http://the-mostly.ru/misc/catastrophe_theory.html
ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ
Наука и жизнь, 1989, № 10
С недавних пор термин «катастрофа» начал встречаться не только в газетных текстах, но и в той науке, которую принято считать самой абстрактной из всех,- в математике. Ну а то, какой степени абстракции достигла современная математика, можно продемонстрировать следующим примером: вместо высказывания «Петя вымыл руки» нынешние математики говорят весьма просто - существует такое t1<0, что образ точки t1 при отображении t--> Петя (t) принадлежит множеству грязноруких, и такое t2, что t1<t2<=0 и образ точки t2 при указанном выше отображении принадлежит дополнению к описанному множеству. Но если математики теперь изъясняются на столь эзотерическом языке, то какой смысл они вкладывают в понятие катастрофы? О том, что такое математическая теория катастроф, рассказывает одни из крупнейших математиков современности, член-корреспондент Академии наук СССР Владимир Игоревич АРНОЛЬД.
Сначала мысль, воплощена
В поэму сжатую поэта,
Как дева юная, темна
Для невнимательного света;
Потом, осмелившись, она
Уже увертлива, речиста,
Со всех сторон своих видна.
Как искушенная жена
В свободной прозе романиста;
Болтунья старая, затем
Она, подъемля крик начальный.
Плодит в полемике журнальной
Давно уж ведомое всем.
Е. Баратынский
Первые сведения о теории катастроф появились в начале 70-х годов. В массовых журналах типа «Тайм» и «Ньюсуик» сообщалось о перевороте в математике, сравнимом разве что с изобретением Ньютоном интегрального и дифференциального исчисления. Журналисты вдохновенно писали, что новая наука - теория катастроф - для человечества гораздо ценнее, чем классический математический анализ: в то время как ньютоновская теория позволяет исследовать лишь плавные, непрерывные процессы, теория катастроф дает универсальный рецепт для исследования всех скачкообразных переходов, разрывов и внезапных качественных изменений. Появились сотни научных и околонаучных публикаций, в которых теория катастроф применялась, например, к эмбриологии, кардиологии, психологии, лингвистике, экономике, социологии и геологии, не говоря уже о таких «естественных» дисциплинах, как оптика, теория устойчивости упругих конструкций и кораблей при волнении или, например, теория элементарных частиц. Среди публикаций по теории катастроф есть самые экзотические, в частности о психических расстройствах и восстаниях заключённых, о поведении биржевых игроков и влиянии алкоголя на водителей и даже о цензуре на эротическую литературу.
Маяковский заметил как-то, что сущность математики не в том, какие предметы она исследует, а в том, какие законы обнаруживает. Человек, открывший, что дважды два четыре, говорил он, был великим математиком, даже если он открыл это, считая окурки. Тот, кто теперь считает по той же формуле паровозы,- вообще не математик.
В прошлом веке математику делили на чистую - равно применимую к окуркам и паровозам - и прикладную, то есть специально приспособленную к паровозам. А сравнительно недавно, когда потребовалось перейти от паровозов к атомам, самолётам и спутникам, вдруг оказалось, что чистая - «окурочиая» - математика с её необычными объектами, такими, как представления групп, комплексные многообразия, многомерные пространства, и довольно-таки отвлечёнными разделами вроде топологии или функционального анализа гораздо лучше приспособлена к новым задачам, чем созданная для чисто практических нужд «паровозная».
А какова же по этой классификации теория катастроф, к чему она ближе, к чистой математике или прикладной?
Рис. 1. В законе «Достижения пропорциональны усилиям» отражается фундаментальный принцип математического анализа: всякая гладкая функция в малом (то есть при малых приращениях аргумента) приближенно линейна.
Оказывается, что математическим источником теории катастроф служит сравнительно молодой раздел чистой, «настоящей» математики, который называется теорией особенностей гладких отображений. Фактически теория особенностей - смелое обобщение исследования функций на максимумы и минимумы. Почему такое исследование необходимо? Дело в том, что минимумы и максимумы представляют собой критические точки функции, которые во многом определяют её поведение. Известный французский математик Поль Монтель выразил это так: «Функции, как и живые существа, характеризуются своими особенностями». А чтобы понять, как именно, нам придётся рассмотреть несколько типичных примеров.
