ПиФаГор и Теорема ПиФаГора

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

http://th-pif.narod.ru/index.htm

Биография Пифагора

Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора неизвестно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности.
Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера.
Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.
В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис - самосскую колонию, где было у кого найти кров и пищу. Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но влекомый жаждой к знаниям, Пифагор преодолел их все, хотя по данным раскопок египетские жрецы не многому могли его научить, т.к. в то время египетская геометрия была чисто прикладной наукой (удовлетворявшей потребность того времени в счете и в измерении земельных участков). Поэтому, научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся на родину в Элладу. Однако, проделав часть пути, Пифагор решается на сухопутное путешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь Вавилона, направлявшийся домой.
Не стоит драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне, т.к. великий властитель Кир был терпим ко всем пленникам. Вавилонская математика была, бесспорно, более развитой (примером этому может служить позиционная система исчисления), чем египетская, и Пифагору было чему поучится. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину. А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. Конечно же, Пифагора не устраивала жизнь придворного полу раба, и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена ("пифагорейцы"), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Надо сказать, что некоторые из проповедуемых Пифагором принципов достойны подражания и сейчас.
...Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

История теоремы
Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:
"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".
В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство
3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).
По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:
"Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Учение Пифагора
В "Перечне математиков", приписываемом Евдему, о Пифагоре сказано так:
"Как передают, Пифагор превратил занятие этой отраслью знания (геометрией) в настоящую науку, рассматривая ее основы с высшей точки зрения и исследуя ее теории менее материальным и более умственным образом". Пифагору приписываются создание основ планиметрии, правил построения некоторых правильных многоугольников и многогранников, введение широкого и обязательного использования доказательств в геометрии, создание учения о подобии, доказательство теоремы о сторонах прямоугольного треугольника.
Пифагор-математик был и одним из величайших философов, учение которого, к сожалению, не сохранилось до наших дней. Для всех - и высших, и низших - у Пифагора было мудрое изречение:
"Следует избегать всеми средствами, отсекая огнем и мечом, и всем, чем только можно, от тела - болезнь, от души - невежество, от желудка - излишнего, от города - смуту, от дома - раздоры, и от всего вместе - неумеренность." Пифагор основал философскую школу - пифагореизм, в которой большое значение придается музыке и числам. Число понимается как термин, приложимый ко всем цифрам и их комбинациям. Пифагор определял число как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей. Пифагор пытался создать науку всех наук. Все числа он разделил на два вида: четные и нечетные, и выявил свойства чисел каждой группы.

Числа у пифагорейцев выступают основополагающими универсальными объектами, к которым предполагалось свести не только математические построения, но и все многообразие действительности. Физические, эти- ческие, социальные и религиозные понятия получили математическую ок- раску. Науке о числах и других математических объектах отводится ос- новополагающее место в системе мировоззрения, то есть фактически ма- тематика объявляется философией. Как писал Аристотель,
"...у чисел они усматривали, казалось бы, много сходных черт с тем, что существует и происходит, - больше, чем у огня, земли и воды... У них, по-видимому, число принимается за начало и в качестве материи для вещей, и в качестве выражения для их состояний и свойств... Например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-то - душа и ум, другое - удача, и можно сказать - в каждом из остальных случаев точно также. "

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Формулировки теоремы
Приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков. У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):
"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".
Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:
"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".
В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так :
"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".
В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:
"В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".
В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифатор первым дал ее полноценное докзательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет Шамиссо:
Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвопринашенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя ,вслед.

Они не в силах свету помешать ,
А могут лишь закрыв глаза дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Простейшее доказательство
Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два.
Теорема доказана.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Доказательства методом разложения
Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата ,построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж; рассуждение здесь может быть ограничено единственным словом: "Смотри!", как это делалось в сочинениях древних индусских математиков. Следует, однако, заметить, что на самом деле доказательство нельзя считать полным, пока мы не доказали равенства всех соответствующих друг другу частей. Это почти всегда довольно не трудно сделать, однако может (особенно при большом количестве частей) потребовать довольно продолжительной работы.

Доказательство Эпштейна
Начнем с доказательства Эпштейна(рис. 1) ; его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF.
Разложение на треугольники можно сделать и более наглядным, чем на рисунке.

Доказательство Нильсена.
На рисунке вспомогательные линии изменены по предложению Нильсена.

Доказательство Бетхера .
На рисунке дано весьма наглядное разложение Бетхера.



Доказательство Перигаля.
В учебниках нередко встречается разложение указанное на рисунке (так называемое "колесо с лопастями"; это доказательство нашел Перигаль). Через центр O квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.

Доказательство Гутхейля.
Изображенное на рисунке разложение принадлежит Гутхейлю; для него характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу увидеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника.



Доказательство 9 века н.э.
Ранее были представлены только такие доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты,построенные на катетах, с другой, складывались из равных частей. Такие доказательства называются доказательствами при помощи сложения ("аддитивными доказательствами") или, чаще, доказательствами методом разложения. До сих пор мы исходили из обычного расположения квадратов, построенных на соответствующих сторонах треугольника, т. е. вне треугольника. Однако во многих случаях более выгодно другое расположение квадратов.
На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты". Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два различных расположения близких к тому, которое дается на первом рисунке.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Доказательтва методом дополнения
Доказательство первое.
Наряду с доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея таких доказательств заключается в следующем.
От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе. Ведь если в равенствах
В-А=С и В1-А1=С1
часть А равновелика части А1, а часть В равновелика В1, то части С и С1 также равновелики. Поясним этот метод на примере. На рис. к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат,построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов,построенных на катетах.
Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.

