Любопытное в математике
 

ЗА математикой 2 фундаментальных числа - фундаментальных предела
Пи и Е - число круга и число спирали.

http://www.numbernautics.ru/ezjt-matematik/734----
4 марта человечество отмечает Международный день числа «пи». Почему 14 марта?
Если быть точнее, то поздравлять окружающих с днем «пи» нужно в марте 14-го в 1:59:26, в соответствии с цифрами числа «пи» – 3,1415926…
Что за число такое?
Число пи обратило на себя внимание людей ещё в доисторические времена, когда они не умели записывать ни своих знаний, ни своих переживаний, ни своих воспоминаний.
Но, как писала бессмертная Тэффи, «все, что касается древнейших времен и о чем мы ровно ничего не знаем, называется периодом доисторическим. Ученые ровно ничего об этом периоде не знают (потому что если бы знали, то его пришлось бы уже назвать историческим)».
Однако уже тогда люди заинтересовались соотношением длины окружности и ее диаметра. Сначала по невежеству его (это отношение) считали равным трем, что было грубо приближенно, но им хватало.
Но когда времена доисторические сменились временами древними (т.е. уже историческими), то удивлению пытливых умов не было предела: оказалось, что число три весьма неточно выражает это соотношение.
С течением времени и развитием наук это число стали полагать равным двадцати двум седьмым, о чем потом даже сложили стишок для запоминания:
В Древней Греции точные науки процвели просто-таки необычайно, а также появилась архитектура.
А где архитектура – там и расчеты.
И всем известный Архимед еще уточнил значение числа пи, о чем также в стихах сообщил нам замечательный писатель С.Бобров в своей чудесной книге «Волшебный Двурог»:
Для простого бытового использования этих знаков уже достаточно. Но неутомимые ученые продолжали и продолжали вычислять десятичные знаки числа пи, что является на самом деле дико нетривиальной задачей, потому что просто так в столбик его не вычислить: число это не только иррациональное, но и трансцендентное (это вот как раз такие числа, которые не вычисляются путем простых уравнений).
Ученые Токийского университета сумели поставить мировой рекорд в вычислениях числа Пи до 12411-триллионного знака.
Для этого группе программистов и математиков, которую возглавлял профессор Ясумаса Канада, понадобилась специальная программа, суперкомпьютер и 400 часов машинного времени.(Книга рекордов Гиннесса).
Зачем они это делают?
Ну, во-первых, для очень точных вычислений какой-нибудь орбиты спутника желательно иметь этих знаков побольше, а то можно и в Луну не попасть. Да и для строительства всяких там плотин и гигантских мостов тоже нужна точность.
А во-вторых, и в главных, это число имеет и собственную научную ценность. В процессе вычислений этих самых знаков было открыто множество разных научных методов и целых наук.
Но самое главное – в десятичной части числа пи нет повторений, как в обычной периодической дроби, а число знаков после запятой у него – бесконечно.
На сегодняшний день проверено, что в 500 млрд. знаков числа пи повторений действительно нет. Есть основания полагать, что их нет вообще.
Это архиважно! Сейчас поясню.
Поскольку в последовательности знаков числа пи нет повторений – это значит, что последовательность знаков пи подчиняется теории хаоса, точнее, число пи – это и есть хаос, записанный цифрами.
Более того, при желании, можно этот хаос представить графически, и есть предположение, что этот Хаос разумен.
В 1965-м году американский математик С. Улам, сидя на одном скучном собрании, от нечего делать начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в число пи.
Поставив в центре 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой.
Попутно он обводил все простые числа кружками. Каково же было его удивление и ужас, когда кружки стали выстраиваться вдоль прямых!
Позже он сгенерировал на основе этого рисунка цветовую картину с помощью специального алгоритма. Что изображено на этой картине – засекречено.
А нам-то что с того?
А следует из этого то, что в десятичном хвосте числа пи можно отыскать любую задуманную последовательность цифр.
Ваш телефон?
Пожалуйста, и не раз . Можно поверить на слово: любая последовательность цифр в десятичных знаках числа пи рано или поздно найдется. Любая!
Ну и что? – спросите вы.
А то. Прикиньте: если там есть ваш телефон (а он есть), то ведь там же есть и телефон той девушки, которая не захотела дать вам свой номер.
Более того, там есть и номера кредиток, и даже все значения завтрашнего тиража Спортлото.
Вопрос в том, как их там отыскать…
Для более возвышенных читателей можно предложить и другой пример: если зашифровать все буквы цифрами, то в десятичном разложении числа пи можно найти всю мировую литературу и науку, и рецепт изготовления соуса бешамель, и все священные книги всех религий.
Я не шучу, это строгий научный факт. Ведь последовательность БЕСКОНЕЧНА и сочетания не повторяются, следовательно она содержит ВСЕ сочетания цифр, и это уже доказано. А раз все, то все. В том числе и такие, которые соответствуют выбранной вами книге.
А это опять-таки означает, что там содержится не только вся мировая литература, которая уже написана (в частности и те книги, которые сгорели и т.д.), но и все книги, которые еще БУДУТ написаны.
В том числе и мои статьи в Школе Жизни.
Разве это может не волновать?
Получается, что это число (единственное разумное число во вселенной!) и управляет нашим миром.
Но – каким образом происходит это управление?
Как правило, с помощью как познанных, так и еще не познанных и не написанных законов физики, химии, физиологии, астрономии, которые в нем содержатся! Это вам не убогонькая дата рождения с десятью скудными вариантиками на каждую цифру, в которые предлагается впихнуть все человечество! то универсум в цифровом виде.
Вопрос опять-таки – как отыскать там правильные тексты, ведь там есть все варианты, например, кроме текста «Анны Карениной», в котором Анну переезжает паровоз, там содержится и вариант, в котором Анна сама его переезжает.
То есть, чтобы вычленить правильный текст, надо быть Толстым. А кроме правильного варианта завтрашнего тиража лотереи – есть и все неправильные, и как их различить?
Источник : ©К. Ю. Старохамская, Одесса, 6.04.2011

9 легких математических трюков

На многих людей математика может наводить ужас. Этот список, возможно, улучшит общие знания о математических приемах и ускорит выполнение математических вычислений в уме.

1. Умножение на 11
Все мы знаем, что при умножении на 10 к числу добавляется 0, а знаете ли вы, что существует такой же простой способ умножения двузначного числа на 11? Вот он:
Возьмите исходное число и представьте промежуток между двумя знаками (в этом примере мы используем число 52):
5_2
Теперь сложите два числа и запишите их посередине:
5_(5+2)_2
Таким образом, ваш ответ: 572.
Если при сложении чисел в скобках получается двузначное число, просто запомните вторую цифру, а единицу прибавьте к первому числу:
9_(9+9)_9
(9+1)_8_9
10_8_9
1089 – это срабатывает всегда.

2. Быстрое возведение в квадрат
Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5. Умножьте первую цифру саму на себя +1, а в конце допишите 25. Вот и все!
252 = (2x(2+1)) & 25
2 x 3 = 6
625

3. Умножение на 5
Большинство людей очень просто запоминает таблицу умножения на 5, но, когда приходится иметь дело с большими числами, сделать это становится сложнее. Или нет? Этот прием невероятно прост.
Возьмите любое число, разделите на 2 (другими словами, поделите пополам). Если в результате получилось целое число, припишите 0 в конце. Если нет, не обращайте внимание на запятую и в конце добавьте 5. Это срабатывает всегда:
2682 x 5 = (2682 / 2) & 5 или 0
2682 / 2 = 1341 (целое число, поэтому добавьте 0)
13410
Давайте попробуем другой пример:
5887 x 5
2943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5)
29435

4. Умножение на 9
Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9х3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9х3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.

5. Умножение на 4
Это очень простой прием, хотя очевиден лишь для некоторых. Хитрость в том, что нужно просто умножить на 2, а затем опять умножить на 2:
58 x 4 = (58 x 2) + (58 x 2) = (116) + (116) = 232

6. Подсчет чаевых
Если вам нужно оставить 15% чаевых, есть простой способ сделать это. Высчитайте 10% (разделите число на 10), а потом добавьте получившееся число к его половине и получите ответ:
15% от $25 = (10% от 25) + ((10% от 25) / 2)
$2.50 + $1.25 = $3.75

7. Сложное умножение
Если вам нужно умножать большие числа, причем одно из них — четное, вы можете просто перегруппировать их, чтобы получить ответ:
32 x 125 все равно, что:
16 x 250 все равно, что:
8 x 500 все равно, что:
4 x 1000 = 4,000

8. Деление на 5
На самом деле делить большие числа на 5 очень просто. Все, что нужно, - просто умножить на 2 и перенести запятую: 195 / 5
Шаг1: 195 * 2 = 390
Шаг2: Переносим запятую: 39,0 или просто 39.
2978 / 5
Шаг1: 2978 * 2 = 5956
Шаг2: 595,6

9. Вычитание из 1000
Чтобы выполнить вычитание из 1000, можете пользоваться этим простым правилом: Отнимите от 9 все цифры, кроме последней. А последнюю цифру отнимите от 10: 1000
-648
Шаг1: от 9 отнимите 6 = 3
Шаг2: от 9 отнимите 4 = 5
Шаг3: от 10 отнимите 8 = 2
Ответ: 352

Математика порождает Вселенную?

http://mtdata.ru/u29/photo6568/20513...if#20513176972
("Scientific American", США)


Макс Тегмарк (Max Tegmark)
http://mtdata.ru/u16/photoFEE7/20736...pg#20736249821
© Фото Fotolia, lightpoet



Отрывок из книги "Наша математическая Вселенная"

Как ответить на вопрос о сущности жизни, Вселенной и т.п.? В юмористическом фантастическом романе Дугласа Адамса "Автостопом по Галактике" ("The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy") компьютер выдал ответ в виде цифры: "42". Однако сложнее всего найти правильный ответ. Понимаю, Дуглас Адамс пошутил. Но и он не станет отрицать, что математика внесла огромный вклад в раскрытие тайн Вселенной.

Бозон Хиггса предсказан все тем же инструментом, что и планета Нептун, и радиоволны – при помощи математики. Как известно, Галилей заявил, что Вселенная является "великой книгой", написанной на языке математики. Почему же наша Вселенная кажется нам столь математичной? Как это понимать? В моей новой книге "Наша математическая Вселенная" я разъясняю, что Вселенная не просто описывается при помощи математики, но она сама и есть математика в том смысле, что все мы представляем собой элементы гигантского математического объекта, который, в свою очередь, является частью мультивселенной – столь гигантской, что по сравнению с ней остальные мультивселенные, о которых говорили в последние годы, выглядят малыми.

Кругом одна математика

О какой такой математике мы собираемся говорить? О математике, изучающей лишь числа? Оглянитесь вокруг себя, и вы, наверное, сможете увидеть где-нибудь небольшое количество каких-нибудь цифр (скажем, номера страниц в свежем выпуске журнала "Scientific American"), но эти цифры – всего лишь символы, придуманные и напечатанные людьми, поэтому когда мы говорим о том, что Вселенная по своей сути является математическим объектом, то мы, конечно же, не эти цифры имеем в виду.

