрицательно, то при умножении само на себя оно всё равно даст положительный ответ. Т.е. априори невозможно извлечь корень из отрицательного числа, так как его просто не существует.
Однако, после того, как появились комплексные числа и это действие стало возможным. Теперь мы знаем, что квадратные корни из отрицательных чисел лежат в множестве комплексных чисел и об это мы с вами говорили здесь:


https://avatars.dzeninfra.ru/get-zen...21ff/scale_360




Загадка математики: почему сначала «нельзя», а потом «можно»? И это точная наука?
Техно Колибри6 января 2023



5. Нельзя использовать бесконечно малые величины для вычисления конечных величин

Бесконечно малые величины используются в математическом анализе для изучения пределов функций и производных. Однако они не могут быть использованы для вычисления конечных величин, так как они являются бесконечно малыми.
Бесконечно малые величины – это математические объекты, которые становятся все меньше и меньше, приближаясь к нулю, но никогда не достигают его. Например, для вычисления площади треугольника, мы бы получили неверный результат, потому что бесконечно малые величины не имеют конечного значения.
Именно поэтому бесконечно малые величины не могут быть использованы для вычисления конечных величин – они не имеют конечного значения и не могут быть точно измерены или вычислены.


Просто веселая картинка

6. Нельзя найти площадь у треугольника с нулевой стороной

Другими словами, нельзя применять формулу для нахождения площади треугольника, если одна из сторон равна нулю.
Согласитесь, на первый взгляд такое утверждение глупое по своей сути – у треугольника должно быть 3 стороны, а если одна из них равна нулю, то ее значит нет и это уже не треугольник. Однако, в математике не всё так просто.
Если принять, что такой треугольник существует, то его площадь легко ищется: она равна нулю. Другими словами: площадь треугольника определяется как половина произведения основания на высоту, если одна из сторон равна нулю, то произведение будет равно нулю, и площадь также будет равна нулю. Разумно? Поэтому такое правило и существует.
Помните шутку:
- Сколько крыльев у слона?
- Два, просто они равны нулю!
Ну вот здесь примерно также)
7. Нельзя вычислять интеграл от функции, которая не определена на всей области интегрирования

Интеграл от функции определяется как сумма всех её значений на интервале интегрирования. Если функция не определена на каком-то участке интервала, то интеграл от неё не может быть вычислен.


Просто математическая шутка

8. Нельзя брать производную от функции в месте разрыва

Производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Если функция имеет разрыв, то этот предел не существует, и производная не может быть найдена. Другими словами, в месте разрыва у функции нет производной.
9. Нельзя найти объем у неправильных многогранников по известным формулам

Нельзя применять формулы для нахождения объёма тела, если оно не является правильным многогранником, так как объём тела определяется как произведение площади основания на высоту. Для тел неправильной формы эти параметры могут быть не определены, и поэтому формула не применима.
Правильные многогранники – это геометрические фигуры, которые имеют строго определенную форму и структуру. К ним относятся тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и т.д. Эти фигуры имеют определенные свойства, такие как симметрия и регулярность, которые позволяют использовать специальные формулы для вычисления их объема.
Однако, если тело не является правильным многогранником, то оно может иметь любую форму и структуру. В этом случае, применение формул для вычисления объема может быть некорректным, так как эти формулы основаны на специфических свойствах правильных многогранников.
Например, если тело имеет неправильную форму или имеет достаточно сложную внутреннюю структуру, такую как отверстия или полости, то применение формул для вычисления объема может дать неверный результат (привести к существенным неточностям), так как эти формулы не учитывают такие особенности.
Такие фигуры либо разбивают на правильные многогранники (если это возможно), либо используют интегральное исчисление, что является весьма сложным процессом.
10. Не имеет смысла делить/умножать на бесконечность

Деление и умножение на бесконечность невозможны в математике, потому что бесконечность не является числом. Бесконечность – это концепция, которая используется для описания очень больших или очень малых величин, но она не может быть представлена как обычное число:

• «бесконечность» умноженная на «бесконечность» = бесконечность (∞/∞ = ∞)
• «бесконечность» умножить на ноль = неопределенность
• ноль делить на «бесконечность» = ноль (0/∞ = ∞)
• «бесконечность» делить на «бесконечность» = неопределенность

Если разделить любое число на бесконечно большое число, то получится:

• 17 разделить на «бесконечность» = ноль (17/∞ = 0)
• «бесконечность» разделить на 17 = бесконечность (∞/17 = ∞)

Это противоречит общепринятым правилам математики, согласно которым деление должно быть обратимой операцией.
Умножение на бесконечность также не определено. Если мы умножаем любое число на бесконечность , то результат не может быть определен:

• 17 умножить на «бесконечность» = неопределенность
• «бесконечность» умножить на 17 = неопределенность

Таким образом, деление и умножение на бесконечность не определены в математике, потому что бесконечность – это не число, и эти операции не могут быть выполнены в соответствии с обычными правилами математики.


Просто математическая шутка

Вместо заключения

Математика – это царица наук, мир строгих правил и логических выводов. Она не терпит хаоса, а её законы нерушимы. Но даже в этом мире порядка есть свои запретные зоны (табу) и действия, которые ведут к абсурду и противоречиям. Поэтому математика учит нас мыслить логически, решать нестандартные задачи и видеть скрытые связи.
Мы рассмотрели действия, которые «нельзя» или «не имеет смысла» делать в математике, хотя на языке так и вертится вопрос: «А что будет если это всё-таки сделать?».
Благодарю, что дочитали до конца. Лайк – лучшее спасибо мне! А какие из вышеперечисленных «нельзя» вам показались самыми странными и нелогичными? Может Вы знаете еще подобные математические запреты?

https://dzen.ru/a/ZELy3i8wb2iNzvbX
Это невозможное доказательство теоремы Пифагора нашли в 2023 году

22 апреля 2023
6,3K прочитали




Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу поговорить об открытом недавно удивительном доказательстве теоремы Пифагора. Да-да, Вы не ослышались!




Источник: https://imagenes.diario16.com/wp-con...10/83471-1.jpg

Даже в этом, казалось бы, вдоль и поперек перепаханном поле осталась не обработанная полоска. Дело вот в чём: считалось, что любое доказательство теоремы Пифагора через тригонометрические функции так или иначе сводится к применению основного тригонометрического тождества:



, которое само по себе является одним из вариантов записи теоремы. Таким образом, используя это выражение, мы "будем выходить сами на себя", т.е. доказывать то, что принимаем за истину в самом начале.