Другое доказательство методом вычитания.
Познакомимся с другим доказательством методом вычитания. Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие:

1. треугольники 1, 2, 3, 4;
2. прямоугольник 5;
3. прямоугольник 6 и квадрат 8;
4. прямоугольник 7 и квадрат 9;

Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на кататах. Этими частями будут:

1. прямоугольники 6 и 7;
2. прямоугольник 5;
3. прямоугольник 1(заштрихован);
4. прямоугольник 2(заштрихован);

Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что:

1. прямоугольник 5 равновелик самому себе;
2. четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7;
3. прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);;
4. прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован);

Доказательство закончено.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Другие доказательства
Доказательство Евклида
Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал".
На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.
В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD
РFBC = d + РABC = РABD Но SABD = 1/2 S BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC=1\2S ABFH (BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC, имеем SBJLD=SABFH. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что SJCEL=SACKG. Итак, SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED, что и требовалось доказать. Упрощенное доказательство Евклида
Как в доказательствах методом разложения, так и при доказательстве евклидового типа можно исходить из любого расположения квадратов. Иногда при этом удается достигнуть упрощений.
Пусть квадрат,построенный на одном из катетов (на рисунке это квадрат,построенный на большем катете), расположен с той же стороны катета, что и сам треугольник. Тогда продолжение противоположной катету стороны этого квадрата проходит через вершину квадрата, построенного на гипотенузе. Доказательство в этом случае оказывается совсем простым, т. к. здесь достаточно сравнить площади интересующих нас фигур с площадью одного треугольника(он заштрихован) - площадь этого треугольника равна половине площади квадрата и одновременно половине площади прямоугольника

Доказательство Хоукинсa.
Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать.
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).
SCAA'=b²/2
SCBB'=a²/2
SA'AB'B=(a²+b²)/2
Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому :
SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:
a²+b²=c² Теорема доказана.




Доказательство Вальдхейма.
Это доказательство также имеет вычислительный характер. Можно использовать рисунки для доказательства основанного на вычислении площадей двумя способами.
Для того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.
Sтрапеции=(a+b)²/2
Sтрапеции=a²b²+c²/2
При равнивая правые части получим:
a²+b²=c² Теорема доказана.





Доказательство основанное на теории подобия.
В прямоугольном треугольника АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD; тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику. Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия(по двум углам). В самом деле, сразу видно что, кроме прямого угла, треугольники АВС и ACD имеют общий угол a, треугольники CBD и АВС - общий угол b. То, что малые треугольники также подобны друг другу, следует из того, что каждый из них подобен большому треугольнику. Впрочем, это можно установить и непосредственно.
Доказательство индийского математика Басхары изображено на рисунке. В пояснение к нему он написал только одну строчку: "Смотри!". Ученые считают, что он выражал площадь квадрата ,построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь квадрата (a-b)². Следовательно:
c²=4ab/2+(a-b)²
c=2ab+a²-2ab+b²
c²=a²+b²
Теорема доказана.

Луночки Гиппократа
Для того, чтобы доказать теорему о гиппократовых луночках, докажем следующее предложение: Если на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника построены какие угодно подобные между собой фигуры Fa, Fb, Fc, так, что катеты и гипотенуза являются сходственными отрезками этих фигур, то имеет место равенство: Fa+Fb=Fc.
Для доказательства воспользуемся следующей теоремой из теории подобия: площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
Если через Fa, Fb, Fc обозначить площади подобных многоугольников, построенных на катетах a, b и гипотенузе с прямоугольного треугольника, то согласно вспомогательной теореме можно написать:
Fa/Fb/Fc=a²/b²/c². Эта пропорция означает,что можно найти число k (коэффицент пропорциональности) такое, что
Fa=ka² Fb=kb² Fc=kc².. Умножив обе части равенства на k и принимая во внимание предыдущие равенства, получим:
Fa+Fb=Fc. Если равенство Fa+Fb=Fc имеет место хотя бы для одной тройки подобных между собой многоугольников, построенных на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника АВС так, что АС, ВС и АВ есть сходственные отрезки этих многоугольников, то
ka²+kb²=kc² (где k имеет какое-то определенное значение, зависящее от выбора многоугольников, - нам совершенно не важно, какое именно). Но отсюда вытекает, что
а²+b²=с², а это влечет за собой тот факт,что равенство Fa+Fb=Fc выполняется для любых построенных на сторонах прямоугольного треугольника подобных многоугольников, в частности, и для квадратов.