Многие люди приравнивают математику к арифметике – здесь сказывается влияние нашей системы образования. Однако, вопреки распространенному мнению, математики изучают и другие абстрактные структуры, гораздо более разнообразные, чем числа, – в том числе и геометрические объекты. Например, нас постоянно окружает множество всяких геометрических фигур и тел, не так ли? (Вещи, созданные человеком, типа моей книги в виде параллелепипеда, здесь мы в расчет не берем.) Бросьте камешек параллельно земле, и вы увидите, сколь совершенна линия траектории, созданная природой! Траектории брошенных тел представляют собой разновидности перевернутой параболы.

Зададим еще один вопрос: по какой орбите движутся космические тела? И здесь мы обнаружим разные виды одной и той же фигуры – эллипса. Интересно отметить, что парабола и эллипс родственны друг другу: если большую ось эллипса сильно вытянуть, то эллипс все больше и больше будет стремиться к параболе; таким образом, все траектории, в приближении являются разновидностями эллипса.
Постепенно люди обнаружили множество других форм и фигур, проявлявших себя в природе не только во время движения или под действием силы тяжести, но и при изучении других явлений – электричества, магнетизма, света, теплоты, химических процессов, радиоактивности и субатомных частиц. Именно эти формы как раз и воплощены в законах физики, которые можно описать с помощью математических уравнений так же, как мы описываем форму эллипса.

Уравнения – не единственные проявления математики. Помимо них, есть еще и числа.

В данном случае я говорю не о цифрах – человеческих изобретениях (типа номеров страниц, проставленных в этой книге), а о числах, которые отражают основные свойства нашей физической реальности. Например, сколько нужно взять карандашей и расположить их таким образом, чтобы они были перпендикулярны, т.е. под углом 90 градусов друг другу? – Три карандаша. Посмотрите, например, на любой угол в своей квартире, и там вы также увидите три ребра при вершине. Откуда взялось именно число три? Мы называем это число размерностью нашего пространства, но почему она равна именно трем, а не четырем или двум или сорока двум? И почему во Вселенной существует, насколько мы можем судить, ровно шесть видов кварков? Кроме того, при описании природы мы также используем числа, называемые десятичными, когда, например, говорим, что "протон в 1836,15267 раз тяжелее электрона". Всего из 32 таких чисел физики могут получить и любую другую физическую константу из тех, которые когда-либо были найдены.

Вселенной свойственна некая математичность, которая проявляется тем больше, чем глубже человек проникает во Вселенную. Словом, как же быть со всеми этими проявлениями математики в окружающем нас физическом мире? Большинство моих коллег-физиков всего лишь ограничиваются выводом, что природа по какой-то причине описывается на языке математики, по крайней мере, приблизительно. Но я убежден, что надо идти дальше. Интересно, найдете ли вы в моей теории больше смысла, чем тот профессор, который сказал, что она погубит мою научную карьеру?

Гипотеза о математической Вселенной

Я был очарован этой математичностью мироздания еще будучи аспирантом. Как-то вечером 1990-го года в Беркли, когда я вместе со своим другом Биллом Пуарье сидел и рассуждал о природе вещей, мне вдруг пришла в голову мысль: окружающая нас реальность не просто описывается математикой – она сама является математикой, правда в очень специфическом смысле. Причем, я говорю не о некоторых сторонах реальности, но о всей реальности целиком, включая человека.

Мое первоначальное предположение – т.е. гипотеза об окружающей нас реальности – формулировалось так: существует внешняя физическая реальность, которая совершенно не зависит от человека. Когда мы из какой-нибудь теории выводим некие умозрительные конструкции, то для удобства обозначения приходится вводить новые понятия и слова, например, "протон", "атом", "молекула", "клетка", "звезда" и т.д. Необходимо помнить, что все эти понятия созданы людьми, однако, в принципе, все может быть описано и без субъективного влияния человека.

Но если предположить, что реальность существует независимо от человека, то для ее полного описания понадобится также помощь и внеземных существ или суперкомпьютеров, которым не ведомы наши научные концепции. Так возникла гипотеза о математической Вселенной, которая утверждает, что внешняя физическая реальность является математической структурой.

Представим, что вы захотели, например, описать траекторию полета победного баскетбольного мяча, запущенного игроком за несколько секунд до окончания игры. Поскольку мяч состоит из элементарных частиц (кварков и электронов), то, в принципе, можно описать траекторию каждой частицы без ссылки на траекторию баскетбольного мяча, например, так:

частица № 1 движется по параболе;

частица №2 движется по параболе;

…

Частица № 138314159265358979323846264 движется по параболе.

Конечно, такой способ описания движения каждой из частиц мяча крайне непрактичен, ведь чтобы описать траектории всех частиц, понадобится времени больше, чем возраст Вселенной. Но этого и не нужно делать, поскольку можно рассматривать не каждую частицу в отдельности, а их совокупность, которая двигается как единое целое – именно для обозначения этого единого целого люди изобрели слово "мяч", что позволяет нам сэкономить время и в дальнейшем описывать движение всей совокупности частиц целиком.

Мяч изобретен человеком, но сказанное выше точно так же относится и к другим природным объектам, таким, как молекулы, скалы, звезды – этим объектам мы даем названия для экономии времени, а также для того, чтобы нагляднее представить себе эти явления природы. Слова-обозначения полезны, однако мы даем их по своему собственному усмотрению и произволу.

И здесь возникает вопрос: а возможно ли вообще найти такое описание окружающего нас мира, которое бы не зависело от нашего субъективного мнения? Если оно возможно, тогда получится, что описание объектов окружающего мира и отношений между ними окажется полностью абстрактным, а любые слова и символы превратятся в простые этикетки-указатели, не зависящие от мнения человека. В таком случае отношения между объектами и будут считаться их свойствами.

Для ответа на поставленный вопрос нужно иметь более глубокое представление о математике. По мнению специалистов-логиков, математическая структура представляет собой множество абстрактных объектов, на котором заданы отношения. Данный подход резко контрастирует с тем, как большинство из нас представляет себе математику (скажем, в виде наказания или всяких там фокусов с числами).

Итак, современная математика занимается формальным описанием структур, которые могут быть определены абстрактно, т.е. без какого-либо субъективного человеческого вмешательства. Скажем, математические символы – это всего лишь пустые этикетки без внутреннего смысла. Не имеет никакого значения, как мы записываем простую операцию сложения – словами ("два плюс два равно четыре"), в виде формулы ("2 + 2 = 4") или на каком-нибудь языке, например, по-испански ("dos mas dos igual a cuatro"). Как именно мы будем обозначать сущность и отношения – не столь важно; мы знаем, что единственными свойствами целых чисел являются лишь те, с помощью которых обозначаются отношения между ними. Получается, что человек не изобретает математические структуры – он их обнаруживает, а потом лишь изобретает знаки для их обозначения.

Таким образом, нужно выделить два ключевых момента: 1) гипотеза об объективном существовании мира вне человека предполагает, что "теория всего" (полное описание физической реальности) не зависит от субъективного мнения человека, и 2) любой вариант объективного описания реальности представляет собой некую математическую структуру. Из этого вытекает гипотеза о математической Вселенной (т.е. что окружающая нас физическая реальность, описываемая "теорией всего", есть ни что иное как математическая структура). Словом, если вы верите в то, что существует не зависимый от человека физический мир, то вы, следовательно, должны также верить и в то, что наша физическая реальность – это математическая структура. Все в нашем мире полностью математично, в том числе и каждый человек.

Жизнь, очищенная от субъективности

Выше мы показали, как люди привносят свое субъективное мнение в описание окружающего мира. Теперь давайте посмотрим с другой стороны: каким образом математическая абстракция может раскрыть объективную сущность, очистив ее от привнесенной человеком субъективности. Рассмотрим знаменитую в шахматах "Бессмертную партию", в которой белым для достижения победы пришлось пожертвовать большим количеством фигур – обеими ладьями, слоном, ферзем, и поставить мат при помощи двух коней, слона и нескольких пешек [знаменитая "Бессмертная партия" была сыграна в 1851 г. – прим. перев.]. Когда любители шахмат называют эту партию красивой, то они имеют в виду не привлекательность игроков, шахматной доски или фигур, а более абстрактную сущность, которую можно было бы назвать абстрактной игрой, или последовательностью ходов.

Шахматы состоят из множества абстрактных объектов (различные шахматные фигуры, квадраты двух цветов на доске и т.д.), на котором заданы отношения. Например, отношение между шахматной фигурой и квадратом заключается в том, что фигура на нем стоит. Другой вид отношения: фигура ходит по определенным клеткам. Иными словами, описывать множество фигур на шахматной доске и отношения между ними можно по-разному, например, задать их на самой доске, использовать словесное описание на английском или, скажем, испанском языке или же обозначать алгебраически. Но если мы отбросим придуманные нами описания, то что же останется? Каков объект, которые они все описывают? – Ответ: "Бессмертная партия" сама по себе, шахматная партия как абстракция. Иными словами, все предпринятые нами эквивалентные описания этой партии говорят об одном и том же – об уникальной математической структуре, которая лежит в основе шахматной партии.

Гипотеза о математической Вселенной предполагает, что мы живем, так сказать, в "реляционной реальности" в том смысле, что свойства окружающего нас мира проистекают не от свойств ее конечных строительных кирпичей, но от отношений между этими кирпичами. Следовательно, окружающая нас физическая реальность не сводится к сумме своих частей, а превосходит ее в том смысле, что эта реальность может обладать множеством каких-то своих уникальных свойств, в то время как ее части не имеют внутренних свойств вообще. Получается, что окружающий нас мир не только описывается с помощью математики, но он сам и есть математика. Опираясь на этот несколько безумный вывод, мы получаем, что люди – это части гигантского математического объекта, обладающие самосознанием. Вследствие сказанного, как я утверждаю в книге, снижается статус таких известных нам понятий, как "случайность", "сложность" и даже переоценивается понятие "иллюзии". Теперь можно предположить существование невиданных ранее параллельных вселенных, настолько обширных и необычных, что по сравнению с ними все вышеупомянутые странные вселенные бледнеют, вынуждая нас отказаться от многих наших наиболее глубоких представлений о реальности.

Когда сталкиваешься с такой гигантской реальностью, то чувствуешь себя маленьким и беспомощным. Люди испытывали подобные чувства и раньше, когда вдруг узнавали, что окружавший их конечный мир на самом деле является лишь небольшой частью более крупной структуры – так было в случае с нашей планетой и Солнечной системой, нашей Галактикой и Вселенной, а, возможно, и всей иерархией параллельных вселенных, вложенных одна в другую по типу русских матрешек. Тем не менее в этом подходе я также вижу большой потенциал, поскольку мы постоянно недооцениваем не только размеры нашей Вселенной, но и мощь человеческого разума, способного ее разгадать. У наших предков, живших в пещерах, объем головного мозга был такой же как и у нас, а поскольку они не сидели по вечерам у телевизоров, то у них, конечно, было время задаться такими, например, вопросами: "Что это за штуки светятся там, на небе?" или "Откуда все это на небе взялось?" Для объяснения они придумали красивые мифы и байки, но им так и не удалось понять, что для получения ответов на эти вопросы главный инструмент находился в них самих. И для того, чтобы изучать небесные объекты, совсем не надо лететь самому в космос, – достаточно, чтобы заработал человеческий разум. Когда человеческое воображение впервые покинуло Землю и приступило к расшифровке тайн Вселенной, то делало оно это силой разума, а с помощью не ракетной тяги.