Фрагмент из книги с самой большой известной коллекцией доказательств теоремы – “The Pythagorean Proposition" Элиши Лумиса Лумиса. Цитата: "Забегая вперед, вдумчивый читатель может задаться вопросом: Существуют ли доказательства, основанные на тригонометрии или аналитической геометрии? Тригонометрических доказательств не существует, потому что: все фундаментальные формулы тригонометрии основаны на истинности теоремы Пифагора; на основании этой теоремы мы говорим sin^A -+ cos^A = 1 и т.д. Тригонометрия существует благодаря теореме Пифагора

Никогда не говори никогда

Однако недавно было найдено доказательство теоремы Пифагора, основанное на другом фундаментальном утверждении - теореме синусов для треугольника.
Итак, рассмотрим равнобедренный треугольник (именно в нём биссектриса является высотой, а это нам важно):


Запишем для этого треугольника теорему синусов:



Теперь нам понадобится несколько геометрических построений и записанное отношение сторон подобных прямоугольников:


Теперь продолжаем применять свойства подобия для каждых последующих прямоугольных треугольников:



То есть для каждой пары:

1. Записываем отношение подобия
2. Выражаем общий катет через синус угла
3. Подставляем и получаем новую длину сегмента

Как Вы можете заметить, получается кое-что замечательное. На лицо целых две геометрические прогрессии:


А теперь внимательно посмотрим, что две найденные нами стороны - это гипотенуза и катет прямоугольного треугольника с углом в 2*альфа:



В конце мы вернулись к формулу, выведенной нами с самого начала и "открыли" теорему Пифагора! Спасибо за внимание!

https://dzen.ru/a/ZFEOb-F3SGJhplAx
Почему существует всего 5 правильных многогранников? Ответ даёт формула Эйлера и неравенство из 8-го класса

2 мая 2023
4,9K прочитали




Наука
Больше по теме



Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Давайте сегодня поговорим про платоновы тела, которые представляют из себя правильные многогранники. Еще со времен Древней Греции было известно, что их всего лишь пять:





Однако, окончательный и строгий ответ на невозможность существования иных платоновых тел пришлось ждать больше тысячи лет! Я же предлагаю Вам пройти этот путь за несколько минут. Описание нужного нам инструментария не займет много времени. Итак, поехали!
Символ Шлефли

Задача классификация правильных многогранников в целом различных размерностей - одна из важных задач геометрии, которую проще всего оказалось решить комбинаторными средствами.


Людвиг Шлефли (1814-1895) - швейцарский математик, специалист в области многомерной геометрии и комплексного анализа. Преподавал в Бернском университете.

В своей диссертации Шлефли дал полную классификацию правильных многогранников для n-размерных пространств. С тех пор в научный оборот вошел т.н. символ Шлефли {n,m}, где n - количество углов в грани, m - количество граней, которые сходятся в вершине.


Запомните эти символы. Они встретятся нам в конце повествования. Переходим к следующему инструменту.
Великая формула Эйлера

Связывает количество вершин, ребер и граней всякого многогранника изумительным образом:



Обратите внимание, что речь идёт не только о правильных многогранниках, а вообще о всех телах, которые можно получить непрерывными преобразованиями из сферы (т.е. гомеоморфными ей). Эйлерова характеристика, т.о. - это топологический инвариант.


Знаменитая картинка, которая показывает, что бублик и кружка - суть одно и тоже

Для топологических пространств эйлерова характеристика имеет немного другой вид: χ = 2 - 2g, где g - количество "ручек". Тор можно получить "приклеив" к сфере одну ручку, значит его Эйлерова характеристика равна 0, если приклеить две ручки - получим двойной тор с характеристикой "-2"


Источник: https://upload.wikimedia.org/wikiped...lustration.png

Подводя краткие итоги: мы будем классифицировать правильные двумерные полиэдрами - многогранники (двумерные - в смысле, что их поверхность двумерна, но вложены они всё-таки в трехмерное пространство). Их эйлерова характеристика равна 2.
Классификация двумерных полиэдров

Классифицировать полиэдры мы можем по их символу Шлефли, т.о. наша задача связать величины {n,m} с количеством вершин, ребер и граней. Для примера рассмотрим тетраэдр и попытаемся выяснить зависимость:


1) Каждая грань (4 штуки) имеет 3 угла, значит 3 ребра 2) У каждой вершины сходятся 3 грани, ребра которых мы считали дважды

Коэффициент 2 появляется всегда, потому что при подсчете ребер мы их учитываем дважды (каждое ребро соединяет две вершины и находится на стыке двух граней).

Для куба формулы будут аналогичны.

Итак, мы имеем систему уравнений:


Решаем её, чтобы получить в чистом виде зависимость от составляющих символа Шлефли:



Из очевидного свойства положительности дроби справа, получаем неравенство, которое решаем в целых числах:


А теперь вспомните рисунок с символами Шлефли для платоновых тел! Как видите, мы получили одно и то же с помощью решения обычной системы уравнений! Вообще алгебраизация - один из самых мощных способов исследования окружающего нас мира и не только.
Такое направление алгебраической топологии как теория гомологий вообще по сути выросло из формулы для эйлеровой характеристики. Мотивацией к её созданию как раз было наблюдение, что две формы можно отличить, изучив их отверстия.
Затем встал вопрос: "а как вообще изучать то, чего по факту нет (отверстий)?" В итоге придумали удобную алгебраическую характеристику, вычисляя которую, можно классифицировать всевозможные формы: так появились группы гомологий.

https://dzen.ru/a/ZpIB0LbbGyhMUZeb
5 Известных Формул Для Числа π

https://dzen.ru/a/YeX4kIpIkTZLolh4
Парадокс замкнутых множеств, который подводит к важнейшему понятию математики

18 января 2022
1,8K прочитали




Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня, простите за тавтологию, закрываем тему замкнутых множеств материалом, в котором рассмотрим, что из себя может представлять их объединение. Казалось бы, здесь всё просто, но математика как обычно подкидывает контрпример, после которого ничто не будет прежним. Итак, поехали!




