МЕРность, ИЗМЕРЕНИЯ пространства

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Как рисовать многомерные объекты



Я продолжу обсуждение вопроса о том, как повысить наглядность по поводу 4-мерного пространства.

Человек испокон веков сталкивался с проблемой изображения того, что он видел вокруг себя. Если забыть, что изображать можно словами, жестами, намёками и так далее и остановиться только на визуальном изображении, то проблема упирается в то, что в окружающем нас мире три измерения, а на бумаге (холсте, стене, доске, экране) — только два. Чтобы изобразить предмет, нужно его из объёмного сделать плоским но так, чтобы он остался узнаваемым и сохранил в себе важные черты оригинала.
Содержание

1. Проекция
2. Сечение
3. Четырёхмерные объекты
4. Мировая линия
5. Мультипликация

Содержание

• Проекция
• Сечение
• Четырёхмерные объекты
• Мировая линия
• Мультипликация

Проекция

Человек изобрёл для этой цели несколько методов, один из них — метод проекции.

Он заключается в том, что от каждой точки (или от каждой важной точки) предмета строятся прямые линии (как бы лучи света), которые пересекают плоскость рисования (проекционную плоскость) и дают изображения оригинальных точек.

На этом рисунке показано, как лучи (показано только четыре луча), идущие от источника света, проходят через углы проволочного кубика и рисуют на экране его изображение — тень. Эта тень и называется проекцией (точнее говоря, это один из видов проекции).

Видно, что проекция искажает предмет, но в данном случае, оставляет его узнаваемым. (Кстати, сам этот рисунок — тоже проекция. То есть, мы здесь имеем дело с явлением второго порядка — проекцией процесса проецирования!)

Но иногда проекция может так сильно исказить объект, что узнать его будет нелегко.

Например, что изображено вот на этой проекции?

(пример взят из книги И. А. ВоротниковаЗанимательное черчение , Москва,Просвещение , 1977)
На первый взгляд понять трудно. Но если представить несколько проекций под разными углами, то догадаться станет легче:

(это ложка)

Проекций существует много различных видов. Вид проекции определяется тем, как и откуда идут лучи, которые строят тень. Например, если лучи идут из одной точки (так, как нарисовано выше), то такая проекция называетсяцентральной .

Вот изображение цилиндра в центральной проекции:

Для центральной проекции характерен эффект перспективы, когда параллельные линии превращаются в сходящиеся (на этом рисунке этому эффекту подвержены боковые стенки цилиндра).

Если лучи идут параллельно из бесконечности (приближением такой ситуации являются солнечные лучи, которые идут от очень далёкого солнца), то эффекта перспективы не будет:

Такая проекция называетсяпараллельной .

Мы не будем подробно разбирать все виды проекций. Важно понять, что когда рассматриваешь изображение, полученное при помощи проекции, его ещё надо расшифровать в уме (для этого, конечно же, надо знать, по какому алгоритму строится данная конкретная проекция) и только потом можно будет (в воображении) получить правильный облик предмета.
Сечение

Другой способ изображения называется методом сечения.

Он состоит в том, что изображаемый предмет разрезается (воображаемой) плоскостью и рисуется то, что с ней соприкоснулось.

Рассмотрим сечения конуса. Конусом называется вот такая фигура:

(не забывайте, что на этом рисунке изображён не сам конус, а его проекция)
Теперь разрежем его горизонтальной плоскостью:

В сечении конуса получится окружность (находится в месте пересечения конуса и плоскости). Но на этом рисунке этого не видно (вместо окружности виден эллипс). Причина этому в том, что для получения этого рисунка использовалось два преобразования: сперва конус был разрезан плоскостью (при этом в сечении получилась окружность), затем вся полученная конструкция была подвергнута проекции (чтобы нарисовать на экране), а в проекции окружность почти всегда превращается в эллипс.
Если произвести проекцию лучами, перпендикулярными плоскости, то круг станет виден отчётливо (вид сверху):

Если разрезать конус наклонной плоскостью, то в сечении получится уже настоящий эллипс.

На рисунке он виден как эллипс, но, поскольку это проекция, этот эллипс мог быть на самом деле и окружностью. Но на рисунке справа видно, что это всё-таки эллипс.
Если наклонить плоскость настолько, что она станет параллельна одной из наклонных сторон, то эллипс разомкнётся и получится незамкнутая кривая, называемая параболой:

Если рассечь эллипс вертикальной плоскостью, то полученное сечение тоже будет незамкнутой кривой, но из-за отличающихся (более тонких) свойств, она имеет другое имя — гипербола. Она изображена ниже:

Таким образом, мы рассмотрели метод сечений на примере конуса. Сечения конуса (окружность, эллипс, парабола и гипербола) так и называются — коническими сечениями.

Четырёхмерные объекты


Теперь мы знаем два мощных метода изображения трёхмерных объектов на двухмерном экране или листе бумаги. Эти методы можно обобщить для того, чтобы изображать и четырёхмерные объекты.

В одном из наших прошлых выпусков мы пришли к выводу, что 4-мерное пространство можно рассматривать, как совокупность 3-мерных (обычных) пространств. Теперь мы можем чётко сказать, что наше обычное 3-мерное пространство здесь-и-сейчас — это 3-сечение 4-мерного пространства времени.

То есть.

Только что мы рассекали 3-мерную фигуру при помощи плоскости, то есть 2-мерной фигуры. Получалось 2-мерное сечение. А в случае 4-пространства делается более сложная штука — 4-мерный мир рассекается 3-мерным объектом и получающееся 3-мерное образование тоже есть сечени. Выше мы использовали сечение для того, чтобы суметь нарисовать 3-мерный объект. Сечения 4-мерного пространства мы можем использовать для того, чтобы суметь его себе представить (и нарисовать тоже).