Любопытное в математике

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Круг имеет 360 градусов. Но как это значение появилось?

И почему именно 360, а не, например, 100? Задумывались ли вы когда-нибудь о том, почему полный угол - это именно 360 градусов, а не больше или меньше? Связано это на самом деле с особенностями вращения нашей планеты.













































Фото: Quick and Dirty Tips




Известно, что планета Земля вращается вокруг своей оси чуть более чем 365 раз в год. В давние времена, когда ещё не было современных приборов для измерения положения объектов на небе, астрономам казалось, что каждый день Солнце проходит примерно 1/360 пути по эклиптике. Поэтому учёные и решили разделить круг на 360 частей.


Жители Вавилона пользовались календарём, в котором было 360 дней. А ещё у них была шестидесятеричная система счисления в противовес современной десятичной. Для представления чисел вавилоняне применяли 60 символов.



























1 / 1




Поскольку число 60 использовалось как основа счисления, то вавилоняне решили, что каждый из углов равностороннего треугольника будет равняться 60 градусам. А 6 таких треугольников вместе дают фигуру, похожую на круг, и он будет иметь 360 градусов.
А сейчас мы всё ещё используем число 360, так как оно хорошо подходит для математических расчётов. Кроме того, оно делится без остатка на 2, 3, 4 и другие числа.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://dzen.ru/a/Y6ygusVfs3YqsWet
Два математических закона для войн, который вывел русский генерал М.П. Осипов и британский инженер Ф.Ланчестер

29 декабря 2022
5,3K прочитали




Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хотел бы обратиться к истории одного из первых математических законов, который предложил использовать для моделирования боестолкновений русский генерал М.П. Осипов.
Михаил Павлович Осипов родился 1 октября 1859 года, и родители выбрали ему карьеру военного: воспитывался он во Владимиро-Киевской военной гимназии, после чего окончил Второе военное Константиновское училище. В 1879 году Осипов получил свое первое направление в Бендерскую крепостную артиллерию на должность помощника заведующего командой, дослужившись в 1912 году до генерала.
По долгу службы Михаил Павлович занимался геодезическими и астрономическими исследованиями, активно применяя математический аппарат, но в марте 1913 года по семейным обстоятельствам Осипов вышел в отставку.





Источник: http://imagizer.imageshack.us/v2/xq90/661/5OVgEj.jpg

В начале Первой мировой войны он начал размышлять над путями достижения победы. Впервые в истории войн победа определялась не удачными действиями на фронте, а тем, какая сторона дольше не исчерпает свои ресурсы, в первую очередь людские. Отсюда речь уже шла не о локальном военном противостоянии, а о глобальных процессах, континентальных и даже мировых масштабов.
Именно тогда у русского военного родились идеи, которые более чем на год предвосхитили мысли английского инженера и изобретателя Фредерик Ланчестера.


Ланчестер читается одним из "большой тройки" английских автомобильных инженеров - наряду с Гарри Рикардо и Генри Ройсом.

В литературе законы, о которых я расскажу очень долгое время назывались линейным и квадратичным законом Ланчестера, однако примерно с 1993 года даже иностранные источники называют их законами Осипова-Ланчестера, отдавай дань русскому ученому.
Законы Осипова-Ланчестера представляют собой дифференциальные уравнения, решения которых описывают зависимость от времени численности двух армий A и B как функцию времени, причем функция зависит только от A и B.

Подход ученых был революционным для военного дела, в котором чаще всего оперировали статическими величинами (например, потребный расход глубинным бомб, потребное количество поисковых авиасредств и т.д.), приводя их к вероятностным критериям (с вероятностью 95% цель будет поражена при определенном расходе боеприпасов), в то время как война - это чаще всего кинематика, предусматривающая постоянные изменения.

Линейный закон

Из размышлений Ланчестера:

"Рассмотрим сначала условия древних боев, когда человек противостоял человеку. Если предположить, что все участники этих боев равноценны и прочие условия равны, то можно считать, что в среднем половина схваток один на один, из которых состоит вся битва, кончится для данной стороны благоприятно, а другая половина - неблагоприятно и обе стороны понесут одинаковые потери.