Познакомимся с одним интересным предложением, которое встречается во многих учебниках геометрии под названием теоремы о Гиппократовых луночках.
Гиппократ Хиосский (вторая половина пятого века до н. э., Афины) занимался квадратурой луночек. Он называл луночкой часть плоскости, ограниченную двумя дугами окружностей. Наше предложение в том виде, как оно будет здесь сформулировано, не встречается у самого Гипократа, который нашел квадратуру только для некоторых луночек. Во всей общности теорему доказал араб Ибн Альхаитам:
"Если на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре описать полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник, то она пройдет через вершину прямого угла." Эту теорему греки приписывали Фалесу Милетскому, но в действительности ее знали еще древние вавилоняне.
Опишем две полуокружности на катетах так, как указано на рисунке, тогда получатся две луночки. Пусть Ка,Кв,Кс- площади полукругов, построенных на катетах и гипотенузе. Согласно теореме, рассмотренной ранее, имеем:
Ка+Кb=Кс. Этот же результат можно получить, умножив обе части равенства
А²+В²=С² на π/8. В самом деле, равенство
(π/8)А+(π/8)В=(π/8)С означает,что площадь полукруга С диаметром с равна сумме площадей двух других полукругов, с диаметрами a и b. Если мы отнимем те же части(на рисунке они не заштрихованы )как от полукруга,построенного на гипотенузе, так и от полукругов, построенных на катетах, то, вследствие только что доказанной теоремы, получим, что сумма площадей луночек равна площади треугольника.

Векторное док-во
Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство:b+c=a
откуда имеем
c = a - b возводя обе части в квадрат, получим
c²=a²+b²-2ab Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда
c²=a²+b² или c²=a²+b² Нами снова доказана теорема Пифагора.
Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н. теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Применение теоремы
Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все примеры использования теоремы - это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой. Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости.
Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом,
d=2a, откуда: d=2a². Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому,как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем
d²=a²+b² Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2. Таким образом имеем
a=h+(a/2), или h=(3/4)a. Отсюда вытекает ???h=1/2 3a. Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией. На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат рабро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина диагонали равна 2а). Отсюда имеем
d=a+(2a), d=3a, d=3a. Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с и получить для диагонали выражение
d = a + b + c. Исследуем пирамиду, например, такую, в основании которой лежит квадрат и высота которой проходит через центр этого квадрата (правильную пирамиду). Пусть сторона квадрата - а, и высота пирамиды - h. Найдем s (длину боковых ребер пирамиды).
Ребра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов - высота h, а другой - половина диагонали квадрата ???(1/2*2a). Вследствие этого имеем:
s=h+(1/2)a. Затем можем вычислить высоту h1 боковых граней.
h1= h+(1/4)a. Считать эти приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка. Если, например, рассматривать нашу четырехугольную пирамиду как крышу башни,
то в первом нашем вопросе речь идет о том, какой длины нужно сделать боковые ребра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши, а вопрос о величине боковой поверхности должен интересовать, например, кровельщика при подсчете стоимости кровельных работ. Заметим, что расчет площади кровли можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: "Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила ??? на перекрываемую площадь."
В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны

1. ширине окна (b) для наружных дуг
2. половине ширины, (b/2) для внутренних дуг

Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг.
Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоватися вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем:
(b/4+p)=( b/4)+( b/4-p) или b/16+ bp/2+p=b/16+b/4-bp+p, откуда bp/2=b/4-bp. Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)p=b/4, p=b/6. У египтян была известна задача о лотосе. "На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну."
В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались исскуственными) и др.
Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.
Неизвестно,как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

http://www.numbernautics.ru/ezjt-matematik/733---

http://www. numbernautics.ru

© ЭлиМароу (Eli Maor)

Проникновенная теорема Пифагора

"Совсем недавно вышла в свет популярная книга (Эли Мароу, «Теорема Пифагора: 4000-летняя история»), где издатели не побоялись напечатать математические формулы имеющие весьма важное и общее символическое значение!

<!--[if !vml]-->

Благодаря автору этой книги, Эли Маору, мы получили новый восхитительный, почти игровой, способ доказательства вечно молодой теоремы Пифагора и его идеи тройственности, которая стара, как само человечество…
v\:* {behavior:url(#default#VML);} o\:* {behavior:url(#default#VML);} w\:* {behavior:url(#default#VML);} .shape {behavior:url(#default#VML);}

––-ХХХ––-

Авторское название: ”Проникновенная теорема Пифагора. Пятнадцать выводов”.

"Дава Собел написал об авторе: "Эли Маор пронеслась сквозь четыре тысячи лет истории и вызвала к жизни, все, что основано на теореме Пифагора, дав тем самым отчетливую картину с позиции человеческого существа.

Эта книга предназначена тем читателям, которые вдохновили, или, которые хотели бы быть вдохновленны теми идеями, которые использовала Эли для того, чтобы рассказать свою историю теоремы Пифагора.
Читатели узнают о развитии математики во времени, но что более важно, они поймут, людей и идеи этого периода, который характеризуется. монументальными усилиями людей. /Дэвид Х. Леви, Национальный Обмен Sky фонда/.
"В книге содержится нечто большее, чем простое описание теоремы Пифагора, большее, чем формула А² + B² = С²;
Новой книге Эли Маор's суждено стать классикой, потому что книга Маор написана с высоким мастерством и острым вниманием к деталям.
Кроме того, книга написана с большим чувством юмора, которое порадует большой круг читателей.
Эли Маор пишет, что теорема Пифагора является, вероятно, теоремой наиболее часто используемой во всех областях математики.
И она подтверждает своё заявление тем, что приглашает своего читателя в увлекательное путешествие, начиная с самых ранних свидетельств (о знании этой теоремы древними в Вавилоне ~ 1800 до н.э.) и заканчивая приложениями теоремы в теории относительности А. Эйнштейна.
Или в доказательстве Уайлса последней теоремы Ферма (в конце двадцатого века).
Читатель, который пройдёт весь этот интересный путь с Маор, сможет убедится в несомненном величии теоремы Пифагора.
Эли Маор является, пожалуй самым первым автором, который пропустил через себя огромное количество книг по математике, истории математики и физике, чтобы собрать для нас уникальные материалы, непосредственно связанные с теоремой Пифагора .
/Роберт Лангер, почетный профессор Университета штата Висконсин, Eau Claire/.

