108 (число) в предыстории золотого сечения
Создать мир легче,
чем понять его
Анатоль Франс (1844–1924)
Обозримое прошлое. Небезосновательно принято считать, что задача золотого сечения (ЗС) наиболее рельефно и математически выверено впервые появилась в "Началах" Евклида.
В многотомном труде были собраны воедино и частично систематизированы ранее разрозненные разработки античных ученых.
Именно поэтому задача ЗС в разных книгах повторяется, по меньшей мере, дважды.
Но что характерно, – практически в слабо связанных ракурсах.
Невольно создается впечатление, что речь идет о совершенно разном понимании и интерпретации единого математического феномена. Вплоть до разноликих формулировок, неодинаковых буквенных обозначений, несхожих геометрических построений и т.д.
Это дает основание утверждать, что к понятию ЗС в то время относились далеко не так, как принято считать в настоящее время. С иной подоплекой и другой философией.
Непредвзятый анализ показывает, что главное назначение ЗС представлялось для главной цели: построения правильного пятиугольника и десятиугольника, а на их основе – правильных многогранников. Собственно и всё.
На фоне достигнутых к тому времени впечатляющих успехов ученых древности вычерчивание абсолютно точного пентагона было делом чести греческих геометров.
Строптивая задача стала разрешимой именно благодаря изобретенному способу нахождения точки ЗС. После чего золотое сечение на многие века было просто забыто.
За ненадобностью и за отсутствием иных приложений.
«Мавр сделал своё дело, мавр может уходить». С помощью ЗС научились строить правильные фигуры и тела, и потом его "забросили", как минимум на полтора тысячелетия.
Далекое прошлое. Ещё раньше человек научился вычерчивать окружности.
А для измерения дуги придумал условную единицу – градус или 360-ю долю полного угла (оборота) окружности. Как и десятичную систему счисления, в основе которой лежит всего лишь биологическое свойство человека, выражающееся в 10 пальцах на руках.
Метр, час, секунда – такие же субъективистские единицы измерения, как скажем, назначенный День студента. И печать информационно-подобного материала типографским способом – не есть гарантия истины. Также как научные "погоны и лампасы" не гарантируют совпадения мыслимого с действительностью
Именно поэтому градус – единица условная, в определенном смысле произвольно придуманная людьми. Научно говоря, с антропоцентрическим смыслом.
Древние вавилоняне на основе астрономических наблюдений решили, что окружность удобно делить именно на 360 равных частей. Да и 60-ричная система счисления оказала на это влияние. Хотя с позиции сегодняшнего дня это дело вкуса.
Особых преференций здесь нет. Так, в артиллерии, окружность принято делить на 6000 частей, но на точность стрельбы это практически не влияет.
Тем не менее, наши предки выбрали именно 360-дольный путь. И в глобальном контексте, конечно, не случайно. Ибо всё в этом мире взаимосвязано и взаимообусловлено.
Как бы там ни было, но благодаря подобному делению мы сегодня можем легко увязывать дискретные градусы с непрерывными дугами. И не только.
Внутренний угол правильного
n-угольника равен 180o(
n–2)/
n.
В частности, в "золотоносном" пятиугольнике он составляет 108o.
При этом величина 2sin(108o/2) в точности равна числу золотого сечения Ф = (√5+1)/2 ≈ 1,618.
Не следует путать с золотым углом [1] – меньшим из двух углов, образованных делением длины окружности по золотому сечению, и равному π(3–√5) ≈ 137,5о.
Примечательно, что 360/108 = 0,3 и 108/360 ≈ 3,3333...
Но что характерно, во многих странах, религиях и культурах число 108 издавна считается особым. Ему приписывают мистические свойства, ему даже поклоняются. В соответствии с ним выстраивают целые философии, производятся священные церемонии.
Однако число 108 встречается не только в древних обрядах народов мира. Странным образом оно было снова "переоткрыто" в современной математике, физике и химии.
Подводные камни знаковой системы. Конечно, в любом числе изначально заложена некая магия, поскольку в отличие от слова или метафоры оно обладает незримым присутствием авторитета
точности и
беспристрастности. Поэтому число всегда было и остается одним из главных объектов манипуляции.