Стремление к знанию настолько меня очаровало, что я не смог ему сопротивляться и поэтому стал физиком. Я написал эту книгу, потому что хотел поделиться с читателями рассказом об этом завораживающем стремлении к открытиям, особенно в наше время, когда часто порой чувствуешь свою беспомощность. Если вы решили прочитать мою книгу, то это значит, что вы решили присоединиться ко мне и моим коллегам-физикам и заняться нашим совместным поиском. Оригинал публикации: Is the Universe Made of Math? [Excerpt]

Зарядка для ума
Как быстро считать в уме.

1. Умножаем на 11
Все мы знаем, как быстро умножить число на 10, нужно лишь добавить ноль в конце, но знаете ли вы, что есть фишка как легко умножить двузначное число на 11?
Допустим, нам нужно умножить 63 на 11. Возьмите двузначное число, которое нужно умножить на 11 и представьте между его двумя цифрами место:
6_3
Теперь сложите первую и вторую цифру этого числа и поместите в это место:
6_(6+3)_3
И наш результат умножения готов:
63*11=693
Если же результат сложения первой и второй цифры двузначное число, вставляйте только вторую цифру, а к первой цифре исходного числа прибавляйте единицу:
79*11=
7_(7+9)_9
(7+1)_6_9
79*11=869

2. Быстрое возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5
Если вам нужно возвести в квадрат двузначное число, заканчивающееся на 5, то вы можете сделать это очень просто в уме. Умножьте первую цифру числа на саму себя плюс единица и добавьте в конце 25, и это всё:
45*45=4*(4+1)_25=2025

3. Умножение на 5
Для большинства людей умножение на 5 не составляет труда для небольших чисел, но как быстро считать в уме большие числа, умноженные на 5?
Вам нужно взять это число и разделить на 2. Если результат целое число, то добавьте к нему 0 в конце, если нет, отбросьте остаток и добавьте 5 в конце:
1248*5=(1248/2)_(0 или 5)=624_(0 или 5)=6240 (результат деления на 2 целое число)
4469*5=(4469/2)_(0 или 5)=(2234.5)_(0 или 5)=22345 (результат деления на 2 число с остатком)

4. Умножение на 4
Это очень простая и, с первого взгляда, очевидная фишка умножения любого числа на 4, но несмотря на это люди не догадываются о ней в нужный момент. Чтобы просто умножить любое число на 4, нужно умножить его на 2, а потом снова умножить на 2:
67*4=67*2*2=134*2=268

5. Вычислить 15%
Если вам нужно в уме вычислить 15% от какого-либо числа, то есть простой способ, как это сделать. Возьмите 10% от числа (разделив число на 10) и добавьте к этому числу половину от полученных 10%.
15% от 884 рублей=(10% от 884 рублей)+((10% от 884 рублей)/2)=88.4 рубля + 44.2 рубля = 132.6 рублей

6. Умножение больших чисел
Если вам нужно перемножить большие числа в уме и одно из них четное, то вы можете воспользоваться методом упрощения множителей, уменьшая четно число в два раза, а второе увеличивая в два раза:
32*125 это
16*250 это
8*500 это
4*1000=4000

7. Деление на 5
Разделить большое число на 5 в голове очень просто. Всё что нужно, это умножить число на 2 и сместить запятую на один знак назад:
175/5
Умножаем на 2: 175*2=350
Смещаем на один знак: 35.0 или 35
1244/5
Умножаем на 2: 1244*2=2488
Смещаем на один знак: 248.8

8. Вычитание из 1000
Чтобы вычесть большое число из тысячи, следуйте простой технике, отнимайте все цифры числа от 9, кроме последней, а последнее цифру числа отнимите от 10:
1000-489=(9-4)_(9-8)_(10-9)=511
Разумеется, чтобы научиться быстро считать в уме, нужно много раз попрактиковаться в использовании этих приемов, чтобы довести их до автоматизма.

http://content.foto.my.mail.ru/commu...oto/i-1815.jpg

Числа, которые правят миром

У каждого в жизни есть особенные числа: день рождения, номер телефона, пин-коды... А вот о числах, общих для всех нас, нашей планеты и всей Вселенной задумываются немногие. Сотни лет понадобились ученым, чтобы определить фундаментальные константы, которые правят миром.

Эти великие числа – неотъемлемая часть нашей жизни, даже если большинство людей об этом не подозревает. Изменись хотя бы одно из них, и мир рассыпался бы, как карточный домик.

Давайте поговорим о нескольких великих константах и, разумеется, об их первооткрывателях.

Гравитационная постоянная
G= 6,67384 X 10^(−11) м^3·с^(−2)·кг^(−1)

Вокруг открытия Исаака Ньютона закона всемирного тяготения ходят легенды. Одна из них связана с падением яблока на голову молодого ученого, который отдыхал в яблоневом саду, размышляя о секретах мироздания.

Как бы то ни было, именно Ньютону мы обязаны гипотезой, согласно которой между любыми двумя материальными телами существует притяжение, сила которого пропорциональна их массе, а также квадрату расстояния между ними.

В это великое уравнение, начиная с XIX века, также входит гравитационная константа G, равная модулю силы притяжения двух килограммовых точечных тел на расстоянии одного метра.

Именно этот простой и изящный закон позволил Ньютону быстро прийти к выводам, для которых Йоганнесу Кеплеру понадобились долгие годы непрестанных наблюдений за ночным небом: орбита любой планеты представляет собой эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Не стоит долго распространяться о гравитационной постоянной: ведь именно благодаря ей мы крепко стоим на нашей планете, вода падает вниз, а не растекается в пространстве, а спутники летят по земной орбите. И хотя порой кому-то хочется избавиться от земного притяжения и свободно полетать между звездами, согласитесь, от гравитации больше пользы, чем вреда.

Скорость света
c = 299 792 458 м/с

Изобретение огнестрельного оружия в Средневековье наглядно показало конечность скорости звука: ведь вспышку на большом расстоянии можно увидеть до того, как доносится звук выстрела. Логично было предположить, что и скорость света − конечная величина.

Первую попытку экспериментально определить скорость света сделал Галилео Галилей, используя телескопы и двух людей, зажигающих последовательно огни на большом расстоянии друг от друга. Первую же приблизительную оценку дал Олаф Ремер в 1676 году, ведя астрономические наблюдения за спутниками Юпитера: 220 000 000 м/с. Результат достаточно близкий к истинному.

В 19 веке ученые уже достаточно точно определили эту фундаментальную константу. Альберту Майкельсону и Эдварду Морли в их знаменитом эксперименте удалось показать, что скорость света не зависит от направления, что подвигло Эйнштейна на создание теории относительности.

Оказалось, что скорость света − предельна для физических тел. Лишь фотоны, частицы, не имеющие массы покоя, способны двигаться со скоростью света. Даже недавние эксперименты, якобы показавшие, что нейтрино способны превысить эту универсальную постоянную, оказались ошибочными.

Универсальная газовая постоянная
R = 8, 3144621 Дж⁄(моль∙К)

В течение многих веков сотни исследователей изучали поведение различных газов, в первую очередь воздуха, при изменении объема, температуры и давления.

Роберту Бойлю впервые удалось определить отношение давления и объема газа. Столетием позже Жак Шарль и Жозеф Гей-Люссак открыли законы пропорциональной зависимости объема и температуры при постоянном давлении.

Работы исследователей привели к Дмитрию Менделееву и Бенуа Клапейрону, открывших уравнение состояния идеального газа, один из величайших законов физики. Входящая в него универсальная газовая постоянная определяется как работа расширения одного моля идеального газа, когда температура увеличивается на один градус Кельвина при постоянном давлении.

Абсолютный ноль
Т = −273,15 °C

Подогреть пищу сравнительно легко, значительно сложнее остудить ее до нужной температуры без помощи природы. Но людям удалось и это, например, с помощью холодильников.

Первым использовать расширение сжатого газа для достижения низких температур предложил Майкл Фарадей. Используя этот принцип, ученым удалось превратить в жидкость кислород, водород, а в двадцатом веке даже гелий.

Температура жидкого гелия почти достигает значения абсолютного нуля. А уже во второй половине двадцатого века, используя лазеры, физики сумели замедлить движение атомов, максимально приблизившись к нулевой температуре.

Абсолютный ноль, численно равный −273,15 °C, такой же предел для материальных тел, как и скорость света. Ничто в реальном мире не способно перейти нижнюю границу этого предела.

Число Авогадро
N = 6,022 141 29·1023 моль^(−1)

В таблице Менделеева более ста химических элементов, из которых состоит материальный мир. Каждому из них соответствует свой атом, а из атомов построены молекулы, как например, молекула воды H2O.

Но сколько молекул воды содержится, например, в чайной ложке?

Итальянский химик Амадео Авогадро задался этим вопросом и, проведя ряд экспериментов, установил, что при одинаковой температуре, давлении и объеме различные газы и жидкости состоят из одного и того же количества молекул.
Число Авогадро определяется количеством атомов, содержащихся в 12 граммах чистого изотопа углерода-12. Оно также определяет понятие моля − количества вещества, содержащего именно столько структурных элементов: атомов, молекул, ионов, электронов и других частиц.

http://www.youtube.com/watch?v=D-6KYnQQnQM
Как звучит число Пи?

http://www.youtube.com/watch?v=7QfoM8Y256w
красота математики - Пи

http://www.youtube.com/watch?v=vUvAoVSe3Gc
Сакральная Геометрия: Ряд Фибоначчи (7)

http://www.youtube.com/watch?v=COKU5...DRPZq3PlQZz49h
Сакральная Геометрия: Исцеление ума (9)

http://www.youtube.com/watch?v=HTwmJ...DRPZq3PlQZz49h
Сакральная Геометрия: Исцеляющая анимация (11)

http://www.youtube.com/watch?v=oI18U...DRPZq3PlQZz49h
Сакральная Геометрия: Рамочный барабан (10)

http://www.youtube.com/watch?v=lBdC5...DRPZq3PlQZz49h
Сакральная Геометрия: Карта Времени (8)

http://www.youtube.com/watch?v=VUfMg...DRPZq3PlQZz49h
Сакральная Геометрия: Введение (0)

http://www.youtube.com/watch?v=Xjlwy...DRPZq3PlQZz49h
Сакральная Геометрия: Семь монеток (1)

http://www.youtube.com/watch?v=p44pG...DRPZq3PlQZz49h
Сакральная Геометрия: Весика Писцис (2)

http://www.youtube.com/watch?v=XqOaR...DRPZq3PlQZz49h
Сакральная Геометрия: Сакральные языки (3)

http://www.youtube.com/watch?v=qFKrH...DRPZq3PlQZz49h
Сакральная Геометрия: Концентрические круги (4)

http://www.youtube.com/watch?v=eMos8...DRPZq3PlQZz49h
Сакральная Геометрия: Куб Метатрона (5)

http://www.youtube.com/watch?v=ZJpwf...DRPZq3PlQZz49h
Сакральная Геометрия: Золотая Середина (6)

http://www.mathnet.ru/php/presentati...&presentid=122
Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней. Лекция первая