Аннотация к книге Эли Маор

По любым меркам, теорема Пифагора является самым известным явлением во всех сферах математики. С этим согласны все студенты геометрических школ, имеющие математические фобии самого высокого уровня и класса.
Как известно, существует свыше четырехсот доказательств теоремы Пифагора, в том числе то, которое дал 12-летний А. Эйнштейн, молодая слепая девочка, Леонардо да Винчи, и … будущий президент Соединенных Штатов.
В книге, впервые на английском языке, дана, пожалуй, самая полная история знаменитой теоремы.
Часто пишут, что эта теорема была известна до Пифагора, вавилонянам, более чем за тысячу лет до его рождения.
Возможно, это и так, но также возможно и то, что именно Пифагор был первым, кто доказал эту теорему, хотя бы потому, что никто не сомневался в истинности этой теоремы, вплоть до Евклида.
Евклид же увековечил доказательство теоремы Пифагора в виде своего постулата № 47 в книге «Начала элементов». И именно оттуда, вот уже более 3000 лет, данное доказательство доходит до всех поколений студентов. А сама теорема имеет центральное значение для почти всех отраслей науки, как теоретических, так и прикладных.
Весьма показательно, что теорема Пифагора была предложена учёными в качестве послания (и метода коммуникации) с внеземным Разумом. Тогда, когда (и если) мы с ними встретимся.
Сегодня теорема Пифагора усовершенствована и расширена в понимании четырехмерного пространства-времени, благодаря чему она играет буквально ключевую роль в теории относительности Эйнштейна.
В своей книге, Эли Маор заново вызывает к жизни многие из тех идей, которые важны для дальнейшего развития теоремы Пифагора, обеспечивая одновременно увлекательный фон для понимания этого старейшего и, возможно. Нашего самого прочного математического наследия.

-----ХХХ------

А теперь нечто интересное из новой книги.

На Рис.2 (в самом центре) показан знаменитый прямоугольный “египетский” треугольник (например, со сторонами 3, 4 и 5), на катетах и гипотенузе которого построены квадраты с площадями S1, S2, S3.
Описанное построение, как нетрудно понять, является геометрическим отображением знаменитой теоремы Пифагора.
На следующем этапе (дважды!) полученное постороение (геометрическая фигура) усложняется. Крайние точки квадратов соединяются, образуя жёлтые треугольники.
И на их наибольших сторонах снова строят квадраты (см. затонированные одним цветом квадраты).
За 3 идентичных шага выстраивается конечная геометрическая фигура (фрактального типа) для которой совершенно точно выполняется формула теоремы Пифагора о квадратах сторон.
Исходные условия для построений таковы:

<!--[if !vml]-->

Рис. 1

Построенная фигура имеет вид (Рис. 2):
<!--[if !vml]--><!--[endif]-->

Рис. 2

Попробуйте сами доказать справедливость (см. Рис. 3, ниже) 15-ти выводов:

<!--[if !vml]-->

Рис. 3

Источник

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Золотые Стихи Пифагора
Мгновения Феано

Для Пифагора высшей целью человека
Являлась творческая Цельная волна,
Апофеоз игры Творца, Его ума,
Сознанье божеское, знание секрета...

"Золотые стихи" содержат в себе ту часть эзотерического учения Пифагора,
которую он и его последователи признали возможным открыть непосвященным.


Лизий, его ученик, после разгрома чернью пифагорейских общин в Великой
Греции, принес эти стихи с собою в Элладу, где завещал своим единомышленникам
читать их ежедневно утром и вечером. О том, что правило это соблюдалось у
пифагорейцев в течение целого ряда веков, мы знаем от Цицерона, Горация,
Сенеки, Галиена и других древних писателей.

Сохранились они для нас лишь в
комментариях Гиероклеса и в отрывках у классиков и Отцов Церкви.

Сообразно трем степеням посвящения, стихи эти разделялись на три части:
"Приготовление",
"Очищение" и
"Совершенствование".

На Семи Морях - музыкальная страничка -
http://sseas7.narod.ru/pifzol.htm

Стихи актуальны для молодежи любого времени, просты и мудры,
несут в себе основы знания галактической этики и счастливой жизни.





ЗОЛОТЫЕ СТИХИ ПИФАГОРЕЙЦЕВ




ПРОГОТОВЛЕНИЕ



Прежде всего, почитай волю бессмертных богов.
Их старшинство соблюдай в свете Закона веков.

((()))

Верен будь клятве, внимай, демонов остерегайся,
Мать и Отца уважай, добрым быть, честным старайся.





ОЧИЩЕНИЕ




Клятва - закон, сознавай. Лживости, лени беги,
Солнце душою встречай, честь, словно жизнь, береги.

((()))

С доблестным дружбу крепи, Людям стремись помогать.
Мелких обид уходи, незачем зло вспоминать.

((()))

Необходимость где, там есть и возможность всегда.
Внемли ты этим словам, будут успешней года…

((()))

Все это так и запомни. В пище умеренным стань.
Сон ограничь и дополни делом, ворчать перестань.