Источник: https://cdn-media.threadless.com/submissions/gheyha.jpg

По традиции предлагаю обратиться к предыдущим материалам:


https://avatars.dzeninfra.ru/get-zen...6085/scale_360




Что можно сделать из отрезков? Настоящая математика не для всех
Математика не для всех9 января 2022



Итак, поехали!
Вариант 1




Действительно, ведь по определению замкнутое множество - это множество, которое содержит в себе все свои предельные точки. Тут никаких проблем нет.
Вариант 2



В случае расположения внахлест суждениям об объединении отрезков так же ничего не противоречит.
Вариант 3




Может показаться странным, но закрытый луч - это замкнутое множество, о чём я говорил в прошлой статье. Пусть Вас не смущает "бесконечность" справа, ведь данная конструкция всё равно содержит все свои предельные точки, что автоматически подходит к определению замкнутого множества.
Вариант 4



Точка на вещественной прямой - тоже замкнутое множество. Впрочем, объединение его с отрезком никакой коллизии не создаёт. Итоговое множество так же содержит все свои предельные точки, чего не скажешь о множестве, которое я рассмотрю ниже.
Вариант 5. Вырастает парадокс




Начинаем плавно продвигаться к контрпримеру. На первый взгляд всё понятно: берем некий набор точек, вычисляем их объединение и в любом случае получаем замкнутое множество....как бы не так!
Всё зависит от того, какой набор точек мы взяли! Если речь о конечном наборе, то всё так, как я показал на рисунке выше, но если уйти в бесконечность, то неизбежно встретимся вот с таким примером:


Мы находим объединение бесконечного количества таких точек, сжимающихся к нулю, но никогда по понятным причинам его не достигающим.
Что мы можем сказать о точке {0}? Является ли она предельной? Безусловно, ведь у неё в любой окрестности содержится та или иная точка множества-результата:



Так же очевидно, что точка 0 по построению не принадлежит множеству-результату. Значит, мы получили множество, которое содержит не все свои предельные точки и не может претендовать на высокое звание замкнутого.

Получилось, что пересечение любого набора замкнутых множеств - замкнуто, а вот объединение бесконечного набора может быть не замкнуто!

Этим замечательным контрпримером я хочу сегодня закончить разговор о замкнутых множествах. В результате цикла из шести статей у нас есть два "столпа", на которых мы в дальнейшем построим важнейшее математическое определение топологии и топологического пространства:

• Объединение (пересечение) бесконечного набора открытых (замкнутых) множеств открыто (замкнуто);
• Пересечение (объединение) конечного набора открытых (замкнутых) множеств открыто (замкнуто).

Причем у нас получится построить их целых два: через открытые и замкнутые множества. Впрочем, перед этим хотелось бы поговорить о таких понятиях, как внутренность и замыкание. Спасибо за внимание!

https://www.youtube.com/watch?v=6WiISIpWVi8
7 ПАРАДОКСОВ БЕСКОНЕЧНОСТИ

https://dzen.ru/a/ZhSuPR9qnUeeH8Xo?from_site=mail
1/137: Неразгаданная тайна, которая беспокоит физиков


Оглавление

• Открытие и исторический контекст
• Введение постоянной тонкой структуры Арнольдом Зоммерфельдом
• Открытие через наблюдение спектральных линий

Загадочное число 1/137, известное как постоянная тонкой структуры, играет ключевую роль в области физики, олицетворяя силу электромагнитного взаимодействия между элементарными заряженными частицами. Его безразмерный характер и приблизительное значение 1/137 — эквивалентно 0.0072992701 — озадачивают ученых и математиков, пронизывая своим присутствием разнообразные явления от поведения атомов до великого космического полотна. Введенная А. Зоммерфельдом в 1916 году, эта постоянная была инструментальной в разъяснении тонкого расщепления уровней энергии в атоме водорода, намекая на глубокое взаимодействие между светом, электронами и самой тканью реальности.



В этой статье рассматривается открытие и исторический контекст постоянной тонкой структуры, исследуется ее численное значение и незаменимая роль, которую она играет в квантовой физике. Путем изучения концепций электродинамики, квантовой механики и ткани вселенной, читатели узнают, как это безразмерное чудо, часто называемое альфа, формирует наше понимание всего от периодической таблицы до потенциального существования мультивселенной.
Открытие и исторический контекст

Введение постоянной тонкой структуры Арнольдом Зоммерфельдом

- Год: 1916
- Цель: Объяснить тонкую структуру уровней энергии атома водорода
- Значение: Количественная оценка разрыва в тонкой структуре спектральных линий атома водорода.
Открытие через наблюдение спектральных линий

- Метод: Наблюдение за тонкой структурой спектральных линий в квантовой механике и специальной теории относительности
- Результат: Открытие постоянной тонкой структуры, подчеркивающее ее роль в наблюдаемом расщеплении или тонкой структуре уровней энергии атома водорода.
Численное значение близко к 1/137

- Год введения: 1916
- Численное значение: Близко к 1/137, символизирующее его безразмерный и загадочный характер, который продолжает интриговать ученых и математиков.
Численная тайна 1/137

Численное значение постоянной тонкой структуры, примерно 1/137 или 0.0072992701, не только является свидетельством точности современной физики, но и источником глубокой тайны в научном сообществе. Его безразмерный характер означает, что оно остается постоянным в любой системе единиц, подчеркивая его фундаментальную роль во вселенной.
Безразмерный характер и точность:

- Приблизительное значение: 0.0072973525693 или 1/137.
- Безразмерность: Его значение значимо, так как оно существует независимо от любой системы единиц, делая его универсальной постоянной.
- Точность: Значение измерено с высокой точностью с использованием методов, таких как квантовый эффект Холла и атомная интерферометрия, с относительной неопределенностью 1.5×10^-10.
Значение для Вселенной:

- Жизнеспособность: Небольшое изменение его значения могло бы сделать жизнь, как мы ее знаем, невозможной, влияя на атомную стабильность и химические свойства.
- Космическая эволюция: Значение постоянной было другим в ранней вселенной, предполагая, что она играет роль в эволюции космоса.
- Химические связи: Изменения в постоянной повлияли бы на формирование атомов и молекул, при более высоком значении электроны были бы более плотно связаны, а при меньшем значении атомы стали бы менее стабильными.
Поиски понимания постоянной тонкой структуры простираются в область теоретической физики, где она рассматривается как подсказка к Великой объединенной теории, которая могла бы объяснить ее происхождение и значение. Несмотря на ее критическую роль в квантовой электродинамике (КЭД) и электромагнитной силе, истинное значение за ее точным значением и ее стабильностью во вселенной остается одной из самых интригующих загадок физики.
Физическое значение постоянной тонкой структуры