В. А. Успенский

http://www.mathnet.ru/PresentLogos/122/122.jpg

Аннотация: Теорема Гёделя о неполноте — едва ли не самая знаменитая теорема математики. Она утверждает, что какие бы способы доказывания ни предложить, в любом достаточно богатом языке найдутся истинные, но не доказуемые утверждения. Богатство языка есть его способность выражать факты. Оказывается, что для целей теоремы Гёделя богатство языка достаточно понимать как его способность выражать принадлежность натуральных чисел перечислимым множествам.
Понятие перечислимого множества — одно из основных понятий теории алгоритмов: непустое множество называется перечислимым, если его можно расположить в вычислимую последовательность. Таким образом, теорема Гёделя имеет алгоритмические истоки. Возможны четыре принципиально различные пути, ведущие от этих истоков к теореме; эти пути были предложены, сооответственно, Гёделем, Колмогоровым, Чейтином и Шенем.
Цикл лекций

• Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней. Лекция первая
  В. А. Успенский, 20 июля 2007 г. 09:40
• Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней. Лекция вторая
  В. А. Успенский, 21 июля 2007 г. 09:30
• Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней. Лекция третья
  В. А. Успенский, 22 июля 2007 г. 11:30

См. также

• Теорема Гёделя — синтаксическая версия
  В. А. Успенский, 19 июля 2010 г. 09:30
• Доказательства невозможности в математической логике и теории алгоритмов
  А. Л. Семёнов, 23 июля 2010 г. 12:45

Математические хитрости

Математические хитрости

На многих людей математика может наводить ужас. Этот список, возможно, улучшит общие знания о математических приемах и ускорит выполнение математических вычислений в уме.
1. Умножение на 11
Все мы знаем, что при умножении на 10 к числу добавляется 0, а знаете ли вы, что существует такой же простой способ умножения двузначного числа на 11? Вот он:
Возьмите исходное число и представьте промежуток между двумя знаками (в этом примере мы используем число 52):
5_2
Теперь сложите два числа и запишите их посередине:
5_(5+2)_2
Таким образом, ваш ответ: 572.
Если при сложении чисел в скобках получается двузначное число, просто запомните вторую цифру, а единицу прибавьте к первому числу:
9_(9+9)_9
(9+1)_8_9
10_8_9
1089 – это срабатывает всегда.
2. Быстрое возведение в квадрат
Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5. Умножьте первую цифру саму на себя +1, а в конце допишите 25. Вот и все!
252 = (2x(2+1)) & 25
2 x 3 = 6
625
3. Умножение на 5
Большинство людей очень просто запоминает таблицу умножения на 5, но, когда приходится иметь дело с большими числами, сделать это становится сложнее. Или нет? Этот прием невероятно прост.
Возьмите любое число, разделите на 2 (другими словами, поделите пополам). Если в результате получилось целое число, припишите 0 в конце. Если нет, не обращайте внимание на запятую и в конце добавьте 5. Это срабатывает всегда:
2682 x 5 = (2682 / 2) & 5 или 0
2682 / 2 = 1341 (целое число, поэтому добавьте 0)
13410
Давайте попробуем другой пример:
5887 x 5
2943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5)
29435
4. Умножение на 9
Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9х3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9х3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.
5. Умножение на 4
Это очень простой прием, хотя очевиден лишь для некоторых. Хитрость в том, что нужно просто умножить на 2, а затем опять умножить на 2:
58 x 4 = (58 x 2) + (58 x 2) = (116) + (116) = 232
6. Подсчет чаевых
Если вам нужно оставить 15% чаевых, есть простой способ сделать это. Высчитайте 10% (разделите число на 10), а потом добавьте получившееся число к его половине и получите ответ:
15% от $25 = (10% от 25) + ((10% от 25) / 2)
$2.50 + $1.25 = $3.75
7. Сложное умножение
Если вам нужно умножать большие числа, причем одно из них — четное, вы можете просто перегруппировать их, чтобы получить ответ:
32 x 125 все равно, что:
16 x 250 все равно, что:
8 x 500 все равно, что:
4 x 1000 = 4,000
8. Деление на 5
На самом деле делить большие числа на 5 очень просто. Все, что нужно, - просто умножить на 2 и перенести запятую: 195 / 5
Шаг1: 195 * 2 = 390
Шаг2: Переносим запятую: 39,0 или просто 39.
2978 / 5
Шаг1: 2978 * 2 = 5956
Шаг2: 595,6
9. Вычитание из 1000
Чтобы выполнить вычитание из 1000, можете пользоваться этим простым правилом: Отнимите от 9 все цифры, кроме последней. А последнюю цифру отнимите от 10: 1000
-648
Шаг1: от 9 отнимите 6 = 3
Шаг2: от 9 отнимите 4 = 5
Шаг3: от 10 отнимите 8 = 2
Ответ: 352



Примерно оценить размер числа 2 в n-й степени можно возведя 2 в степень единиц, а каждый десяток прибавив в виде 3х нолей. Например, сколько цветов в 16-битной, 24-битной и 32-битной палитре:
Для 16: 2^16 ~ (2^6) 000 ~ 64 000 (65536)
Для 2^24 ~ (2^4) 000 000 ~ 16 000 000 (по калькулятору 16,7 млн)
Для 2^32 ~ (2^2) 000 000 000 ~ 4 000 000 000 (по калькулятору 4,3 млрд)

не существует хаоса, а есть лишь нелогичные для человеческого восприятия схемы упорядоченности. А теперь это подтвердили научно.

Цитата:

Престижную Абелевскую премию вручили российскому математику Якову Синаю

http://www.internovosti.ru/photos/2014/5/20/m85258.jpgКак передает РИА Новости, российскому математику Якову Синаю сегодня вручили престижную премию Абеля. Почетную награду ученому, который сейчас преподает в Принстонском университете и Институте теоретической физики им. Ландау, вручил лично норвежский кронпринц Хокон.

О том, что лауреатом математической премии был выбран Яков Синай, стало известно еще в минувшем марте. Во вторник, 20 мая, в университете Осло состоялась официальная церемония вручения одной из самых престижных мировых наград в области математики, которую нередко называют «Нобелевской премией для математиков».

Яков Синай был удостоен награды за свой фундаментальный вклад в математическую физику, теорию динамических систем и эргодическую теорию. В рамках своего выступления после вручения статуэтки лауреат признался, что это для него большая честь, добавив, что уже получил множество поздравлений от своих коллег. По словам Синая, подобная поддержка вдохновляет его на дальнейшую работу.

Высокий статус премии в математическом исследовательском сообществе также отметил и президент Норвежской АН Нильс Кристиан Стенсет, добавив, что она способна не только поощрять ученых, уже сделавших значительный вклад в развитие науки, но и вдохновлять молодое поколение на математические исследования в новых областях и сферах.

Отметим, что в денежном эквиваленте премия составляет порядка 6 миллионов норвежских крон, или около 1 миллиона долларов.

Источник

9 легких математических трюков

На многих людей математика может наводить ужас. Этот список, возможно, улучшит общие знания о математических приемах и ускорит выполнение математических вычислений в уме.

1. Умножение на 11
Все мы знаем, что при умножении на 10 к числу добавляется 0, а знаете ли вы, что существует такой же простой способ умножения двузначного числа на 11? Вот он:
Возьмите исходное число и представьте промежуток между двумя знаками (в этом примере мы используем число 52):
5_2
Теперь сложите два числа и запишите их посередине:
5_(5+2)_2
Таким образом, ваш ответ: 572.
Если при сложении чисел в скобках получается двузначное число, просто запомните вторую цифру, а единицу прибавьте к первому числу:
9_(9+9)_9
(9+1)_8_9
10_8_9
1089 – это срабатывает всегда.

2. Быстрое возведение в квадрат
Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5. Умножьте первую цифру саму на себя +1, а в конце допишите 25. Вот и все!
252 = (2x(2+1)) & 25
2 x 3 = 6
625

3. Умножение на 5
Большинство людей очень просто запоминает таблицу умножения на 5, но, когда приходится иметь дело с большими числами, сделать это становится сложнее. Или нет? Этот прием невероятно прост.
Возьмите любое число, разделите на 2 (другими словами, поделите пополам). Если в результате получилось целое число, припишите 0 в конце. Если нет, не обращайте внимание на запятую и в конце добавьте 5. Это срабатывает всегда:
2682 x 5 = (2682 / 2) & 5 или 0
2682 / 2 = 1341 (целое число, поэтому добавьте 0)
13410
Давайте попробуем другой пример:
5887 x 5
2943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5)
29435

4. Умножение на 9
Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9х3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9х3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.

5. Умножение на 4
Это очень простой прием, хотя очевиден лишь для некоторых. Хитрость в том, что нужно просто умножить на 2, а затем опять умножить на 2:
58 x 4 = (58 x 2) + (58 x 2) = (116) + (116) = 232

6. Подсчет чаевых
Если вам нужно оставить 15% чаевых, есть простой способ сделать это. Высчитайте 10% (разделите число на 10), а потом добавьте получившееся число к его половине и получите ответ:
15% от $25 = (10% от 25) + ((10% от 25) / 2)
$2.50 + $1.25 = $3.75

7. Сложное умножение
Если вам нужно умножать большие числа, причем одно из них — четное, вы можете просто перегруппировать их, чтобы получить ответ:
32 x 125 все равно, что:
16 x 250 все равно, что:
8 x 500 все равно, что:
4 x 1000 = 4,000

8. Деление на 5
На самом деле делить большие числа на 5 очень просто. Все, что нужно, - просто умножить на 2 и перенести запятую: 195 / 5
Шаг1: 195 * 2 = 390
Шаг2: Переносим запятую: 39,0 или просто 39.
2978 / 5
Шаг1: 2978 * 2 = 5956
Шаг2: 595,6

9. Вычитание из 1000
Чтобы выполнить вычитание из 1000, можете пользоваться этим простым правилом: Отнимите от 9 все цифры, кроме последней. А последнюю цифру отнимите от 10: 1000
-648
Шаг1: от 9 отнимите 6 = 3
Шаг2: от 9 отнимите 4 = 5
Шаг3: от 10 отнимите 8 = 2
Ответ: 352

я не понял но звучит интересно

Если вы сложите лист бумаги 103 раза, вы получите стопку бумаги, которая больше нашей Вселенной

Источник перевод для gearmix (Cowanchee)

Миф: Никакой лист бумаги нельзя сложить пополам более 8 раз. (На самом деле текущий рекорд уже составляет 12 раз, он принадлежит Бритни Гэлливен).
Реальность: Если у вас будет достаточно большой лист бумаги – и достаточно энергии для его складывания – вы можете сложить его сколько угодно раз. Однако тут есть одна проблема: Если вы сложите его 103 раза, толщина стопки бумаги превысит размеры известной нам вселенной – 93 миллиарда световых лет. Серьёзно.
http://mtdata.ru/u16/photo5F55/20674...pg#20674457963
Но как лист толщиной в одну десятую миллиметра может стать больше вселенной?
Ответ прост: Экспоненциальный рост. Толщина среднего листа бумаги составляет 1/10 миллиметра. Если вы идеально сложите его пополам, его толщина удвоится. Но вот затем вещи становятся по-настоящему интересными.
Третье складывание даст вам толщину человеческого ногтя.
Семь складываний – и вы получите толщину блокнота в 128 страниц.
10 – и толщина бумаги составит примерно ширину ладони.
23 – и вы получите стопку бумаги высотой в километр.
30 складываний выведут вас в космос. В этот момент ваш листок будет иметь высоту в 100 километров.
Продолжайте складывать. 42 складывания доведут вас до Луны. 51 – и вы окажетесь на Солнце.
Теперь быстро прокрутите до 81-го складывания и получите стопку бумаги толщиной в 127.786 световых лет – это практически равно диаметру Туманности Андромеды (который составляет примерно 141.000 световых лет).
90 складываний дадут 130.8 миллионов световых лет – это больше чем Суперкластер Девы, который имеет диаметр примерно 110 миллионов лет. Суперкластер Девы содержит в себе локальную галактическую группу, в которую входят Туманность Андромеды, наш собственный Млечный Путь, и около сотни других галактик.
И наконец, на 103 складывании вы выйдете за пределы наблюдаемой Вселенной, диаметр которой по приблизительным подсчётам составляет 93 миллиарда световых лет.
Математика удивительна, друзья. Так же, как и сама наша Вселенная.