((()))

Гнев обуздай и желанья. Не совершай ничего
Стыдного, эти деянья след оставляют, клеймо.

((()))

Пусть повторяют в веках: Главный судья – это Совесть!
Тем, кто бессовестен – крах. Правда - вот лучшая доблесть.

((()))

Только запомни, кончина неотвратима для смертных.
Все, что в судьбе, не кручина - опыт и знание верных.

((()))

Смертным по воле богов могут прийти и страданья,
Может быть беден твой кров, это все лишь испытанье.

((()))

Ропот смири на судьбу и утешенья ищи
Там, где взойдет поутру солнышко мудрой тиши.

((()))

Честные люди, пойми, меньше невзгодам подвластны.
Веры слепой не ищи, многие речи - напрасны.

((()))

Часто за правду обман слепо, увы, принимают.
Ты же иди сквозь туман к свету, где Истину знают.

((()))

Не доверяйся тому, кто ненадежен в делах,
Лучше дай время уму, не торопясь на словах.

((()))

Прежде, чем делать, подумай! Глупость выходит тогда,
Коли забавой неумной ты опозоришь себя.

((()))

Делай всегда только то, что не ведет к сокрушенью.
Если не знаешь чего, остерегись совершенья.

((()))

Но изучай все вокруг - жизнь твоя станет прекрасной.
Не оставляй свой недуг без излеченья, неясным.

((()))

Меру во всем соблюдай, и в упражнениях тела.
Роскоши, зла избегай, зависти, дерзкого дела.

((()))

Лишних расходов беги, но и не слишком скупись.
Меру во всем обрети. Думай пред делом, трудись.





СОВЕРШЕНСТВО



Прежде, чем в сон погрузиться, вспомни о каждом поступке,
Что совершил. Не годится делать поблажки минутке.

((()))

Все ты в уме перечти, прежде, чем очи закрыть.
Все обсуди и спроси сам себя, чтоб не забыть.
- Что я не сделал и как там или тут поступил?
Сам я себе ли не враг? Все ли исправил, простил?

((()))

Так ты отыщешь пути для достижения цели.
Клятвы и тайны храни, веру в успех на пределе.

((()))

Так поступай и усвой… все, к чему должен стремиться,
Путь достижения твой… может с божественным слиться.

((()))

Кто четверицу открыл, жизни источник наш вечный,
Тот о тебе не забыл! Ты же трудись, друг сердечный.

((()))

Так за работу берись, чтобы увидеть конец,
Мудрым богам помолись, помня единство сердец.

((()))


Все мирозданье бессмертных в смертных чертах постигай.
Что преходяще - в мгновенных сроках коротких узнай.

((()))

И о единстве Природы, и о сокрытом в веках
Думай... Веками народы мысли хранили в стихах.

((()))

Станет понятно: несчастье люди приносят себе
Сами... слепые до счастья, сами... глухие во тьме.

((()))

Путь совершенства доступен каждому, все же не знают,
Где от страданья заступник. Так и рассудок теряют.

((()))

Злая судьба их кидает с места на место. Раздор
Людям таким предвещает, беды, а следом позор.
Ты ж уклонись от таких. Зевс, твой великий Отец,
Даст пониманье благих качеств Природы, сердец.

((()))

Высшей Природы начало в каждом присутствует, знай.
В смертных бессмертья причалы, дверь к божеству отворяй.

((()))

Все открывает Природа! Если наказы исполнишь,
То не коснутся невзгоды, истиной разум наполнишь.
Душу от множества бедствий ты охранишь и спасешь
Тем от забвенья наследство. Знанья веков обретешь.

((()))

К Истине путь - твой возничий. Знания - лучший твой друг!
Даже в эфирном обличье выйдешь за смертный сей круг.

((()))

Станешь нетленным и вечным, смерти не знающим богом.


***

Наставления Пифагора, Сказка о Душе,
Акусмы Пифагора и Учение в ритмах -
в Море Пифагора - сайт Семь Морей.

***

Опубликованы Золотые стихи на авторском сайте Сказки мудрецов в 2003 году.
Там же имеются и переводы Золотых Стихов другими авторами, и комментарии к Золотым Стихам.
Золотые стихи с комментариями Гиерокла
Золотые стихи в ритмах Феано
Золотые стихи в переводе Е.П.Казначеевой
Золотые стихи в переводе И. Евсы
Река речений Пифагора
http://feano.yorik.su/ezop/16972.html

Феана http://sseas7.narod.ru/03.htm

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Великому посвящённому Пифагору посвящены многие сайты в сети.
Один из них "Сказки Мудрецов" содержит много интереснейшего материала, приглашаю вас, друзья!

Слово твое, Пифагор, не иссякнет вовеки!
Тайное Слово Учения мир охранит,
Жемчуг волшебный, для душ человечьих Магнит!
Золото слов твоих - звездные, млечные Реки.

Этот раздел создан для возрождения Учения Пифагора, прежде всего, этики и основ философии целостного мировосприятия.
Главы книги Эдуарда Шюре "Великие посвящённые"
Все есть Число
Учение Пифагора в ритмах

Пифагор о государственном устройстве



Пифагор, государственный идеал которого состоял в порядке и гармонии, был одинаково чужд и гнету олигархии, и хаосу демагогии. Принимая дорийскую конституцию как таковую, он стремился внести в нее новое устройство.