Количественная оценка электромагнитных взаимодействий

Постоянная тонкой структуры, обозначаемая как α, служит фундаментальной мерой, количественно оценивающей силу электромагнитного взаимодействия между элементарными заряженными частицами. Эта безразмерная физическая постоянная имеет решающее значение для понимания фундаментальных сил, управляющих вселенной.
Роли и связи

Энергия и фотоны: α связана с энергией, необходимой для преодоления электростатического отталкивания между электронами, и энергией фотонов, связывая взаимодействие частиц и электромагнитное излучение.
Скорость электрона и свет: Она обозначает соотношение скорости электрона на первой орбите Бора к скорости света, интегрируя квантовую механику с относительностью.
Константы связи: α аналогична константе связи для электромагнитной силы, подобно тем, что существуют для других фундаментальных сил, подчеркивая ее роль в квантовой электродинамике (КЭД).
Значение в квантовой механике и за ее пределами

Спектральные линии: α играет ключевую роль в объяснении тонкой структуры спектральных линий, необходимых для понимания, как атомы поглощают или излучают излучение.
Химические связи и восприятие: Она влияет на силу химических связей и наше восприятие света, оказывая влияние на широкий спектр физических явлений.
Универсальные постоянные: Как безразмерная величина, α является примером универсальной постоянной, центральной для уравнений Стандартной модели и ключевой для измерения магнитного момента электрона. Жизнь и Вселенная: Точное значение α, 0.007297351, критично; даже незначительные вариации могли бы изменить размеры атомов, химию и ядерные реакции, фундаментально изменяя условия для жизни.
Роль постоянной тонкой структуры в квантовой физике

В области квантовой физики постоянная тонкой структуры, обозначаемая как α, играет незаменимую роль, служа угловым камнем для понимания электромагнитных взаимодействий между заряженными частицами и электромагнитным излучением. Этот раздел исследует многогранную роль α в квантовой физике, подчеркивая ее значение через различные методы измерения и теоретические последствия.
Методы измерения:

Квантовый эффект Холла (КЭХ): Использует квантизацию сопротивления Холла RH(i) = RK/i, где RK — константа фон Клитцинга, позволяя точно измерить α с относительной стандартной неопределенностью 24 x 10^-9.
Эксперимент NIST: Использует измеряемый перекрестный конденсатор для измерения емкостей, которые, в свою очередь, используются для определения импедансов резисторов, обеспечивая точное значение для α.
Прогнозы квантовой электродинамики (КЭД): Предполагает, что эффективный заряд и, следовательно, α изменяется в зависимости от уровня энергии, на котором он измеряется, предлагая динамическую перспективу на его значение.
Теоретические прозрения:

Группа ренормализации: Диктует логарифмический рост в силе электромагнитных взаимодействий по мере увеличения масштаба энергии, подчеркивая энергозависимый характер α. Безразмерный магнитный момент электрона: КЭД предсказывает связь между этим моментом и α, связывая фундаментальные свойства электронов с постоянной тонкой структуры. Полюс Ландау: Теоретические предсказания КЭД предполагают, что если бы это была точная теория, α расходилась бы на определенном уровне энергии, известном как полюс Ландау, подчеркивая пределы текущих теоретических рамок.
Роль в квантовой электродинамике (КЭД):

Константа связи: α напрямую связана с константой связи, которая определяет силу взаимодействия между электронами и фотонами, что является центральным для теории КЭД.
Экранированный эффективный заряд: Рассматривается как квадрат эффективного заряда, «экранированного поляризацией вакуума и видимого из бесконечности», значение α указывает на силу электромагнитной силы на различных уровнях энергии.
Всеобъемлющесть в формулах: α присутствует в уравнениях, управляющих светом и материей, характеризуя влияние электромагнитной силы на заряженные частицы и способствуя формированию химических связей. Через эти методы измерения и теоретические прозрения постоянная тонкой структуры α выступает как фундаментальный аспект квантовой физики, воплощая силу электромагнитной силы и ее последствия на различных энергетических уровнях. Ее точное определение и исследование ее энергозависимой природы остаются критическими целями для продвижения нашего понимания фундаментальных сил вселенной.
Безразмерное чудо

Постоянная тонкой структуры, часто обозначаемая как α, стоит как угловой камень в здании современной физики, соединяя области квантовой механики, электромагнетизма и относительности. Ее уникальные характеристики и последствия изложены ниже:
Безразмерный характер:

Определение: α определяется как квадрат элементарного заряда (e) деленный на произведение 4π, диэлектрической проницаемости свободного пространства (ε₀), уменьшенной константы Планка (ℏ) и скорости света (c). Эта формулировка приводит к чистому числу, α = e²/(4πε₀ℏc), лишенному любых единиц или размерностей.
Последствия: Безразмерность означает, что значение α универсально; оно не изменяется независимо от системы единиц или метода организации вселенной, используемого. Это свойство делает его фундаментальной постоянной, предоставляя общий язык для физиков всего мира.
Зависимость от уровней энергии:

На более низких уровнях энергии α приблизительно равна 1/137. Однако она проявляет удивительную характеристику; ее значение увеличивается с повышением уровня энергии. Например, на энергии, соответствующей массе бозона W (примерно 81 ГэВ), α принимает значение, ближе к 1/128. Эта энергозависимость предполагает, что α не является статичной величиной, а динамичной, меняющейся в зависимости от энергетического масштаба. Эта характеристика имеет решающее значение для понимания поведения электромагнитных взаимодействий в различных условиях.
Универсальное и фундаментальное:

Роль в физике: α объединяет три из фундаментальных констант природы: скорость света, электрический заряд, переносимый одним электроном, и константу Планка. Она количественно оценивает силу электромагнитного взаимодействия между элементарными заряженными частицами, делая ее незаменимой в изучении электродинамики, квантовой механики и относительности.
Необъяснимое происхождение: Несмотря на ее значение, происхождение или существование постоянной тонкой структуры остается одной из величайших загадок физики. В настоящее время нет теоретического объяснения, полностью учитывающего ее значение или почему оно принимает ту форму, которую имеет. Эта загадка подчеркивает роль постоянной как фундаментального вопроса в нашем понимании вселенной.
Безразмерный характер постоянной тонкой структуры, ее зависимость от уровней энергии и фундаментальная роль в физике подчеркивают ее значение в научном сообществе. Как универсальная постоянная, она предоставляет представления об электромагнитной силе, одной из четырех фундаментальных сил, и продолжает быть предметом интенсивного изучения и спекуляций в теоретической физике.
Спекуляции и теории