Источник: gearmix.ru.

9 лёгких математических трюков


Читать подробнее →

Математические хаки…


http://mtdata.ru/u7/photo2C3A/205255...pg#20525566792
“Чистая математика является в своём роде поэзией логической идеи”.
Альберт Эйнштейн
В данной статье мы предлагаем вам подборку простых математических приёмов, многие из которых довольно актуальны в жизни и позволяют считать быстрее…
1. Быстрое вычисление процентов
Пожалуй, в эпоху кредитов и рассрочек наиболее актуальным математическим навыком можно назвать виртуозное вычисление процентов в уме. Самым быстрым способом вычислить определённый процент от числа является умножение данного процента на это число с последующим отбрасыванием двух последних цифр в получившемся результате, ведь процент есть не что иное, как одна сотая доля.
Сколько составляют 20% от 70? 70 × 20 = 1400. Отбрасываем две цифры и получаем 14. При перестановке множителей произведение не меняется, и если вы попробуете вычислить 70% от 20, то ответ также будет 14.
Данный способ очень прост в случае с круглыми числами, но что делать, если надо посчитать, к примеру, процент от числа 72 или 29? В такой ситуации придётся пожертвовать точностью ради скорости и округлить число (в нашем примере 72 округляется до 70, а 29 до 30), после чего воспользоваться тем же приёмом с умножением и отбрасыванием двух последних цифр.
http://mtdata.ru/u9/photo4282/207486...pg#20748639641
2. Быстрая проверка делимости
Можно ли поровну поделить 408 конфет между 12 детьми? Ответить на этот вопрос легко и без помощи калькулятора, если вспомнить простые признаки делимости, которые нам преподавали ещё в школе.

• Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2.
• Число делится на 3, если сумма цифр, из которых состоит число, делится на 3. Например, возьмём число 501, представим его как 5 + 0 + 1 = 6. 6 делится на 3, а значит, и само число 501 делится на 3.
• Число делится на 4, если число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4. Например, берём 2 340. Последние две цифры образуют число 40, которое делится на 4.
• Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
• Число делится на 6, если оно делится на 2 и 3.
• Число делится на 9, если сумма цифр, из которых состоит число, делится на 9. Например, возьмём число 6 390, представим его как 6 + 3 + 9 + 0 = 18. 18 делится на 9, а значит, и само число 6 390 делится на 9.
• Число делится на 12, если оно делится на 3 и 4.

3. Быстрое вычисление квадратного корня
Квадратный корень из 4 равен 2. Это посчитает любой. А как насчёт квадратного корня из 85?
Для быстрого приблизительного решения находим ближайшее к заданному квадратное число, в данном случае это 81 = 9^2.
Теперь находим следующий ближайший квадрат. В данном случае это 100 = 10^2.
Корень квадратный из 85 находится где-то в интервале между 9 и 10, а поскольку 85 ближе к 81, чем к 100, то квадратный корень этого числа будет 9 с чем-то.
http://mtdata.ru/u7/photo1BB2/209717...pg#20971712490
4. Быстрое вычисление времени, через которое денежный вклад под определённый процент удвоится
Хотите быстро узнать время, которое потребуется, чтобы ваш денежный вклад с определённой процентной ставкой удвоился? Тут также не нужен калькулятор, достаточно знать «правило 72».
Делим число 72 на нашу процентную ставку, после чего получаем приблизительный срок, через который вклад удвоится.
Если вклад сделан под 5% годовых, то потребуется 14 с небольшим лет, чтобы он удвоился.
Почему именно 72 (иногда берут 70 или 69) ? Как это работает? На эти вопросы развёрнуто ответит «Википедия».
5. Быстрое вычисление времени, через которое денежный вклад под определённый процент утроится
В данном случае процентная ставка по вкладу должна стать делителем числа 115.
Если вклад сделан под 5% годовых, то потребуется 23 года, чтобы он утроился.
http://mtdata.ru/u9/photoC576/203024...pg#20302493943
6. Быстрое вычисление почасовой ставки
Представьте, что вы проходите собеседования с двумя работодателями, которые не называют оклад в привычном формате «рублей в месяц», а говорят о годовых окладах и почасовой оплате. Как быстро посчитать, где платят больше? Там, где годовой оклад составляет 360 000 рублей, или там, где платят 200 рублей в час?
Для расчёта оплаты одного часа работы при озвучивании годового оклада необходимо отбросить от названной суммы три последних знака, после чего разделить получившееся число на 2.
360 000 превращается в 360 ÷ 2 = 180 рублей в час. При прочих равных условиях получается, что второе предложение лучше.
7. Продвинутая математика на пальцах
Ваши пальцы способны на гораздо большее, нежели простые операции сложения и вычитания.
С помощью пальцев можно легко умножать на 9, если вы вдруг забыли таблицу умножения.
Пронумеруем пальцы на руках слева направо от 1 до 10.
Если мы хотим умножить 9 на 5, то загибаем пятый палец слева.
Теперь смотрим на руки. Получается четыре несогнутых пальца до согнутого. Они обозначают десятки. И пять несогнутых пальцев после согнутого. Они обозначают единицы. Ответ: 45.
Если мы хотим умножить 9 на 6, то загибаем шестой палец слева. Получим пять несогнутых пальцев до согнутого пальца и четыре после. Ответ: 54.
Таким образом можно воспроизвести весь столбик умножения на 9.
http://mtdata.ru/u1/photo08F9/200794...pg#20079421094
8. Быстрое умножение на 4
Существует чрезвычайно лёгкий способ молниеносного умножения даже больших чисел на 4. Для этого достаточно разложить операцию на два действия, умножив искомое число на 2, а затем ещё раз на 2.
Посмотрите сами. Умножить 1 223 сразу на 4 в уме сможет не каждый. А теперь делаем 1223 × 2 = 2446 и далее 2446 × 2 = 4892. Так гораздо проще.
9. Быстрое определение необходимого минимума
Представьте, что вы проходите серию из пяти тестов, для успешной сдачи которых вам необходим минимальный балл 92. Остался последний тест, а по предыдущим результаты таковы: 81, 98, 90, 93. Как вычислить необходимый минимум, который нужно получить в последнем тесте?
Для этого считаем, сколько баллов мы недобрали/перебрали в уже пройденных тестах, обозначая недобор отрицательными числами, а результаты с запасом — положительными.
Итак, 81 − 92 = −11; 98 − 92 = 6; 90 − 92 = −2; 93 − 92 = 1.
Сложив эти числа, получаем корректировку для необходимого минимума: −11 + 6 − 2 + 1 = −6.
Получается дефицит в 6 баллов, а значит, необходимый минимум увеличивается: 92 + 6 = 98. Дела плохи. :(
http://mtdata.ru/u9/photo880E/201947...pg#20194785339
10. Быстрое представление значения обыкновенной дроби
Примерное значение обыкновенной дроби можно очень быстро представить в виде десятичной дроби, если предварительно приводить её к простым и понятным соотношениям: 1/4,1/3, 1/2 и 3/4.
К примеру, у нас есть дробь 28/77, что очень близко к 28/84 = 1/3, но поскольку мы увеличили знаменатель, то изначальное число будет несколько больше, то есть чуть больше, чем 0,33.
11. Трюк с угадыванием цифры
Можно немного поиграть в Дэвида Блэйна и удивить друзей интересным, но очень простым математическим трюком.

1. Попросите друга загадать любое целое число.
2. Пусть он умножит его на 2.
3. Затем прибавит к получившемуся числу 9.
4. Теперь пусть отнимет 3 от получившегося числа.
5. А теперь пусть разделит получившееся число пополам (оно в любом случае разделится без остатка).
6. Наконец, попросите его вычесть из получившегося числа то число, которое он загадал в начале.

Ответ всегда будет 3.
Да, очень тупо, но часто эффект превосходит все ожидания.
Бонус
И, конечно же, мы не могли не вставить в этот пост ту самую картинку с очень крутым способом умножения.

http://mtdata.ru/u9/photoE758/204178...pg#20417858188
http://www.softmixer.com/2014/09/blog-post_30.html

Если вы сложите лист бумаги 103 раза, вы получите...

Если вы сложите лист бумаги 103 раза, вы получите...

стопку бумаги, которая больше нашей Вселенной!!!
Миф: Никакой лист бумаги нельзя сложить пополам более 8 раз. (На самом деле текущий рекорд уже составляет 12 раз, он принадлежит Бритни Гэлливен). Реальность: Если у вас будет достаточно большой лист бумаги – и достаточно энергии для его складывания – вы можете сложить его сколько угодно раз. Однако тут есть одна проблема:

• Если вы сложите его 103 раза, толщина стопки бумаги превысит размеры известной нам вселенной – 93 миллиарда световых лет. Серьёзно.
  http://mtdata.ru/u28/photo1037/20750...pg#20750703592
  
  
• Но как лист толщиной в одну десятую миллиметра может стать больше вселенной?
  Ответ прост: Экспоненциальный рост. Толщина среднего листа бумаги составляет 1/10 миллиметра. Если вы идеально сложите его пополам, его толщина удвоится. Но вот затем вещи становятся по-настоящему интересными.
  Третье складывание даст вам толщину человеческого ногтя.
  Семь складываний – и вы получите толщину блокнота в 128 страниц.
  10 – и толщина бумаги составит примерно ширину ладони.
  23 – и вы получите стопку бумаги высотой в километр.
  30 складываний выведут вас в космос. В этот момент ваш листок будет иметь высоту в 100 километров.
  Продолжайте складывать. 42 складывания доведут вас до Луны. 51 – и вы окажетесь на Солнце.
  Теперь быстро прокрутите до 81-го складывания и получите стопку бумаги толщиной в 127.786 световых лет – это практически равно диаметру Туманности Андромеды (который составляет примерно 141.000 световых лет).
  90 складываний дадут 130.8 миллионов световых лет – это больше чем Суперкластер Девы, который имеет диаметр примерно 110 миллионов лет. Суперкластер Девы содержит в себе локальную галактическую группу, в которую входят Туманность Андромеды, наш собственный Млечный Путь, и около сотни других галактик.
  И наконец, на 103 складывании вы выйдете за пределы наблюдаемой Вселенной, диаметр которой по приблизительным подсчётам составляет 93 миллиарда световых лет.
  Математика удивительна, друзья. Так же, как и сама наша Вселенная.
  