Мысль его была очень смелая: создать поверх политической власти — власть науки с совещательным и решающим голосом во всех коренных вопросах, власть, которая представляла бы высший регулятор государственной жизни. Над Советом Тысячи он поставил Совет Трехсот, избиравшийся первым советом, но пополнявшийся исключительно из числа посвященных.

Порфирий рассказывает, что две тысячи кротонских граждан отреклись от обыкновенной жизни, от права собственности и соединились в одну общину. Таким образом Пифагор поставил во главе государства пра*вителей, опирающихся на высшее знание и поставленных так же высоко, как древнеегипетское жречество. То, что ему удалось осуществить на короткое время, осталось мечтой всех посвященных, имевших соприкосновение с политикой: внести начало посвящения и соответствующих экзаменов для правителей государства, соединив в этом высшем синтезе и выборное демократическое начало, и управление общественными делами, предоставленное наиболее умным и добродетельным. Совет Трехсот образовал, таким образом, нечто вроде научного, политического и религиозного ордена, главой которого признан был сам Пифагор. Вступление в этот орден сопровождалось клятвой сохранять абсолютную тайну, как это было в Мистериях.

http://feano.yorik.su/ezop/1927.html - вход в раздел

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

http://my.mail.ru/video/list/dmitrij...usov.00/13/140
Медитация.Арифметика Пифагора.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Путь культа числа Пифагора


Пифагор. Фото: Hulton Archive / Getty Images / Fotobank.ru

Биография Пифагора в изложении американского математика Эрика Т. Белла превращается в историю чисел в науке

Американский математик, исследователь в области теории чисел Эрик Т. Белл написал книгу, формальной задачей которой является жизнеописание Пифагора. В реальности же это история ключевой пифагорейской идеи о том, что «число есть начало всего сущего». Этой идее была уготована интересная судьба. Культ чисел расцветает в начале нашей эры, превращаясь буквально в религию, — пифагорейство в тех или иных формах было включено во многие вероучения. Когда в XVII веке появляется современная, основанная на эксперименте наука, от наследия Пифагора (практически религиозного) отказываются. И уже в XX веке оно вновь возвращается — теперь уже в виде современной физики.
«Русская планета» с разрешения издательства «Центрполиграф» публикует отрывок из книги Эрика Т. Белла «Магия чисел».
Засвидетельствовав прославление культа числа Пифагора в его «Идеальных числах», нам теперь надо пройти путь самого Пифагора сквозь чистилище XVII века к эпохе Ренессанса. Его страдания начались в I столетии до нашей эры вместе с появлением адского изобретения неопифагореизма неким Публием Нигидием Фигулом, римским антилогиком, который запустил пагубный процесс брожения фермента неоплатонизма, поместив в идеи Платона элементы восточной мистики. После этого истязания Пифагор опустился в хаотичную преисподнюю гностицизма. Но ему не суждено было остаться там навсегда. Благодаря талантливым и благожелательным к нему отцам противоборствующей молодой христианской церкви он одолел гностиков и начал медленно подниматься сквозь ядовитые испарения разлагающихся философов.
Продвинувшись из Темных веков в Средневековье, он продолжил дальше свой нелегкий путь наверх к науке XVII века, проявляя терпимость к религиозной и бытовой средневековой нумерологии. На этом этапе его пребывания в преисподней науки и здравомыслия он претерпел неимоверные мучения. Наконец, в XV столетии он столкнулся с Платоном, который тоже прокладывал свой путь наверх после того, как был низвергнут в тартар Аристотелем. Вместе они решили сделать рывок к свободе. Они сбежали вовремя, чтобы оказаться свидетелями рождения современной науки.
Не видя в тот момент, куда бы им приложить себя, эти двое мудрецов древности, теперь объединенные дружбой, расстались, договорившись встретиться в 1920 году. С пошатнувшимся духом и умственно истощенные, они оба все же выдержали все испытания, мечтая об отдыхе. Пифагор нашел выздоровление в математике, Платон в метафизике. К означенному судьбоносному 1920 году оба подошли посвежевшие, готовые продолжить сотрудничество, которое началось в чистилище.
Было бы утомительно в деталях рассматривать все нелепости и ошибки чистого разума в его необузданных всплесках в неопифагореизме, гностицизме, неоплатонизме и теологической нумерологии Средневековья. Для нас в этом нет необходимости. Античный пифагореизм, с которым мы уже познакомились, заново оживал в причудливых формах перевоплощения во всех этих творениях беспомощного человеческого интеллекта. Будет достаточно лишь указать общие характеристики каждого основного периода и назвать несколько почти всем хорошо знакомых имен величайших теоретиков чистого разума, которых произвела на свет наша раса.