Сила "языка чисел" объясняется тем, что он нам кажется максимально достоверным и не может лгать [2, гл. 5, § 3]. Это снимает с исследователей, оперирующих числами, множество ограничений, и дает максимальную независимость, с которой не сравнится никакая "свобода слова". Один из великих математиков Г.Кантор утверждал, что сущность математики лежит в её свободе.
Ну, а «там, где терпит неудачу язык математики, человеческий дух ничего уже не сможет понять и узнать» (Н.Кузанский, 1401–1464).
Число, как и слово, было изначально связано с
вещью. Пифагорейцы считали, что в нём выражена сущность и природа вещи. Но числа не могут лгать, и в этом их преимущество перед словом. И якобы только через число может быть понят мир.
Пифагорейское учение в этой части имеет отчетливо выраженный идеалистический характер постижения количественной стороны мира. Математический подход к миру заключается в объяснении определенных количественных отношений между реально существующими вещами. «Арифметизация геометрии означает выражение пространственных отношений в "чистых" числах и делает возможным их постепенное отторжение от отношений в объективной реальности, котирую они, собственно, представляют. Возможность мысленной манипуляции с числами (как абстрактными объектами) ведет к тому, что эти числа могут быть понимаемы как самостоятельно существующие объекты. Отсюда остается всего лишь шаг к тому, чтобы эти числа были провозглашены собственно сущностью вещей. С помощью этой операции пифагорейцы приходят к идеалистическому объяснению действительности» [3].
Манипуляция с числами как абстрактными объектами приводит пифагорейцев к тому, что числа понимаются ими как единственно истинно сущее, то есть числа отождествляются с сущностью вещей, а не просто являются их количественными характеристиками.
Математика – весьма специальная сфера интеллектуального творчества, обладающая неповторимыми, только ей присущими особенностями.
Свобода математики далеко не сводится к отсутствию экзогенных ограничений на объекты и методы исследования. Свобода математики в немалой мере проявляется в предоставляемых нею новых интеллектуальных средствах овладения окружающим миром, которые раскрепощают человека, раздвигая границы его независимости [4].
Сила убеждения чисел огромна. Но часто предполагает полную замену качеств их количественным суррогатом [2].
Мы далеки от мысли, что числа представляют собой главный инструмент познания.
Так или иначе, но в результате алгоритмических манипуляций формируются определенные устойчивые последовательные наборы чисел (ряды). Манипуляции с такими цифровыми структурами часто позволяют увидеть ранее не проявляемые закономерности.
Число 108 через времена длиною в жизнь. Некоторые числа у многих народов издавна считаются священными, магическими, символически отображая и воплощая некую тайну природы. В определенной мере 108 – одно из таких чисел, берущее свои истоки из ведической нумерологии. Точнее говоря, из ведической культуры – самой древней на планете. Число 108 в Ведах считается чудодейственным числом совершенства и успеха. Произведя в каком-либо виде деятельности 108 попыток (тренировок, повторений и т.п.), человек достигает определённой ступени совершенства. А информация об этом надежно закрепляется в постоянной памяти и сохраняется в течение всей человеческой жизни.
Число 108 явно обозначает нечто глобальное и всеобъемлющее [5–10].
На Востоке всюду, куда ни посмотри, в церемониях и ритуалах то и дело встречается число 108:
- В исламе число 108 используется для обозначения Бога.
- В индийской традиции существует 108 форм танца, а в хатха-йоге выделяют 108 основных "асан" (поз) лечебной йоги.
- В теле человека насчитывают 108 болевых точек.
- 108 особо чтимых храмов в Индии.
- 108 молитвенных цилиндров установлено вокруг ступы Бодхнатх в Катманду, которую паломники обходят 108 раз, там же – 108 ниш с божествами.
- В драгоценных ожерельях богов – 108 нитей жемчуга, 108 камней.
- В Японии колокол храма Зэн звонит 108 раз, возвещая о наступлении Нового Года.
Согласно поверьям у человека есть 6 главных пороков: жадность, злость, глупость, легкомыслие, нерешительность и алчность. Каждый из пороков имеет 18 оттенков. По мере ударов колокола происходит постепенное очищение от этих пороков,
Сакральное число в буддизме:
- Символизирует всё сущее.