• Видео для "спикающих" и тех, кому было лень читать :)
  

http://www.youtube.com/watch?v=AAwabyyqWK0




Читать подробнее →

Умножение в уме


Читать подробнее →

Занимательная геометрия


Читать подробнее →

Почему цифры такие, какими мы их видим


Читать подробнее →

Почему нельзя делить на ноль?

«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности, это просто сокращенная форма записи уравнения 4 • x = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 — это сокращение от 0 • x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает, и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 • x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 • 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 • 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 • x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас, в первую очередь, будут учить именно этому.

10 трюков, упрощающих математические операции

http://lifehacker.ru/wp-content/uplo...2-1024x562.jpg

Недавно, прочитав книгу «Магия чисел», я почерпнул огромное количество информации. В книге рассказывается о десятках трюков, которые упрощают привычные математические операции. Оказалось, что умножение и деление в столбик — это прошлый век, и непонятно, почему этому до сих пор учат в школах.
Я выбрал 10 самых интересных и полезных трюков и хочу поделиться ими с вами.
Умножение «3 на 1» в уме

Умножение трёхзначных чисел на однозначные — это очень простая операция. Всё, что нужно сделать, — это разбить большую задачу на несколько маленьких.
Пример: 320 × 7

1. Разбиваем число 320 на два более простых числа: 300 и 20.
2. Умножаем 300 на 7 и 20 на 7 по отдельности (2 100 и 140).
3. Складываем получившиеся числа (2 240).

Возведение в квадрат двузначных чисел

Возводить в квадрат двузначные числа не намного сложнее. Нужно разбить число на два и получить приближенный ответ.
Пример: 41^2

1. Вычтем 1 из 41, чтобы получить 40, и добавим 1 к 41, чтобы получить 42.
2. Умножаем два получившихся числа, воспользовавшись предыдущим советом (40 × 42 = 1 680).
3. Прибавляем квадрат числа, на величину которого мы уменьшали и увеличивали 41 (1 680 + 1^2 = 1 681).

Ключевое правило здесь — превратить искомое число в пару других чисел, которые перемножить гораздо проще. К примеру, для числа 41 это числа 42 и 40, для числа 77 — 84 и 70. То есть мы вычитаем и прибавляем одно и то же число.
Мгновенное возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

С квадратами чисел, оканчивающихся на 5, вообще не нужно напрягаться. Всё, что нужно сделать, — это умножить первую цифру на число, которое на единицу больше, и добавить в конец числа 25.
Пример: 75^2

1. Умножаем 7 на 8 и получаем 56.
2. Добавляем к числу 25 и получаем 5 625.

Деление на однозначное число

Деление в уме — это достаточно полезный навык. Задумайтесь о том, как часто мы делим числа каждый день. К примеру, счёт в ресторане.
Пример: 675 : 8

1. Найдём приближенные ответы, умножив 8 на удобные числа, которые дают крайние результаты (8 × 80 = 640, 8 × 90 = 720). Наш ответ — 80 с хвостиком.
2. Вычтем 640 из 675. Получив число 35, нужно разделить его на 8 и получить 4 с остатком 3.
3. Наш финальный ответ — 84,3.

Мы получаем не максимально точный ответ (правильный ответ — 84,375), но согласитесь, что даже такого ответа будет более чем достаточно.
Простое получение 15%

Чтобы быстро узнать 15% от любого числа, нужно сначала посчитать 10% от него (перенеся запятую на один знак влево), затем поделить получившееся число на 2 и прибавить его к 10%.
Пример: 15% от 650

1. Находим 10% — 65.
2. Находим половину от 65 — это 32,5.
3. Прибавляем 32,5 к 65 и получаем 97,5.

Банальный трюк

Пожалуй, все мы натыкались на такой трюк:

Задумайте любое число. Умножьте его на 2. Прибавьте 12. Разделите сумму на 2. Вычтите из неё исходное число.

Вы получили 6, верно? Что бы вы ни загадали, вы всё равно получите 6. И вот почему:

1. 2x (удвоить число).
2. 2x + 12 (прибавить 12).
3. (2x + 12) : 2 = x + 6 (разделить на 2).
4. x + 6 − x (вычесть исходное число).

Этот трюк построен на элементарных правилах алгебры. Поэтому, если вы когда-нибудь услышите, что кто-то его загадывает, натяните свою самую надменную усмешку, сделайте презрительный взгляд и расскажите всем разгадку. https://s.w.org/images/core/emoji/72x72/1f642.png
Магия числа 1 089

Этот трюк существует не одно столетие.

Запишите любое трёхзначное число, цифры которого идут в порядке уменьшения (к примеру, 765 или 974). Теперь запишите его в обратном порядке и вычтите его из исходного числа. К полученному ответу добавьте его же, только в обратном порядке.

Какое бы число вы ни выбрали, в результате получите 1 089.
Быстрые кубические корни

Для того чтобы быстро считать кубический корень из любого числа, понадобится запомнить кубы чисел от 1 до 10:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 000 Как только вы запомните эти значения, находить кубический корень из любого числа будет элементарно просто.
Пример: кубический корень из 19 683

1. Берём величину тысяч (19) и смотрим, между какими числами она находится (8 и 27). Соответственно, первой цифрой в ответе будет 2, а ответ лежит в диапазоне 20+.
2. Каждая цифра от 0 до 9 появляется в таблице по одному разу в виде последней цифры куба.
3. Так как последняя цифра в задаче — 3 (19 683), это соответствует 343 = 7^3. Следовательно, последняя цифра ответа — 7.
4. Ответ — 27.

Примечание: трюк работает только тогда, когда исходное число является кубом целого числа.
Правило 70

Чтобы найти число лет, необходимых для удвоения ваших денег, нужно разделить число 70 на годовую процентную ставку.
Пример: число лет, необходимое для удвоения денег с годовой процентной ставкой 20%.
70 : 20 = 3,5 года
Правило 110

Чтобы найти число лет, необходимых для утроения денег, нужно разделить число 110 на годовую процентную ставку.
Пример: число лет, необходимое для утроения денег с годовой процентной ставкой 12%.
110 : 12 = 9 лет
Математика — волшебная наука. Я даже немного смущён тем, что такие простые трюки смогли меня удивить, и даже не представляю, сколько ещё математических фокусов можно узнать.
Источник

5 старых добрых математических фокусов

Фокусы - это всегда хорошо. Особенно, математические. Они могут не только развлечь компанию, но и создать у зрителей впечатление, что они столкнулись, с самим Перельманом или Эйнтштейном.

День Рождения
Предположим, Вам вдруг понадобилось поразить собеседника (цу) своими комбинаторными способностями, а испещренную расчетами доску Вы оставили дома. Есть способ - угадайте день рождения человека без калькулятора и заглядывания на его страницу в социальной сети.
Предложите собеседнику (це) умножить дату дня рождения на три. После чего попросите поделить полученное число на девять. Не всякое число делится на девять без остатка, поэтому, скорее всего, полученное число будет состоять из частного и остатка. Донесите эту простую, но нужную сентенцию до собеседника (цы). Пусть он (она) умножит частное на три, а остаток на три разделит. После чего просто сложит полученные числа. Всё. Вы можете назвать число.
Для наглядности. Предположим, Вы родились 8 числа.
1) 8*3=24
2) 24:9=2 (6)
3) 2*3=6
4) 6:3=2
5) 6+2= 8

Сколько лет?
Этот математический фокус лучше показывать мужчинам. Возраст - дело деликатное. Итак, предложите товарищу умножить его возраст на пять. Пусть к полученной сумме он прибавит восемь, а результат умножит на два. Из этого числа нужно вычесть шесть, а полученную сумму умножить на 10. Из результата Вы вычитаете 100 и на 100 же делите. Перед Вами - возраст собеседника.
Для наглядности. Предположим, Вам 20 лет.
1) 20*5=100
2) 100+8+108
3) 108*2=216
4) 216-6=210
5) 210*10=2100
6) 2100-100=2000
7) 2000:100=20

Двузначное число
Отгадывание чисел интересно тем, что человек, которому Вы предлагаете поучаствовать в математическом аттракционе, будет стараться загадать число "посложнее", хотя математика таких понятий не знает. Есть алгоритм - он Вам и поможет в "магии".
Пусть Ваш товарищ загадает любое двузначное число. Потом разделит его на три, на пять и на семь, а остатки от каждого деления назовет Вам. Вы с легкостью отгадаете число. Как? Сейчас объясним.
Остаток деления на три умножаете на семьдесят, остаток деления на пять умножаете на двадцать один, а остаток деления на семь умножаете на пятнадцать. Полученные числа нужно сложить и поделить на 105. Всё. Полученный при делении остаток - возраст.
Для наглядности. Предположим, задуманное число 25.
1) 25:3=8 (1)
2) 25:5=5 (0)
3) 25:7=3 (4)
4) 1*70=70
5) 0*21=0
6) 4*15=60
7) 60+70=130
8) 130:105=1(25)

Фокус со сложением многозначных чисел
Сложение чисел - одна из простейших операций, особенно, если числа однозначные. Но когда нужно складывать многозначные числа - дело усложняется. Только не для Вас, ведь Вы знаете математическую "магию".
Итак, попросите того, с кем Вы решили посоревноваться в скорости счета, написать несколько чисел с одинаковым количеством знаков. Чем больше - тем лучше. Потом припишите к этому длинному ряду чисел свои. Затем предложите сложить все числа на скорость. Чтобы победить в этом соревновании - нужно знать секрет.
Вот он: написанные вами числа должны состоять из таких цифр, чтобы каждая из них дополняла цифры в числах вашего оппонента до девяти. Если количество написанных чисел x, а количество цифр каждого числа — y, то искомую сумму находим по формуле x*(10y - 1). Если одно из чисел состоит из одних девяток, то дополнительного числа к нему приписывать не надо.
Для наглядности.
2545, 5674, 6784, 7640 (7454, 4325, 3215, 2359)
4*(104-1)=39996

Опять пять!
Наконец, пятый фокус. Его суть - как раз в порядковом номере.
Предложите собеседнику загадать любое число, хоть семизначное (ему же сложнее будет, вам - без разницы). После этого нужно прибавить к этому числу следующее по порядку число, а к нему прибавить девять. Далее - пусть разделит число на два и отнимет загаданное число. То число, которое получится, вы легко угадаете. Это число будет пять.
Для наглядности. Пусть загаданное число будет 118.
1) 118+119=237
2) 237+9=246
3) 246:2=123
4) 123-118=5

Числа π и e

Все знают геометрический смысл числа π — это длина окружности с единичным диаметром:
http://ilyabirman.ru/meanwhile/pictu...-explained.png