Почти весь период этого триумфального шествия чистого разума «королевой наук» оставалась астрология. В Средние века астрология разделила свой трон с богословием. И лишь в XIX веке астрология и богословие, смещенные с трона Гауссом, были вынуждены уступить место математике. Все три правителя честно представляли лучшее из всего, что чистый разум предложил им в эпоху правления каждого из них. Их взлет и парение над умами чистых мыслителей, когда они нескончаемо объясняли Вселенную послушному и терпеливо доверчивому человечеству, и последующее затем снисхождение до презренной монотонной работы наблюдения и эксперимента, составляло примерно четыре пятых времени периода от Публия Нигидия Фигула до Альберта Эйнштейна.
В отличие от этого длительного периода деспотизма чистого разума современная наука управляла мыслями и возглавляла действия незначительной компании (в количественном выражении) приблизительно в трех двадцатых от того же промежутка времени, то есть примерно пятую часть по времени. Четыре к одному могло бы показаться достаточно щедрой разницей в пользу не подкрепленного опытом, беспомощного чистого разума. Но даже это весомое преимущество не сумело стимулировать какое-нибудь материальное достижение, сопоставимое с тем, на что современной науке хватает недели.
Но возможно, заспорят с нами, нематериальная польза от средневековой концепции лучшей жизни была настолько подавляющей, что простой комфорт и современное мировоззрение не идут с ней ни в какое сравнение? Средневековье, о чем нам постоянно напоминают, было реабилитировано, и XIII столетие теперь признано золотым веком христианской эры. И от некоторых тенденций, наблюдаемых с 1920 года, похоже, еще до конца XX столетия вполне даже «оптимистично» ожидать подобную реставрацию раннего Средневековья, этих мрачных Темных веков.
Если рассматривать этот тревожный и злосчастный период сочувственно или «нумерологически», для ностальгической души, несклонной к науке, эти времена также имеют свои соблазны. Возможно, более подробный обзор достижений чистого разума с 100 года до н. э. до 1600 года н. э., чем представленный здесь, позволит прийти к какому-то решению сомневающимся — возвращаться ли в прошлое или остаться в настоящем. Здесь же мы лишь следуем за Пифагором.
Неопифагорейцы процветали с I столетия до н. э. до II столетия н. э. Хотя они были постепенно заменены менее противоречивыми сторонниками чистого разума, их собственные специфические фантазии выживали в нумерологии их преемников в течение многих веков. Стремясь к невозможному, они пытались переплавить все пленившее их неуемное воображение в философии Платона, Аристотеля, стоиков, античных пифагорейцев и всевозможных восточных мистиков в сверхфилософию всего, что к их времени было открыто в небесах, на земле и в аду. Они были, как сами считали, наследниками тайн Пифагора. Не сумев убедить в этом сомневающихся, они, дабы впечатлить легковерных, прибегли к фальсификации, изготовив письма и трактаты от лица пифагорейцев, и в том числе Феано и самого Учителя. В повседневной жизни они попытались (не слишком успешно) соблюдать жесткую дисциплину легендарного братства.

«Муза астрологии и астрономии» Роберта Хэрри Гентского. С точки зрения интеллекта они колебались между невежественным энтузиазмом и сознательным шарлатанством. Цементом, скрепляющим хаотичное месиво их непоследовательных идей в бредовой пародии на логичность, служила исходная нумерология Пифагора, пополненная обрывками из ее дополнений в Платоновом реализме. Те же самые Конечное и Бесконечное, те же мужское, как Единица, и женское, как Два, что когда-то смущали античных пифагорейцев, снова разделяли и властвовали во Вселенной. Только после Платона эти древние числа стали менее антропоморфическими и более метафизическими, нежели в те времена, когда античные пифагорейцы выводили их в своих ловких трюках. Для вялых и толерантных неопифагорейцев ничто в придумках о числах не представлялось абсурдным. Принималась и любая метафизическая невероятность за пределами доказательств в мистической магии чисел.
Предсказательный грохот гальки пифагорейской нумерологии, который потом переберется в священную мистику чисел средневековых богословов, ясно слышался в давнишнем конфликте между безупречной монадой и неисправимой диадой, опрометчиво восстановленном неопифагорейцами. Поскольку в античной нумерологии мужское начало Монады, Единицы, воплощало все положительное, мудрое, всезнающее, вечное и постоянное, в то время как женское начало, воплощенное в диаде, двойке, являлось источником всего отрицательного, злого, глупого, неосведомленного, преходящего и непостоянного. Монада символизировала божество, дух, совершенную форму; диада была знаком материи, чувств, хаоса. Спустя несколько столетий двойка тайно изменила пол и стала дьяволом. За это непростительное падение злосчастная двойка была проклята вне всякой надежды на прощение разгневанной монадой.
В этих неуемных фантазиях своих самозваных учеников Пифагор страдал не в одиночку. Из-за этой в высшей степени туманно абстрактной чепухи в оборот взяли и Платона, сначала одного, а потом и вместе с Пифагором, а затем и Аристотель был удушен своей же собственной логикой. Высшее противоречие переработанной нумерологии сделало объективные реальности «Идей» Платона массивными, как египетские пирамиды, а идеи божественного разума легче крыльев бабочки. Эту многообещающую нелепость с благословения неопифагорейцев унаследовали наиболее интеллектуальные гностики.
Неопифагорейцы покажутся в целом довольно безвредным народцем, проявляющим чудеса ловкости и мошенничества, чтобы фальсифицировать нумерологический синтез из унаследованной путаницы взаимно противоречивых религий и несовместимых суеверий. Цель гностиков оказалась приблизительно такой же. Но если судить сказанному о них христианскими Святыми Отцами, эрудиты-гностики отличались, прежде всего, своим тщеславием. И хотя их авторитет стал падать к середине III столетия, они продержались среди ученых мужей с I по V столетие христианской эры. Они также оказались, хотя и не осознавая этот факт, последней судорожной попыткой выжить среди истощенной и измученной философии. Александрия, город, который приютил греческую школу математики, стала их убежищем.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Название, которое удовлетворяло их предшественников в поисках мудрости, не было достаточно почетно для этих декадентов. Чтобы не называть себя философами и подчеркнуть свои необычайные достоинства, они придумали откровенно претенциозное название «гностики» (те, кто знает). Их предполагаемое абсолютное знание резко меняло цвет лица, подобно хамелеону, подстраивающемуся под окружающую среду.
Ни одной четко определенной системы нельзя приписать тем бесцельным эклектикам, для которых астрология вавилонян была столь же приемлема, сколь платоновская теология. Подобно Римской империи, в лучах заходящего солнца которой они грелись, гностики принимали всех богов, все религии, все суеверия, все «науки» даже если они были антинаучны, и все теогонии в великом смешении знания и бессмыслицы.