Тайна значения постоянной тонкой структуры:

Физики еще не определили, почему постоянная тонкой структуры имеет свое конкретное значение или ее фундаментальное значение в законах вселенной. Среди некоторых физиков преобладает гипотеза, что эти константы были установлены случайным образом в момент зарождения вселенной, вызывая вопросы о вероятности такой случайности, позволяющей формирование жизни. Уникальность и сложность постоянной тонкой структуры приводят к предположению, что наше физическое существование может быть результатом выдающегося дизайна, а не просто случая или эволюционных процессов.
Потенциальная изменчивость постоянной тонкой структуры: Текущий консенсус заключается в том, что постоянная тонкой структуры является постоянной во всей вселенной, без доказательств, предполагающих, что она может или менялась со временем.
Однако возникающие теории предлагают возможность того, что α может варьироваться в разных регионах вселенной или в разных измерениях, вводя новый уровень сложности в наше понимание физических законов.
Последствия изменений в постоянной тонкой структуры:

Хотя постоянная тонкой структуры влияет на размер атомов, она не напрямую определяет склеивание атомов вместе, предполагая, что ее роль более тонка, чем ранее понималось. Если бы постоянная тонкой структуры подверглась изменению, сила релятивистских эффектов внутри атомов была бы затронута, потенциально изменяя саму ткань физической реальности, как мы ее знаем. В контекстах, где квантовая механика действует в условиях глубокой релятивистской теории, любое изменение в постоянной тонкой структуры изменяло бы силу электромагнитного взаимодействия между двумя элементарными зарядами, намекая на глубокие последствия для фундаментальных сил вселенной.
Заключение

На протяжении этого исследования мы погрузились в сердце одной из самых захватывающих загадок физики: постоянную тонкую структуру, α, безразмерную величину, которая является ключом к пониманию электромагнитных взаимодействий, пронизывающих нашу вселенную. Путешествие, начиная с введения α Арнольдом Зоммерфельдом в 1916 году, через спекулятивные теории о ее потенциальной изменчивости и значении, подчеркивает центральную роль постоянной в соединении квантовой механики, электромагнетизма и относительности. Мы видели, как значение α, примерно 1/137 или 0.0072973525693, не только демонстрирует точность современной физики, но также представляет собой глубокую тайну, решение которой могло бы революционизировать наше понимание космоса.
Неурегулированные происхождения постоянной тонкой структуры и ее всепроникающее присутствие в фундаментальных описаниях вселенной призывают к любознательным умам, стремящимся раскрыть принципы, лежащие в основе космоса. Это размышление не только подчеркивает незаменимость постоянной в области теоретической физики, но также предлагает пути для будущих исследований, направленных на расшифровку ее тайн. Хотя статья охватывает обширную территорию — от исторического контекста постоянной до ее последствий для вселенной — основное сообщение ясно: постоянная тонкой структуры остается угловым камнем современной физики, маяком, направляющим ученых к теоретическому объединению сил природы и, возможно, к окончательному пониманию космоса самого по себе.

https://dzen.ru/a/Z4uhIP1ZNQzJIczs?from_site=mail
Математики открыли два новых типа бесконечностей: что это значит?
2 минуты
1139 прочтений
18 января
Оглавление

Что такое бесконечность?
Строгие и ультрастрогие кардиналы: что это?
Бесконечность и порядок: гипотеза HOD под угрозой

Вопрос о том, есть ли бесконечность у бесконечности, звучит как парадокс, но для математиков это серьёзная и захватывающая загадка. Новое исследование, проведённое учёными из Венского технологического университета и Барселонского университета, добавило в этот «лес» два новых уровня — так называемые строгие и ультрастрогие кардиналы.
Что такое бесконечность?

Математики давно классифицировали бесконечности в виде иерархической лестницы, где одни бесконечности «больше» других. Например:

ℵ₀ (алеф-ноль): Бесконечность натуральных чисел (1, 2, 3…).
Бесконечность вещественных чисел: Включает все дробные и отрицательные числа, а также бесконечное количество чисел между 0 и 1.

Такие бесконечности описываются с помощью так называемых аксиом крупных кардиналов, каждая из которых задаёт уникальный тип бесконечных чисел с особыми свойствами. Однако новые строгие и ультрастрогие кардиналы не вписываются в привычную структуру.
Строгие и ультрастрогие кардиналы: что это?

По словам Жоана Багарии, математика из Барселонского университета, эти новые кардиналы «существуют на самых верхних уровнях иерархии крупных кардиналов» и обладают свойствами, которые заставляют переосмыслить природу бесконечности.

Строгие кардиналы: Имеют более «сильные» свойства, чем предыдущие известные кардиналы. Они взаимодействуют с математической вселенной неожиданными способами.
Ультрастрогие кардиналы: Ещё более мощная версия строгих кардиналов, обладающая дополнительными «суперсилами», которые усиливают их влияние на бесконечность и математическую теорию.

Бесконечность и порядок: гипотеза HOD под угрозой

Математики давно пытаются понять, можно ли «упорядочить» бесконечность. Одна из таких гипотез — гипотеза HOD (Hereditary Ordinal Definability), которая предполагает, что даже самые хаотичные бесконечности можно включить в более широкий порядок.

Но новые кардиналы усложняют эту картину. По словам Хуана Агильеры, соавтора исследования, ультрастрогие кардиналы ломают традиционные схемы. Они взаимодействуют с уже известными бесконечностями «странным образом», что может стать доказательством против гипотезы HOD.

"Если это так, структура бесконечности может быть гораздо сложнее, чем мы предполагали," — утверждает Агильера.

Почему это важно?

Эти открытия — не просто абстрактные математические теории. Бесконечность лежит в основе ключевых технологий и областей науки:

Криптография: Теории бесконечности помогают разрабатывать алгоритмы для защиты данных.
Космология: Понимание бесконечных структур связано с изучением чёрных дыр и устройства Вселенной.
Искусственный интеллект: Алгоритмы, основанные на теории множеств, зависят от исследований бесконечности.

Кроме того, такие открытия ставят философские вопросы. Если бесконечность продолжает преподносить сюрпризы, можем ли мы полностью понять устройство Вселенной?