- Канон Ганджур (сборник высказываний Будды) состоит из 108 томов.
- В буддийских храмах 108 раз бьют в колокол, чтобы преодолеть 108 страстей, мешающих людям достичь Просветления.
- Классическое количество бусин в буддийских четках равно 108 (иногда встречаются и другие с делителями 108: 54, 27 или 18), что кодифицирует определенные положения учения.
Они символизируют 108 родов желаний, омрачающих дух человека и мешающих на его пути к просветлению [11]:
- желания, связанные с шестью органами чувств: зрением, осязанием, обонянием, вкусом, слухом и умом (6);
- по отношению к предметам прошлого, настоящего и будущего (3);
- к объектам внутренним и объектам внешним (2);
- три способа проявления: в мыслях, в словах и в поступках (3).
Отсюда следуют канонические числа буддизма: 6∙3 = 18; 18∙2 = 36; 36∙3 = 108.
Следует сказать, что четки – не только культовая принадлежность.
В буддизме они играют и роль предмета, в котором кодифицирована информация, связанная с основными философскими и практическими аспектами учения Будды.
А они таковы, что буддизм разумен и научно обоснован, что сильно привлекает современный мир.
Будда говорил: «Не принимайте на веру ничего из того, что я говорю, только из почтения ко мне, но проверяйте это самостоятельно, исследуйте, как если бы вы покупали золото». Многим людям нравится такой недогматический подход.
«Теперь не верьте моим словам только потому, что их сказал Будда, но проверяйте их как следует. Будьте сами себе светом».
Современная наука узнала, что число 108 превалирует в системе «Солнце–Земля»:
- Средняя скорость вращения Земли по эллиптической орбите вокруг Солнца чуть не дотягивает до 108 тыс. км/час (107,15). Но по мере приближения к солнцу ближе к перигелию достигает этой величины.
- Объем Земли ~ 108∙1010 км3 ( 108,32073×1010).
- Расстояние от Земли до Солнца 1,496·1011 м эквивалентно 108 диаметрам Солнца 1,392·109 м, или если точно – 107,5.
- Диаметр Солнца ориентировочно равен 108+1 диаметрам Земли (1,274·107 м).
- 108 мин – время полета вокруг Земли по наиболее устойчивой орбите. Именно это время полета Гагарина перевело человека на следующий уровень понимания реальности.
Одно из первых объяснений можно увидеть в возможном восхищении древних вычислителей перед определенной "универсальностью" числа 108.
Так, согласно Платону число, равное половине 108, получается при сложении следующих чисел: единица (1); два первых полных числа (2, 3); два квадратных числа (4, 9); два кубических (8, 27) – итого: 54 = 1+(2+3)+(4+9)+(8+27) = 108/2.
Конечно, в массовости применения числа 108 имеется какая-то невидимая "пружинная причина". Просто не может быть, чтобы оно было выбрано чисто случайно или "назначено" каким-то верховным жрецом "в приказном порядке", заставляя всех поклоняться этому числу.
Своеобразная константа для Вселенной.
Что зашифровано этим числом? Какая информация? Какое еще число, символ или знак присутствует в мировых культурах также необъяснимо часто?
Одно из толкований пробуют найти в произведении начальных базовых чисел (гиперфакториале трёх):
1·(2·2)·(3·3·3) = 108.
Эти числа, будучи поставленными одно над другим, образуют "магический" треугольник.
Этнографы приводят "лунное" объяснение: 12 + 24 + 72 = 108, где 12 – месяцы, 24 – полумесяцы, 72 – пятидневки, образующие лунный год.
Понятно, что число 108 получено с применением астрологических наблюдений и означает некий полный круг повторений, величину законченного цикла.
Попробуем в этом разобраться хотя бы косвенно на основе его различных свойств.
С чего начать? – Мы не будем заниматься нумерологией в её исконном понимании.
Не станем также вольно и предвзято интерпретировать те или иные числовые закономерности. Попытаемся просто соединить воедино некоторые, на наш взгляд, наиболее существенные характеристики числа 108, которые проявляются во всевозможных ракурсах и позволяют глубже проникнуть в его необыкновенную способность присутствовать во многих приложениях теории чисел.
Линейный вид