Современник Ньютона, английский учёный Гук, установил следующий закон, справедливый для упругих тел: удлинение такого тела, например, обычной пружины, почти пропорционально приложенной силе, пока она мала. (Это утверждение впоследствии так и назвали - законом Гука.) Точно так же в нормальных рыночных экономических условиях приращение спроса пропорционально малому уменьшению цены. И вообще очень часто достигаемый эффект оказывается пропорциональным затраченным усилиям. Однако нужно иметь в виду, что это верно лишь при малых приращениях, как часто говорят, локально (скажем, нынешнее уменьшение потребления алкоголя вряд ли пропорционально повышению цены на водку).
Приведенные примеры отражают один из универсальных законов:
I.
В окрестности некритической точки приращение функции почти пропорционально приращению аргумента. Фактически этот закон отражает основной принцип классического математического анализа - всякая гладкая, то есть не имеющая изломов и «клювиков», функция на малых участках (как говорят, в малом) приближенно линейна. Иными словами, гладкую кривую можно заменить её касательной (рис. 1). С простейшими универсальными законами такого рода мы встречаемся столь часто, что уже перестали им удивляться. Но как прийти к пониманию этих законов, «прочувствовать» их? Так вот, оказывается, что исследование зависимости всевозможных математических объектов от определяющих их параметров и приводит к универсальным законам. Именно в этом, по существу, основной вывод математической теории особенностей.
Рис. 2. Универсальный закон квадратичности: в окрестности точек максимума или минимума приращения функции (соответственно отрицательное или положительное) приблизительно пропорционально квадрату приращения аргумента. Вдобавок типичная кривая переходит в точке касания с одной стороны аппроксимирующей её параболы на другую.
Если рассматривать функцию не локально, то есть не на малом участке, а в целом, то она может быть и сильно нелинейной, например, иметь максимумы и минимумы. В окрестности точки максимума или минимума график типичной функции можно приближенно заменить параболой (рис. 2). Отсюда следует универсальный закон:
II.
В окрестности максимума (минимума) приращение типичной функции почти пропорционально квадрату приращения аргумента.
В частности, небольшое отклонение аргумента от его оптимального значения практически не сказывается на значении функции. Например, малый поворот двигателей реактивного самолета (рис. 3) практически не меняет результирующую силу тяги, но спасает от реактивной струи хвостовое оперение. Действительно, потеря тяги пропорциональна квадрату малого угла поворота, то есть оказывается, как принято говорить, величиной более высокого порядка малости по сравнению с отклонением струи, которое пропорционально величине самого угла. Другой пример: с приближением к оптимальному состоянию затрачиваемые усилия перестают сказываться на достижениях.
Третий универсальный закон можно сформулировать так:
III.
Типичная плоская кривая касается прямой не более, чем в двух точках.
Действительно, от касания в трёх точках можно избавиться малым изменением формы кривой (рис. 4), касание же в двух точках устойчиво, то есть не исчезает при малом шевелении кривой. Правда, чтобы сохранить касания в двух точках, придётся пошевелить и саму касательную. Третий универсальный закон имеет фундаментальное значение в теории оптимизации (см. рис. 5).
Универсальные законы, которым подчиняются более сложные системы (описываемые многими функциями многих переменных), уже не столь очевидны. Вот один из примеров:
IV.
Типичная поверхность не касается никакой прямой более чем в четырёх точках.
В этом можно убедиться после некоторого экспериментирования с картофелинами и карандашом. Эксперимент показывает также, что касание в 4 точках устойчиво.
Во всех рассмотренных ситуациях речь идет об универсальных законах, которые выполняются для любых гладких объектов (функций, кривых, поверхностей), за исключением лишь некоторых специальных, «нетипичных». Интересно, что такие, казалось бы, простые объекты, как плоскость и цилиндр,- нетипичные поверхности.
Теперь мы, пожалуй, уже готовы к тому, чтобы понять, что имеют в виду математики, произнося слово «катастрофа». Правда, вначале нам придется сделать еще одно небольшое математическое усилие. Представим себе кубическую зависимость - функцию у = х3 (рис. 6). В нуле она имеет «нетипичную» кубическую особенность. Но если задана не индивидуальная функция, а целое семейство функций, зависящих ещё от некоторого параметра, то оказывается, что существует такое значение параметра, при котором кубическая особенность становится устойчивой. Слово «устойчивость» здесь означает, что во всяком близком семействе при некотором близком значении параметра встретится точно такая же особенность.
Универсальный пример такого семейства- множество кубических функций у = х3+рх переменной х, зависящих к тому же от параметра р. Вид графика таких функций при разных значениях параметра показан на рис. 7.