А вот смысл другой важной константы, e, имеет свойство быстро забываться. То есть, не знаю, как вам, а мне каждый раз стоит усилий вспомнить, чем же так замечательно это число, равное 2,7182818284590... (значение я, однако, по памяти записал). Поэтому я решил написать заметку, чтобы больше из памяти не вылетало.
Число e по определению — предел функции y = (1 + 1 / x)x при x → ∞:
x y
1 (1 + 1 / 1)1 = 2 2 (1 + 1 / 2)2 = 2,25 3 (1 + 1 / 3)3 = 2,3703703702... 10 (1 + 1 / 10)10 = 2,5937424601... 100 (1 + 1 / 100)100 = 2,7048138294... 1000 (1 + 1 / 1000)1000 = 2,7169239322... ∞ lim× → ∞ = 2,7182818284590...
Это определение, к сожалению, не наглядно. Непонятно, чем замечателен этот предел (несмотря на то, что он называется «вторым замечательным»). Подумаешь, взяли какую-то неуклюжую функцию, посчитали предел. У другой функции другой будет.
Но число e почему-то всплывает в целой куче самых разных ситуаций в математике.
Для меня главный смысл числа e раскрывается в поведении другой, куда более интересной функции, y = kx. Эта функция обладает уникальным свойством при k = e, которое можно показать графически так:
http://ilyabirman.ru/meanwhile/pictures/e-explained.png


В точке 0 функция принимает значение e0 = 1. Если провести касательную в точке x = 0, то она пройдёт к оси абсцисс под углом с тангенсом 1 (в жёлтом треугольнике отношение противолежащего катета 1 к прилежащему 1 равно 1). В точке 1 функция принимает значение e1 = e. Если провести касательную в точке x = 1, то она пройдёт под углом с тангенсом e (в зелёном треугольнике отношение противолежащего катета e к прилежащему 1 равно e). В точке 2 значение e2 функции снова совпадает с тангенсом угла наклона касательной к ней. Из-за этого, заодно, сами касательные пересекают ось абсцисс ровно в точках −1, 0, 1, 2 и т. д.
Среди всех функций y = kx (например, 2x, 10x, πx и т. д.), функция ex — единственная обладает такой красотой, что тангенс угла её наклона в каждой её точке совпадает со значением самой функции. Значит по определению значение этой функции в каждой точке совпадает со значением её производной в этой точке: (ex)´ = ex. Почему-то именно число e = 2,7182818284590... нужно возводить в разные степени, чтобы получилась такая картинка.
Именно в этом, на мой вкус, состоит его смысл.
Числа π и e входят в мою любимую формулу — формулу Эйлера, которая связывает 5 самых главных констант — ноль, единицу, мнимую единицу i и, собственно, числа π и е:
eiπ + 1 = 0
Почему число 2,7182818284590... в комплексной степени 3,1415926535...i вдруг равно минус единице? Ответ на этот вопрос выходит за рамки заметки и мог бы составить содержание небольшой книги, которая потребует некоторого начального понимания тригонометрии, пределов и рядов.
Меня всегда поражала красота этой формулы. Возможно, в математике есть и более удивительные факты, но для моего уровня (тройка в физико-математическом лицее и пятёрка за комплексный анализ в универе) это самое главное чудо.

https://content.foto.my.mail.ru/comm...to/i-39690.jpg
https://content.foto.my.mail.ru/comm...to/i-39692.jpg
https://content.foto.my.mail.ru/comm...to/i-39694.jpg
https://content.foto.my.mail.ru/comm...to/i-39693.jpg
https://content.foto.my.mail.ru/comm...to/i-39696.jpg
https://content.foto.my.mail.ru/comm...to/i-39689.jpg
https://content.foto.my.mail.ru/comm...to/i-39695.jpg
https://content.foto.my.mail.ru/comm...to/i-39691.jpg
https://content.foto.my.mail.ru/comm...to/i-39688.jpg

Древнеславянский метод счёта на пальцах.

Всем ребятам, изучающим таблицу умножения на 6, 7, 8, 9 и 10, готовить шпаргалку совсем не обязательно. Об этом уже позаботилась Природа.

Пронумеруйте мысленно пальцы на обеих руках. Мизинец — 6, безымянный — 7, средний — 8, указательный — 9, большой — 10 (на то он и БОЛЬШОЙ, чтобы выражать самое БОЛЬШОЕ число).

Допустим, вы хотите узнать, сколько будет 8 х 7. Соедините вместе средний палец левой руки (8) с безымянным правой (7), как показано на рисунке. А теперь считайте. Два соединённых пальца плюс те, что под ними, указывают на количество десятков в произведении. В данном случае — 5. Число пальцев, оказавшихся над одним из сомкнутых пальцев, умножьте другим сомкнутым пальцем. В нашем случае 2 х 3 = 6. Это — число единиц в искомом произведении. Десятки складываем с единицами, и ответ готов — 56.

Проверьте остальные варианты, и вы убедитесь, что этот старинный русский способ сбоев не даёт.

https://cs7054.vk.me/c636020/v636020...pR-amYdqt4.jpg

Математическая наука и интересные факты о ней

1 час ago Наука 209 Просмотры

В каждой научной дисциплине есть уникальные, удивительные данные. Это может касаться ее истории, развития или людей, связанных с ней. Среди нас найдется множество как почитателей математики, так и ее противников. Наша информация понравится не только «физикам», но и «лирикам»

• Некогда в Англии жил математик арабского происхождения Абрахам де Муавр.Его заинтересовала собственная природная особенность – увеличение продолжительности сна. Он заметил, что время, отведенное для сна, увеличивается на пятнадцать минут. Для него, как математика, стало интересно рассчитать арифметическую прогрессию. Оказалось, что со временем его сон станет занимать 24 часа. Этой датой стало 27 ноября 1754 года – ставшей днем смерти ученого.
• В израильских школах дети вместо знака«+» пишут фигурку, похожую на перевернутую литеру «т». Такая особенность связана с традициями религиозных евреев. Они даже в мелочах пытаются избегать христианских символов, особенно связанных с крестом.
• Для любителя вести математические подсчетынетрудно будет определить подлинность европейских купюр. На них имеется буквы и одиннадцать цифр. Чтобы узнать, не подделка ли перед вами, нужно мысленно заменить букву на порядковый номер, который она занимает в латинском алфавите, затем начать складывать все цифры (вместе с буквенной), пока в конечном результате не получится одна цифра. Если у вас после математических умозаключений вышло «8» — можно быть уверенными, что купюра настоящая.
• Альфред Нобель, составляя список научных дисциплин для своей премии,не включил в него математику. По легенде, он игнорировал эту науку, потому что ему изменила жена с математиком. На самом деле у Нобеля не было жены. Более логичными представляются другие предположения. Во-первых, премия по математике на тот момент уже существовала – объявленная шведским королем. Во-вторых, Нобелевские лауреаты выбираются из тех, кто внес нечто важное, имеющее ценность в повседневности человечества. Математика же – наука чисто теоретическая.http://reired.ru/wp-content/uploads/...olnik-relo.jpg
• «Особо одаренным математикам» известно о треугольнике Рело. Эта фигура образуется на основе пересечения трех окружностей. Участие в процессе треугольника, окружностей не мешает создавать квадратные отверстия сверлом, сделанным, основываясь на треугольнике Рело.
• Один из интересных фактов о школах: детям известно, что в российских школах «0» не является натуральным числом. Однако попав в западное учебное заведение, они удивятся, когда узнают, что у них «0» относится к множеству натуральных чисел.
• В казино рулетка разбита на цифры. Так вот их общая сумма равна… — 666, такой вот любопытный парадокс.
• Несколько неразрешимых математических проблем, над которыми длительное время «мучился» ученый мир, разрешил американский студент по имени Джордж Данциг. Однажды во время учебы в университете он опоздал на лекцию, и увидев записи на доске, принял их за домашнее задание. Уравнения показались ему достаточно сложными – не как обычные задачи. Поломав голову несколько дней, он «справился с его непосильными уравнениями».http://reired.ru/wp-content/uploads/...ja-730x487.jpg
• Как увлечь своего ребенка математикой, нужно узнать у родителей Софьи Ковалевской. О науке математики она узнала в раннем детстве, когда в ее комнате вместо недостающих обоев были наклеены исписанные листы– с текстами лекций Остроградского. В них содержалось описание сущности дифференциального и интегрального исчислений.
• О числе π слышали многие, но конкретно мало кто имеет счастье сталкиваться с его значением. В одном из американских штатов в конце 19 века чуть было не узаконили значение числа Pi, одарив его значением 3,2. Остановить выпуск билля удалось путем вмешательства профессуры местного университета.

Источник

https://vk.com/doc35110420_451812639...module=profile

четырехмерный куб

9 математических трюков, которым вас не научат в школе

Людей можно поделить на две группы: тех, кто любит и понимает математику, и тех, для кого математика равна непонятным иероглифам. Но, оказывается существует огромное количество трюков и хитростей, которым нас не обучали в школе, благодаря которым математические формулы и задачи решались бы намного легче и с удовольствием.
1.
http://creeker.ru/wp-content/plugins...t/facebook.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...lt/twitter.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...oklassniki.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...default/vk.pnghttp://creeker.ru/wp-content/uploads...1trjuk-1-1.jpg
2.
http://creeker.ru/wp-content/plugins...t/facebook.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...lt/twitter.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...oklassniki.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...default/vk.pnghttp://creeker.ru/wp-content/uploads...1trjuk-2-1.jpg
3.
http://creeker.ru/wp-content/plugins...t/facebook.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...lt/twitter.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...oklassniki.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...default/vk.pnghttp://creeker.ru/wp-content/uploads...1trjuk-3-1.jpg
4.
http://creeker.ru/wp-content/plugins...t/facebook.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...lt/twitter.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...oklassniki.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...default/vk.pnghttp://creeker.ru/wp-content/uploads...1trjuk-4-1.jpg
5.
http://creeker.ru/wp-content/plugins...t/facebook.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...lt/twitter.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...oklassniki.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...default/vk.pnghttp://creeker.ru/wp-content/uploads...1trjuk-5-1.jpg
6.
http://creeker.ru/wp-content/plugins...t/facebook.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...lt/twitter.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...oklassniki.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...default/vk.pnghttp://creeker.ru/wp-content/uploads...1trjuk-6-1.jpg
7.
http://creeker.ru/wp-content/plugins...t/facebook.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...lt/twitter.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...oklassniki.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...default/vk.pnghttp://creeker.ru/wp-content/uploads...1trjuk-7-1.jpg
8.
http://creeker.ru/wp-content/plugins...t/facebook.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...lt/twitter.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...oklassniki.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...default/vk.pnghttp://creeker.ru/wp-content/uploads...1trjuk-8-1.jpg
9.
http://creeker.ru/wp-content/plugins...t/facebook.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...lt/twitter.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...oklassniki.pnghttp://creeker.ru/wp-content/plugins...default/vk.pnghttp://creeker.ru/wp-content/uploads...1trjuk-9-1.jpg

МЕТОДЫ НАШИХ ПРЕДКОВ.
Древнеславянский метод счёта на пальцах.