Оригинал этой статьи расположен по адресу: https://www.pravda.ru/news/science/2...s-of-infinity/

https://dzen.ru/a/Z1sEUPxv4BNTpXcG?from_site=mail
Почему число «1/137» встречается повсюду в природе?


13 декабря 2024

13,7 тыс

4 мин





Оглавление

• Что такое постоянная тонкой структуры?
• Где встречается число 1/137?
• 1. Электронная структура атомов

В науке существуют загадочные числа, которые кажутся неотъемлемой частью самой структуры Вселенной. Одним из таких чисел является 1/137 — известное также как обратная величина постоянной тонкой структуры. Это число волнует умы учёных, философов и любителей науки, вызывая множество вопросов: почему оно существует, какова его роль в природе и что оно может рассказать нам о законах физики? Попробуем разобраться.
Что такое постоянная тонкой структуры?

Число 1/137 связано с фундаментальной физической константой, называемой постоянной тонкой структуры, которая обозначается греческой буквой α (альфа). Эта константа описывает силу электромагнитного взаимодействия — одного из четырёх фундаментальных взаимодействий в природе. Формально она определяется как:
где:

• — заряд электрона,
• — редуцированная постоянная Планка,
• — скорость света в вакууме,
• — электрическая постоянная.

Численно приблизительно равна 1/137 (точное значение около 0.0072973525693).
Это безразмерная величина, что делает её уникальной: она остаётся неизменной вне зависимости от системы измерений. Именно благодаря этому она играет столь важную роль в физике.
Где встречается число 1/137?

1/137 встречается в самых различных областях науки и природы. Вот несколько примеров:
1. Электронная структура атомов

Постоянная тонкой структуры определяет свойства атомов. Она влияет на то, как электроны взаимодействуют с ядром и друг с другом. Например, спектры излучения атомов, такие как линии водорода, определяются значением . Если бы это число изменилось, химические и физические свойства веществ были бы совершенно другими.
2. Квантовая электродинамика

В квантовой электродинамике (КЭД), которая описывает взаимодействие света и материи, используется для расчёта вероятностей различных процессов, таких как испускание и поглощение фотонов. Точность экспериментов в КЭД настолько высока, что любое отклонение в значении могло бы указывать на новые физические явления.
3. Космология и структура Вселенной

Значение связано с эволюцией Вселенной. Если бы оно было немного другим, звёзды, планеты и жизнь, как мы её знаем, могли бы никогда не возникнуть. Например, изменения в повлияли бы на энергию связи атомных ядер, делая химию и биологию невозможными.
4. Чёрные дыры и квантовая гравитация

Хотя чёрные дыры и их свойства обычно описываются теорией относительности, может играть роль в описании их взаимодействий с элементарными частицами. Исследования показывают, что это число может быть связано с явлениями на стыке квантовой механики и гравитации.
Почему именно 1/137?

Причина, по которой имеет значение около 1/137, остаётся одной из главных загадок физики. Вот несколько гипотез:
1. Число, вытекающее из математической структуры физики

Некоторые учёные считают, что значение обусловлено глубокими математическими принципами, которые ещё предстоит открыть. Возможно, оно связано с симметриями или топологическими свойствами пространства-времени.
2. Антропный принцип

Согласно антропному принципу, фундаментальные константы, такие как , имеют свои значения потому, что иначе не могла бы существовать жизнь, способная их измерить. Это означает, что значение 1/137 может быть случайным среди множества возможных значений в разных Вселенных.
3. Многоуровневая структура реальности

Некоторые теоретики предполагают, что — это своего рода «программный код» Вселенной. Если бы мы поняли его истинную природу, это могло бы раскрыть нам новые законы физики.
Исторические аспекты

Число 1/137 давно привлекало внимание физиков и математиков. Вот несколько заметных фигур, которые интересовались этим числом:

• Арнольд ЗоммерфельдИменно он ввёл постоянную тонкой структуры в науку, описывая релятивистские поправки в атомной спектроскопии.
• Ричард ФейнманВеликий физик называл «одним из величайших секретов природы», утверждая, что никто не понимает, почему оно имеет такое значение.
• Пауль ДиракДирак пытался связать с другими фундаментальными константами и космологическими параметрами.

Возможные объяснения в современной физике

Современные теории пытаются объяснить значение , используя подходы, такие как теория струн, квантовая теория поля и даже новые модели пространства-времени. Некоторые из них:
1. Теория струн

В теории струн фундаментальные константы, включая , могут быть следствием вибраций струн в многомерном пространстве. Значение могло бы зависеть от формы и размеров этих дополнительных измерений.
2. Изменяющаяся постоянная

Некоторые исследования предполагают, что могла изменяться в прошлом. Это гипотеза проверяется с помощью наблюдений далёких галактик и изучения спектров древнего света.
3. Фундаментальная геометрия пространства-времени

Значение может быть связано с фундаментальными геометрическими свойствами нашего пространства-времени. Это открывает перспективу объединения квантовой механики и гравитации.
Заключение

Число 1/137 — это загадочная величина, которая пронизывает самые разные аспекты науки. Оно является ключом к пониманию электромагнетизма, квантовой механики и, возможно, более глубоких законов природы. Хотя его точная природа остаётся неясной, изучение продолжает вдохновлять физиков и философов. Возможно, раскрытие тайны этого числа приблизит нас к разгадке фундаментальных вопросов бытия: почему Вселенная устроена именно так, а не иначе?

https://dzen.ru/a/Z9xcd2VrjVU7LwyR?from_site=mail
Системы счисления: что это и какие бывают


Оглавление

• Что такое система счисления
• История систем счисления
• Позиционные системы счисления

Не задумываясь, мы привыкли считать от нуля до десяти и записывать числа в этой системе счисления. Но в мире существуют и другие способы. Разбираемся, как устроены системы счисления, где их применяют и почему иногда без них не обойтись.
Что такое система счисления



Joyseulay / Shutterstock / FOTODOM📷Системы счисления важны для математики, программирования и инженерии

Система счисления — это метод представления чисел с помощью определенных знаков и правил их записи. Она позволяет удобно обозначать количества, выполнять расчеты и хранить информацию в различной форме [1].
Каждая система имеет свое основание, которое определяет, сколько символов в ней используют. Например, в десятичной системе применяют десять цифр — от 0 до 9, а в двоичной всего две — 0 и 1. Хотя в быту мы в основном используем десятичную систему, в других областях востребованы иные способы записи чисел.
Двоичная система играет ключевую роль в компьютерных технологиях, поскольку удобна для работы с электронными устройствами, а римская по-прежнему используется для обозначения веков, глав в книгах и на циферблатах часов.
История систем счисления



