Что больше бесконечности?
“Бесконечность — не предел!” — говорил Базз Лайтер из “Истории игрушек”. Задумывались ли вы когда-нибудь над этой фразой? Возможно, нет. Так что давайте разберемся в понятии бесконечности.
(Image: © Shutterstock)Бесконечность — очень непростое понятие. Оно нам непривычно и в обычной жизни не встречается. Да, мы зачастую “обзываем” бесконечностью большие значения, но на самом деле все они конечны. Мы говорим, что Вселенная бесконечна, но действительно ли она продолжается, продолжается и никогда не заканчивается? У числа пи бесконечное количество цифр после запятой — но действительно ли им нет конца? Что, если Базз был прав? Что, если есть нечто большее?
О бесконечностях лучше всего говорить с математиками. Генри Тоуснер (Henry Towsner), математик из Пенсильванского университета в Филадельфии, уверен, что “большинство людей интуитивно понимают, что такое [бесконечность], но чем больше они о ней думают, тем сильнее запутываются.”
У математиков такой проблемы нет, потому что бесконечность редко используется сама по себе — чаще рассматриваются ее конкретные аспекты.
Например, математики сравнивают их друг с другом, ведь бесконечности бывают разные. Это доказал в конце XIX века немецкий математик Георг Кантор.
Кантор знал, что натуральные числа — те, что появляются при счете: 1, 2, 8, 39 и 15678 — идут бесконечно, поэтому он назвал их
“счетным (бесконечным) множеством”. Группы чисел из счетных множеств — например, все четные 2, 4, 6 и так далее — тоже являются счетными (бесконечными) множествами. И пусть их в два раза меньше, чем всех натуральных чисел, это тот же тип бесконечности.
Другими словами, вы можете каждому четному числу сопоставить натуральное число, и таких пар будет бесконечно много — то есть это бесконечности одинаковой “длины”.
Но самое главное, что Кантор догадался о существовании
несчетных множеств. Все вещественные числа — натуральные, дроби и иррациональные вроде числа пи — более “бесконечны”, чем просто натуральные. То есть если вы попытаетесь сопоставить вещественные с натуральными, то вещественных будет гораздо больше, чем натуральных. В конце жизни Кантор, кстати, сошел с ума, но вряд ли причиной стала его работа с бесконечностями.
Так как считать?
Возвращаемся к фразе Базза Лайтера. “Математика заставляет задаться вопросом “Что это означает?” — говорит Тоуснер. — “Как можно продолжать счет за бесконечностью?”
Для этого, говорит Тоуснер, нужно поговорить о порядковых числах (ординалах). В отличие от количественных числительных (кардинальных чисел), которые говорят о количестве объектов в наборе, порядковые определяются по их расположению в наборе. Кстати, их тоже ввел Кантор.
В порядковых числах есть понятие
омеги — ω. Это число, которое идет после всех натуральных чисел. Кантор назвал его наименьшим бесконечным ординалом.
Вот только ко всем числам всегда можно прибавить другое число и получить новое. То есть допустимы ω+1, ω+2 и даже ω+ω. (Так вы в итоге уткнетесь в число ω1 — наименьший несчетный ординал.)
По идее, это и есть счет больше бесконечности.
Очень непросто все это осознать на интуитивном уровне. Именно поэтому математики так любят строгие и точные определения. Без них бы они просто запутались.
Как же математики так просто оперируют такими понятиями? “Во многом это просто привычка. Ты нарабатываешь новые интуиции, и когда интуиция сдает, ты говоришь “Вот пошаговое твердое доказательство”. Если результат удивляет, ты всегда можешь перепроверить, и со временем ты привыкаешь к новой идее, нарабатываешь эту новую интуицию,” — говорит Тоуснер.
Кстати, астрофизики с их невообразимо гигантскими объектами и расстояниями тоже говорят, что это просто привычка. (
12 крупнейших объектов во Вселенной)