«Гимн пифагорейцев солнцу» Федора Бронникова. Этой смеси противоречивых гностических мифов и суеверий подобие логичности придавала античная нумерология пифагорейцев, обесцененная неопифагореизмом, что само по себе уже было нелогично.
И все стало намного сложнее, когда гематрия, еврейский вариант нумерологии, вступила в бой.
Еврейская мистика чисел всегда имела несправедливое преимущество над всеми другими, начиная с Платона, поскольку буквы еврейского алфавита используются для написания чисел. Следовательно, каждый отрывок текста в Талмуде имеет по крайней мере два значения, поскольку выражается в словах или числах. Числа, когда с ними соответствующим образом умело управляются, производят другие, и результат толкуется словами. Магические возможности явно бесконечны, и существует традиционное предположение, что в священных письменах евреев нумерологами было обнаружено значительно больше эзотерических истин, чем в любой другой подобной литературе.
Зачатая в гностицизме и появившаяся на свет в средневековой нумерологии как еврейских, так и христианских богословов, гематрия развилась в наиболее гибкую из всех числовых магий. В идеальном виде числа, выбранные по желанию, привязывались к буквам любого алфавита. Простыми арифметическими действиями и элементарным обманом почти любое слово могло выдать почти любое желательное значение, и стало очень просто проклясть врага, благословив его, или наоборот. Чистая нелепость или внутреннее противоречие были ничто против отдельных умозаключений. Если их числа отождествлялись с правящим папой римским, или Сатаной, или Христом и Антихристом, поразительное открытие являлось всего лишь очередным доказательством, что истина и непостижимость едины.
Что именно побудило гностиков и их преемников так преданно следовать за капризами арифметики? Никто не знает. Даже менее ограниченные, чем античные пифагорейцы, эти введенные в заблуждение ученые мужи фантастическими тайнами приукрашивали каждое тривиальное отношение между числами. Отвергнув здравый смысл, они исследовали бессмысленную мистику чисел, переходя от одной нелепости к другой, смиренно веруя во все и не удивляясь ничему. Неподготовленный предварительным изучением вопроса современный ум, столкнувшись с некоторыми из этих ужасов, счел бы их игрой умалишенных. Нисколько. Самые дикие проявления бессмыслицы не являлись забавами праздных или безмозглых шутников.

Древо жизни в каббале. Источник: wikimedia.org То был результат скрупулезной работы рассудительных богословов и теоретиков чистого разума, живших в соответствующие столетия. Тем, кто полагается на науку в вопросах подтвержденных фактов, трудно поверить, что менее пяти столетий тому назад такие же люди, как и мы, жили и умирали по законам абсурдной арифметики. Даже мертвых не оставляли в покое. Срок, отведенный на их пребывание в чистилище, легко удлинялся или укорачивался чтением соответствующих чисел над их могилами. И вся эта магия чисел представляла собой самую сердцевину познания и самую сущность мудрости. Пифагор знал многое, но он не знал ничего подобного.
В сравнении с гностицизмом и его производными в средневековой «науке», античная нумерология была сама скромность.
Для гностиков и их ученых разновидностей до конца Средневековья и даже в эпоху Возрождения числа являлись безмерно большим, нежели «всем» Пифагора. Невозможности, не существующие ни в материальном мире, ни в памяти божества, пронумеровывались и исчислялись наряду со всем остальным. Образованная Европа стала сумасшедшим домом арифметики.
Когда галантные знатоки всего познаваемого и непознанного увидели, что христианство начало приобретать интеллектуальных последователей, на которых могли рано или поздно рассчитывать, они с ликованием приветствовали молодую религию, приглашая ее в свой зверинец диких культов и частично прирученных верований. Но неотесанные христианские отцы не отозвались на подобное напористое радушие и гостеприимство. Они обозвали гностиков толпой вырождающихся греческих философов, тщетно привлекающих такие имена, как Пифагор Платон и Аристотель, в их абсурдной порче нумерологии Пифагора, реализма Платона и категорий Аристотеля, не говоря уже о египетской божественной троице (Гор, Изида и Озирис), персидской дуальности тела и души или астрологии всех времен и народов.
Пусть эти претенденты на божественное знание молятся на Пифагора как на бога, который завещал им священный тетрактис, пока Единица станет Множеством, а Множество бесконечно большим. Верные же отцы непретенциозной молодой религии отказались от всех заманчивых посулов и предложений ученых мужей гностики, за одним исключением. Тем исключением, к несчастью для здравомыслия десяти мучительных столетий, оказалась нумерология.
Белл Э. Т. Магия чисел — М.: Центрполиграф, 2014.

http://rusplt.ru/world/put-kulta-chi...ora-11560.html