Keith 316 / Shutterstock / FOTODOM📷Ранние системы счисления не имели разрядов и не позволяли выполнять сложные арифметические операции

Одними из первых и простых методов подсчета и записи чисел были зарубки, узелки и камни. Примером такого метода является кость Ишанго возрастом более 20 тыс. лет., найденная в Африке [2]. На ней высечены отметки, свидетельствующие о примитивных вычислениях.
Позже, по мере накопления знаний, появились системы записи чисел с использованием символов. Шумерская и вавилонская системы (около 3100 г. до н. э.) основывались на шестидесятеричной системе (основание 60). Именно благодаря ей в современном мире сохранились 60 секунд в минуте и 360 градусов в окружности [3]. Египетская система использовала десятичный принцип: для обозначения чисел применялись иероглифы, например, спиральная веревка означала 100, лотос — 1 000 и так далее [3]. Майя разработали двадцатиричную систему.
Греки пользовались аттической системой, позже эволюционировавшей в ионическую — в ней числа обозначали буквами алфавита. Римляне разработали собственную систему, в которой числа записывали с помощью комбинации букв: I — 1, V — 5, X — 10 и т. д. Несмотря на широкое использование, римские цифры были неудобны для сложных расчетов, так как не имели разрядности и символа для нуля.
Настоящим прорывом стала десятичная позиционная система с нулем, созданная индийскими математиками (0–9) [3]. Ее основное преимущество — позиционность: значение цифры зависит от ее места в числе. Например, в числе 202 цифра 2 имеет разные значения в зависимости от своей позиции. Это позволило записывать любые числа с помощью ограниченного набора символов, используя принцип места.
Десятичная система показала огромные преимущества и стала «совершенной системой счисления» своего времени [3], [4]. Именно благодаря ей сложение, вычитание и другие операции стали проще, чем когда-либо.
Позиционные системы счисления



Chim / Shutterstock / FOTODOM📷В XX веке появление компьютеров привело к активному использованию двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем

Позиционные системы позволяют записывать большие числа коротко и выполнять вычисления гораздо проще. Значение каждой цифры определяет не только символ, но и его положение. В таких системах используют понятие основания, которое указывает, сколько различных цифр применяется. Например, если основание равно 10, это означает, что числа записывают с использованием десяти символов — от 0 до 9. Так, в числе 202 позиционная система понимает первые «2» как двести (две сотни), а последнюю «2» — как две единицы [5], [6].
Двоичная

Двоичная система счисления основана на использовании всего двух цифр — 0 и 1 [7]. Она широко применяется в вычислительной технике, так как легко передается через электронные сигналы, где 0 соответствует отсутствию тока, а 1 — его наличию.
Несмотря на ограниченное количество символов, эта система позволяет представлять любые числа используя больше разрядов. Например, число 6 в двоичном формате записывается как 110 [8].
Двоичная система получила широкое применение в компьютерной технике. Причина в том, что физически очень просто реализовать два устойчивых состояния для хранения и передачи информации (например, присутствует или отсутствует сигнал, есть или нет напряжения). Компьютеры «мыслят» нулями и единицами, представляя любой тип данных в виде длинных двоичных комбинаций.
Восьмеричная

Восьмеричная (основание 8, цифры 0–7) раньше использовалась в программировании для сокращения записи двоичных чисел. Каждой восьмеричной цифре соответствует строго три двоичных цифры. В программировании восьмеричная система широко применялась в середине XX века, особенно на этапах, когда удобство представления двоичных кодов было важно, а шестнадцатеричная система еще не стала стандартом [9]. Программисты могли записывать машинные коды и адреса в восьмеричном виде, что сокращало длину записи (по сравнению с двоичной) втрое.
Однако со временем восьмеричную систему почти полностью вытеснила более мощная шестнадцатеричная. Сегодня восьмеричная система используется довольно ограниченно. Классический пример — права доступа в UNIX/Linux [10]. В этих операционных системах права файла (чтение/запись/выполнение для владельца, группы, остальных) кодируются трехзначным восьмеричным числом от 000 до 777.
Десятичная

Десятичная (основание 10, цифры 0–9) — наиболее распространенная система, удобная для повседневных расчетов. Десятичная система настолько укоренилась, что часто воспринимается как единственно возможный способ записи чисел [9], [11].
Стоит отметить, что десятичная система используется не только для целых, но и для дробных чисел — с разделителем (запятой или точкой) для отделения дробной части. Единицы дробных разрядов — десятые, сотые, тысячные доли и т.д. Именно в десятичной системе ведется большинство измерений и расчетов. Распространенность десятичной системы практически абсолютная: ее учат с детства во всех странах, ей пользуются в торговле и повседневных расчетах. Лишь в специальных приложениях (например, программирование) могут применяться другие системы счисления, но результат для пользователя все равно обычно переводится в десятичный формат.
Шестнадцатеричная

Шестнадцатеричная система счисления (гексадецимальная) имеет основание 16. Она расширяет десятичный набор цифр за счет букв: используют 16 символов — 0–9 для нуля до девяти и A, B, C, D, E, F для десяти до пятнадцати.
Шестнадцатеричная система практически не встречается в быту, но широко применяется в информатике. Ее основное преимущество — компактность записи двоичных данных. Каждая шестнадцатеричная цифра эквивалентна последовательности из четырех двоичных бит [9], [12]. Благодаря этому любое двоичное число можно записать в четыре раза короче в шестнадцатеричном формате.
Например, двоичный байт 11111111₂ в шестнадцатеричной системе записывается как короткое FF₁₆. В современном программировании шестнадцатеричные числа используются повсеместно: например, цвета в HTML/CSS кодируются как #RRGGBB, где каждая компонента цвета — двузначное шестнадцатеричное число от 00 до FF. Так, код #FFDD00 обозначает ярко-желтый цвет, где FF₁₆ = 255 — максимальная интенсивность красного, DD₁₆ = 221 — немного пониженная интенсивность зеленого, а 00 — отсутствие синего [13].