Всем ребятам, изучающим таблицу умножения на 6, 7, 8, 9 и 10, готовить шпаргалку совсем не обязательно. Об этом уже позаботилась Природа.
Пронумеруйте мысленно пальцы на обеих руках. Мизинец - 6, безымянный - 7, средний - 8, указательный - 9, большой - 10 (на то он и БОЛЬШОЙ, чтобы выражать самое БОЛЬШОЕ число).
Допустим, вы хотите узнать, сколько будет 8 х 7. Соедините вместе средний палец левой руки (8) с безымянным правой (7), как показано на рисунке. А теперь считайте. Два соединённых пальца плюс те, что под ними, указывают на количество десятков в произведении. В данном случае - 5. Число пальцев, оказавшихся над одним из сомкнутых пальцев, умножьте другим сомкнутым пальцем. В нашем случае 2 х 3 = 6. Это - число единиц в искомом произведении. Десятки складываем с единицами, и ответ готов - 56.
Проверьте остальные варианты, и вы убедитесь, что этот старинный русский способ сбоев не даёт.
https://pp.userapi.com/c543107/v5431...Sb_6mvvUUw.jpg

https://www.youtube.com/watch?v=z5-EEkgnvAY


https://www.youtube.com/watch?v=vB73Ynza-0o
https://www.youtube.com/watch?v=A2r8GZve8wA

https://www.youtube.com/watch?v=TyOru5f_Ql8
https://www.youtube.com/watch?v=cmrFpokGS2s
https://www.youtube.com/watch?v=-56qGNDh6_k
https://www.youtube.com/watch?v=KjEoh2KUZyU

Числа, которые изменили мир. Число Пи

В прошлом выпуске я рассказал о числе Эйлера - одно из важнейших чисел в математике. Но то число, о котором сегодня пойдет речь, обладает большой историей и огромной значимостью в нашем мире.
https://avatars.mds.yandex.net/get-z...ebfa/scale_600

Немного истории

Число Пи начинает свою историю с самых древних времен. Еще в третьем тысячелетии до нашей эры в древней Греции, Египте, Вавилоне люди занимающиеся геометрией обнаружили, что длина веревки, обернутой вокруг колеса, примерно в три раза больше диаметра этого колеса. Причем такая пропорция соблюдалась для любых окружностей. Уже тогда люди осознавали важность этой величины, ведь ее можно было с большой пользой использовать для инженерных расчетов. С тех времен люди начали заниматься поиском точного значения отношения длины окружности к ее диаметру.
https://avatars.mds.yandex.net/get-z...d93d/scale_600

Первое упоминание об этой цифре, отличной от 3-х, встречается еще в 1900 году до нашей эры. На глиняной табличке из Суз было указано значение в 25/8. Но все эти значения были скорее эмпирическими, что не могло дать хорошей точности. Первым математическим методом, был метод предложенный Архимедом. Он предлагал давать верхнюю и нижнюю оценку этому числу используя вписанные и описанные многоугольники.
https://avatars.mds.yandex.net/get-z...57d6/scale_600


Это так называемый метод исчерпывания, он позволял упростить задачу работая не с окружностью а с многогранниками. Архимед смог получить двустороннюю оценку этого числа:
https://avatars.mds.yandex.net/get-z...0abc122b5/orig

Полученной таким образом оценки для пи было вполне достаточно, чтобы его можно было использовать для инженерии.
Это Математический анализ

Следующий этап в нахождении числа пи начался в эру развития математического анализа, а именно в отыскании сумм бесконечных рядов. Одним из первых таких рядов был ряд Мадхавы — Лейбница:

https://avatars.mds.yandex.net/get-z...bda6/scale_600

Ряд и скорость его сходимости Это сходящийся ряд и сходится он к числу пи, но весьма медленно. Поэтому возникла необходимость в отыскании новых рядов, которые могли бы дать лучшие показатели сходимости.
Было найдено много различных формул сумм рядов, которые предлагали более хорошие показатели сходимости. Но у произведения бесконечного ряда этот показатель еще лучше. Так известным результатом стала формула Валлиса:
https://avatars.mds.yandex.net/get-z...6026/scale_600

При изучении рядов, математики обнаружили, что некоторые функции тоже могут быть разложены в ряд (ряд Тейлора). По этому возникло предположение, что число пи можно представить в тождественной форме, через различные функции.
https://avatars.mds.yandex.net/get-z...a1d9/scale_600

Одна из форм тождественного представления. Сейчас благодаря огромным вычислительным способностям современных компьютеров, число пи известно с точностью до 10 триллионов знаков после запятой.
Вообще, это отношение получило свое название далеко не сразу. Впервые название пи ему было дано в 1706 британским математиком Джонсом Уильямом. Ну а основательно греческая буква пи закрепилась за этим отношением, когда знакомый нам по предыдущей статье Леонард Эйлер использовал его в своих трудах.
Почему число пи так важно?

Я думаю, что говорить о важности пи в прикладных делах смысла нету. Ведь и так все прекрасно понимают, какую роль оно играет в инженерных расчетах.
С помощью этого числа определяют углы на окружности. Мы знаем, что пол оборота - это пи радиан, а полный - 2 пи. Но почем так? Для начала нам нужно понять, что такое радиан. За 1 радиан был принят угол, который образуется, если вдоль окружности отложить дугу, длиной равной радиусу этой окружности. Ну и из определения числа пи следует, что во всю окружность может уместиться только 2 пи радиусов этой окружности. Это более естественный способ определения углов, чем разбиение его на градусы.
https://avatars.mds.yandex.net/get-z...239b/scale_600


Число пи наблюдается во многих разделах физики. Начиная от теории колебаний, так как с помощью него можно легко описывать тригонометрические функции. Заканчивая квантовой механикой, где число пи встречается в приведенной постоянной Планка. Связанно это с тем, что вещество на квантовом уровне ведет себя как волна.
И так далее, число пи вылазит повсюду в физике.
https://avatars.mds.yandex.net/get-z...0aaa1ebf5/orig

Так же в математике. Число пи является неотъемлемой частью комплексного анализа, появляется в преобразовании Фурье . Продолжать этот список можно очень долго. Я уверен, что назвал лишь малую часть из того, где мы можем встретить это число.
https://avatars.mds.yandex.net/get-z...0aa3da8ae/orig

Нумерологические закономерности натурального ряда.


https://zen.yandex.ru/h2UY3G815/c0a9...uvLCNaOQoV#DSD

Дорогие друзья! Я продолжаю публикацию работ своего друга, математика Франца Германа. Его работы раскрывают внутренние смыслы разных математических проблем. Заинтересованные читатели могут найти его работы на личном сайте Автора. Итак.
Нумерологические закономерности натурального ряда.
Что такое нумерология? Может быть это наука? Может быть это какое-то учение? Не будем ломать себе голову и заглянем в интернет. Интернет нам сообщает, что «Нумероло́гия — система эзотерических верований о мистических связях чисел с физическими объектами, процессами и жизнью людей и их сознанием, которые взаимосвязаны и влияют друг на друга». Как-то длинно и не совсем понятно. Я всегда думал, что нумерология – это просто игра с числами или игра в числа. И эзотерика здесь не причём. Хотя, что такое эзотерика я, по большому счёту, тоже не знаю.
Мир чисел окружает нас со всех сторон. Не случайно В. И. Вернадский говорил, что «... природа в сущности, построена на мере и на числе».
Посмотрим какому объекту или явлению нашего мира можно сопоставить число единица. Что может быть такого уникального рядом с нами. Так сразу и не сообразишь. Например, фотон. Это единственная стабильная частица, которая не имеет античастицы. Наверное уникальность можно увидеть и в ДНК. Все живые организмы используют код ДНК. ДНК по большому счёту уникален. Наверное можно считать уникальной проективную геометрию (ПГ). Все остальные геометрии являются частными случаями ПГ. В ПГ также уникален единственный её инвариан – сложное отношение. Думаю, вы сможете найти ещё не мало уникальностей в нашей жизни, что можно было бы сопоставить с единицей.
Число 2 вообще изобилует примерами уже в силу того, что существует в природе и в науке известный принцип двойственности. Двойственность присуща пространству-времени (П-В). Никто никогда не видел и не слышал о пространстве или о времени по отдельности друг от друга. Материи присуща двойственность: вещество-поле. Элементарные частицы двойственны: частица-волна. А в моей любимой математике каждому целому положительному числу соответствует число отрицательное. Кстати, ноль наверное надо отнести к уникальным объектам типа единственности.
Пример двойственности из проективной геометрии: точка-прямая на проективной плоскости. Оставляю поиск примеров двойственности читателю.
Особо хочу отметить примеры фундаментальных четвёрок. Наше П-В имеет четыре координаты (три пространственных и одно временное). В мире существует только четыре взаимодействия (слабое, сильное, электромагнитное и гравитационное). Четыре эпохи ядерного грения в звёздах [3]. Четыре вида взаимодействия нейтронов с ядрами [2]. Четыре квантовых числа. Четыре стабильных частицы (протон, электрон, фотон, нейтрино, а все античастицы в нашем мире нестабильны). Четыре белка ДНК. Напомню, что мы рассматриваем только фундаментальные четвёрки.
Заглянем в математику. Простейший полиэдр имеет четыре грани и четыре вершины. Натуральный ряд чисел распадается на четыре непересекающихся множества (три содержат нечётные числа и одно чётные). Существует только четыре простейших замкнутых двумерных многообразия (сфера, тор, бутылка Клейна и проективная плоскость. Многообразие – это обобщение понятия поверхность). Простейшая квадратичная форма a² + b² = c² имеет четыре геометрических представления (одно знакомо нам со школьной скамьи, как теорема Пифагора). И т. д..
Кстати о Пифагоре. Пифагорейцы не только обожествляли числа, но и играли с числами [1]. Каждому натуральному числу N пифагорейцы ставили в соответствие число dN. Производное число dN – это сумма делителей числа N. Каждый делитель должен быть меньше самого числа N. Например: если N=10, то dN=8=1+2+5.
Пифагорейцы не знали, что такое функция и что такое координатная система, а мы попробуем рассмотреть натуральный ряд в координатах (N, dN). По горизонтальной оси будем откладывать числа натурального ряда, а по вертикальной – соответствующие им производные числа.
Для начала рассмотрим первые 20 чисел.
Получаем такую картинку:
https://zen.yandex.ru/h2UY3G815/c0a9...SiCgN-ITMH#DSD

Ничего особенного в ней нет – числовой хаос. Но у пифагорейцев не было компьютеров и они не умели программировать. Возьмём первые 30000 чисел натурального ряда и повторим наше исследование. Теперь уже с помощью компьютера и программирования.
И что же видим? Числовую Вселенную натурального ряда рассекают выделенные направления.
https://zen.yandex.ru/h2UY3G815/c0a9...uvLCNaOQoV#DSD

А если бы мы взяли миллион чисел?
Так надо ли заниматься нумерологией и играть с числами?
Ф. Герман
PS. От себя добавлю, что такие «выделенные» направления натурального числового ряда, имеющие форму гиперболических (сходящихся) мнимых проективных прямых, показывают нам, что пространство Лобачевского, равно как и Риманово пространство (как его антипод) «присутствуют» в каждой точке Евклидовой прямой ряда. Только они, как говорят математики,- «компактифицированы», и проявляются при «расслоении» евклидовой прямой.