Пока параметр р отрицателен, функция имеет вблизи нуля локальные максимум и минимум. Когда параметр р стремится к нулю, максимум и минимум сближаются, и при нулевом значении параметра возникает кубическая особенность. При положительных значениях параметра и максимум, и минимум исчезают, «убив» друг друга. Все эти явления универсальны и устойчивы, они наблюдаются и в семействах, близких к рассматриваемому. Поэтому такие явления имеют широкую область применимости.
Рис. 3. Как спасти хвостовое оперение реактивного самолета от струи раскаленных газов? Небольшое отклонение значения аргумента от оптимального практически не сказывается на значении функции. В частности, малый поворот реактивных двигателей не меняет результирующую силу тяги.
Пусть, например, наша функция характеризует состояние экономики (скажем, величину дохода правящего класса) в зависимости от какого-либо параметра. (В качестве такого параметра можно взять, к примеру, предприимчивость населения или гласность принятия решений, или правдивость печати.) Если экономика регулируется так, чтобы обеспечивать максимизацию функции, то система будет находиться в точке максимума. А до тех пор, пока с изменением дополнительного параметра этот максимум - локальный оптимум - не исчезнет.
В этот момент система будет вынуждена скачком перейти в далекое от исходного состояние В (рис. 8). Такого рода перескоки и получили название катастроф, так как они связаны с резкими изменениями в состоянии системы и могут приводить к её разрушению.
Если бы мы не ограничивались узкими рамками малых изменений вблизи рассматриваемого локального оптимума, то картина могла бы быть, например, такой. Вначале оптимальное решение единственно (А на рис. 9). По мере развития системы возникает побочный максимум В - новый локально-оптимальный, но вообще-то не наилучший режим. Он рождается вместе с близким локальным минимумом. Кстати, это явление рождения двух экстремумов описывается таким же универсальным законом, как и изображённое на рис. 7 их взаимное уничтожение, меняется только направление изменения параметра. Далее, побочный максимум обгоняет исходный (С). Начиная с этого момента, новый режим уже выгоднее старого. Но переход на него затруднён необходимостью резкого перескока - катастрофы. Отсюда вытекает правило:
V.
При плавном переходе от одного локально-оптимального режима к другому необходимо временное ухудшение.
Рис. 4. Типичная кривая не имеет тройных касательных. При этом касание в двух точках устойчиво» то есть не исчезает при малом шевелении кривой.
Рис. 5. Выбор пульсирующего оптимального режима. Предположим, что зависимость скорости выпуска продукции каким-либо производством (например, мельницей) от скорости подачи сырья изображается невыпуклой кривой. Как организовать работу, чтобы суммарный выход продукции при заданной средней скорости С подачи сырья (то есть при заданном расходе сырья за большое время) был максимальным?
Оказывается, оптимальный режим - пульсирующий: он составляется из чередующихся периодов интенсивной загрузки сырья (точка А) и слабой загрузки (точка В). Действительно, требуется так распределить массы по кривой, изображённой на рисунке, чтобы центр тяжести лежал над точкой С и находился возможно выше. Такое распределение масс сосредоточено в двух точках А и В касания кривой с прямой.
Оптимальный режим составляется из смеси двух, а не большего числа режимов, именно потому, что прямая касается типичной кривой не более чем в двух точках (см. рис. 4.).
Рис. 6. График функции у=х3. Эта функция имеет при х=0 нетипичную, кубическую особенность.
Рис. 7. Универсальная деформация кубической особенности. При возрастании параметра максимум и минимум функции сближаются и в конце концов исчезают, «убив» друг друга.
В линейных системах малое изменение параметра в сторону лучшего режима улучшает положение. В отличие от этого, после достижения локального оптимума малые изменения управляющего параметра, направленные в сторону лучшего режима, не улучшают, а ухудшают положение. И если, как это обычно бывает, система сама стремится локально оптимизировать своё состояние, то она будет отвечать на недостаточно радикальные изменения возникновением сильных тенденций возврата к старому режиму. Этим, думается, можно объяснить неудачу многих реформ, в частности экономических.
В живой природе аналогичная трудность, например, необходимость полной перестройки организма гусеницы для образования бабочки преодолевается при помощи специальной стадии - куколки. В этом случае отжившая система (гусеница) сама создаёт в своих недрах новую систему, которая впоследствии уничтожает старую (куколка в конце питается остатками гусеницы).
Наконец, в ходе дальнейшего развития системы исходное локально-оптимальное состояние вообще исчезает (D) и переход на далёкий от первоначального режим становится неизбежным (Е).
Универсальный закон (рис. 7) приводит к выводу:
теория катастроф
Линейный вид