Непозиционные системы счисления



Leon Rafael / Shutterstock / FOTODOM📷Непозиционные системы были первыми в истории – именно так люди изначально научились записывать числа

Непозиционные системы, такие как римские цифры, не изменяют значения символов в зависимости от их места в числе. Это делает их неудобными для вычислений. Каждая цифра всегда означает одну и ту же величину, и числа образуются комбинированием таких знаков по определенным правилам [9], [14].
В непозиционной системе часто требуется больше символов для записи больших чисел, и отсутствует удобный единый алгоритм для арифметических операций. В современности непозиционные системы практически вышли из употребления.
Единичная

Единичная (унарная) — самая простая система, где число представляется повторением одного знака, например, пять палочек для числа 5. Чтобы представить число, этот знак просто повторяют нужное количество раз. Унарная система по сути равна счету конкретными предметами. Ее применяли первобытные люди, делая насечки на кости или палочке. Практического использования для больших чисел у такой системы нет. Длина записи растет линейно от значения числа, и уже число в несколько сотен в унарной системе выглядело бы как длинная строка из сотен символов.
Римская

Римская — самая известная непозиционная система, дошедшая до наших дней. Она была разработана в Древнем Риме и использует вместо привычных нам арабских цифр специальные символы-буквы: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) и M (1000) . Основные правила образования римских чисел следующие: если более крупный символ стоит перед меньшим или равным, их значения складывают, если меньший стоит перед большим — вычитают. Например, III = 3 (три единицы суммируются), XV = 15 (10 + 5), а IV = 4 (5 — 1, поскольку I перед V означает вычитание единицы из пяти). Повторяться подряд может не более трех одинаковых символов, поэтому для 4 пишут IV (а не IIII), для 9 — IX и аналогично вводятся комбинации XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900 [4], [9]. Римляне не имели нуля и не пользовались разрядами; их система была достаточно эффективна для записи дат, порядковых номеров, но не очень удобна для сложения или умножения больших чисел.
В наше время римская система сохранилась в декоративно-номинальном применении. Ею нумеруют века и годы на памятных табличках, главы книг, пункты списка, указывают часы на циферблатах.
Системы счисления в информатике

Компьютеры и цифровые устройства оперируют данными в двоичной форме, поэтому в информатике особенно важны системы счисления с основанием, являющимся степенью двойки — то есть 2, 8, 16. Базовая система внутри любого компьютера двоичная: все числа хранятся как последовательности битов (0 или 1). На уровне электронных схем 0 и 1 кодируют разные состояния (например, низкое или высокое напряжение) . Поэтому весь машинный код, адреса памяти, результаты вычислений — изначально двоичные [15].
Однако двоичная запись очень длинная и неудобна. Чтобы упростить работу, используют шестнадцатеричную и иногда восьмеричную системы. Шестнадцатеричная получила наибольшее распространение, так как позволяет компактно выразить двоичные данные: один шестнадцатеричный знак заменяет четыре двоичных бита. В программировании шестнадцатеричные числа удобно использовать для описания цветов, кодовых точек символов, адресов и двоичных литералов.
Восьмеричная система в информатике исторически применялась раньше, когда компьютерные «слова» имели длину, кратную 3 битам, и группировка по три бита (то есть восьмеричная запись) была естественной.
Десятичная система тоже имеет место в информатике. Во-первых, исходные данные и результаты вычислений обычно вводятся и выводятся для пользователя в десятичном виде, привычном людям. Во-вторых, существуют области вычислений (финансовые расчеты, бухгалтерия), где критично работать именно с десятичными дробями, чтобы избегать ошибок округления двоичного представления. Для этого применяют специальные десятичные форматы или библиотеки (например, BCD — двоично-десятичный код, хранящий десятичные цифры).
В языке программирования число по умолчанию считается десятичным литералом, если не указано иное. Таким образом, программист постоянно имеет дело с разными системами счисления: двоичной (биты, маски, сдвиги), шестнадцатеричной (отладка, литералы 0x, цвета, Unicode и прочее), реже восьмеричной (наследие Unix), но конечный пользователь чаще всего видит числа в удобной десятичной форме.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Существует несколько методов перевода чисел из одной системы счисления в другую. Наиболее распространенные алгоритмы позволяют переводить числа сначала в десятичную систему, а затем в любую другую. Однако есть и методы прямого преобразования между произвольными основаниями [15].
Чтобы преобразовать число, записанное в системе с основанием N, в десятичную систему, необходимо разложить его по степеням основания.
Пример 1. Переведем число 1011₂ (в двоичной системе) в десятичную:
1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0 =1×8+0×4+1×2+1×1=8+0+2+1=11₁₀
Пример 2: Переведем число 231₄ (из четверичной системы) в десятичную:
2×4^2+3×4^1+1×4^0=2×16+3×4+1×1=32+12+1=45₁₀
Чтобы перевести число из десятичной системы в любую другую, используется метод последовательного деления на основание новой системы. При этом записываются остатки от деления, начиная с последнего результата.
Пример 3. Переведем 25₁₀ в двоичную систему (основание 2):

1. 25 ÷ 2 = 12, остаток 1
2. 12 ÷ 2 = 6, остаток 0
3. 6 ÷ 2 = 3, остаток 0
4. 3 ÷ 2 = 1, остаток 1
5. 1 ÷ 2 = 0, остаток 1

Записываем остатки в обратном порядке: 25₁₀ = 11001₂.
Пример 4. Переведем 125₁₀ в восьмеричную систему (основание 8):

1. 125 ÷ 8 = 15, остаток 5
2. 15 ÷ 8 = 1, остаток 7
3. 1 ÷ 8 = 0, остаток 1

Читаем остатки снизу вверх: 125₁₀ = 175₈.
Можно выполнить перевод числа сразу из одной системы в другую, минуя десятичную. Для этого часто применяют промежуточные представления через двоичную систему. Например, перевод 3A₁₆ (из шестнадцатеричной системы) в восьмеричную:
1. Разбираем шестнадцатеричное число на двоичные блоки:

• 3₁₆ = 0011₂
• A₁₆ = 1010₂
• Получаем: 3A₁₆ = 00111010₂

2. Группируем двоичные цифры по три, начиная с конца:

• 001 110 100

3. Переводим в восьмеричную систему:

• 001₂ = 1₈
• 110₂ = 6₈
• 100₂ = 4₈

4. Получаем ответ: 3A₁₆ = 164₈.
Этот метод удобен для перевода между системами, где основание является степенью двух (например, 2, 8 и 16).