При этом, если 1000 воинов одной стороны противостоят 1000 воинов другой стороны, не будет никакой или почти никакой разницы от того, встретятся ли 1000 воинов одной стороны ("синие") с таким же количеством воинов другой стороны ("красные") в одном решительном сражении или все силы синей стороны обратятся сначала против 500 воинов красной стороны и уничтожив их, вступят в бой с остальной половиной воинов красной стороны; в последнем случае, если только считать, что воины красной стороны, защищая свою землю, будут стоять насмерть, половина сил синей стороны будет выведена из строя при уничтожении сил красной стороны в первой битве и вторая битва начнется при равных условиях, т.е. 500 воинов синей стороны против 500 воинов красной стороны.

Пусть n- число бойцов синей стороны, m - красной. Осипов и Ланчестер предположили, что все битвы разделены на отдельные дуэли, тогда:


Здесь E - это "соотношение потерь" - среднее число потерь бойцов синей стороны к потерям красной стороны.

Эти уравнения повторяют мысли Ланчестера и Осипова: вооруженные силы двух сторон являются равноценными, если отношение начального количества их боевых единиц равно соотношению потерь. Из этого следует, что концентрация сил в таких сражения не приносит дополнительных преимуществ.
Квадратичный закон

Если же говорить о "современной войне" для Осипова и Ланчестера, в которой уже применялось огромное количество типов дальнобойного оружия, то можно сказать, что "дуэльный" характер боестолкновения не сохраняется. Каждый участник может вести огонь ро любому противнику.


Из этих формул следует, что концентрация сил уже становится выгодной, т.к. эффективность каждой из сторон пропорциональна эффективности оружия в первой степени, а количеству бойцов - уже во второй. Это говорит о том, что тактическая или стратегическая концентрация сил может уравновесить большое преимущество в эффективности оружия противника.
В своей основной форме закон полезен только для прогнозирования результатов и потерь путем истощения иработает только там, где каждый солдат (солдат, корабль и т.д.) может убить только одного эквивалентного солдата одновременно. По этой причине закон не распространяется на пулеметы, артиллерию с неуправляемыми боеприпасами или ядерное оружие. Закон требует допущения, что потери накапливаются с течением времени: он не работает в ситуациях, когда противоборствующие войска убивают друг друга мгновенно, либо стреляя одновременно, либо когда одна сторона делает первый выстрел и наносит множественные потери.
Законы Осипова-Ланчестера прошли множество "модернизаций": был осуществлен переход от средних величин к вероятностной модели, появились обобщенные модели для изучения хода не только сражения, но и войн в целом.


Источник: https://regnum.ru/uploads/pictures/n...350_normal.jpg

Конечно, сама идея свести такие гетерогенные системы к набору дифференциальных уравнений немного утопична, однако законы Осипова-Ланчестера показали хорошую ретроспективу применительно к военно-морскому Трафальгарскому сражению, битве при Геттисберге в период гражданской войны в США, воздушной "Битве за Британию" и некоторым другим сражениям, да и вообще в целом оказали положительный методологический эффект для такой области знаний, как "исследование военных операций".

Были предприняты попытки применить законы Ланчестера к конфликтам между группами шимпанзе и огненных муравьев. Для первых применение закона было относительно успешным; для вторых оказалось, что квадратичный закон не адекватен.

Очевидным недостатком законов Осипова-Ланчестера является тот факт, что они не учитывают такие факторы, как местность, боевой дух, дальность стрельбы, передвижение и маневры, внезапность, погоду и многие другие вопросы, которые решали исходы сражений на протяжении веков.


Источник: https://www.digiseller.ru/preview/57...3_3fa61bd3.jpg

Однако, есть и область, где законы Ланчестера можно применять явно. Например, при разработке стратегий в реальном времени, где требуется уравновесить объемы производства боевых единиц противоборствующих фракций.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Математик Марьясов объяснил, почему пример со скобками из соцсетей решают неверно



Простая задачка разделила интернет на два лагеря.




















Источник: Вокруг Света




Уже несколько дней пользователи соцсетей по всему миру ломают головы над простым математическим примером. По соцсетям и интернет-форумам гуляет задача 36:3 (8−6)/6. В зависимости от порядка действий можно получить ответ 1 или 4.

Коллеги из редакции NGS.RU решили подключить к решению профессионала и попросили прокомментировать пример кандидата физико-математических наук, доцента Новосибирского государственного университета Илью Марьясова. Итак, как делить со скобками?

По мнению преподавателя, здесь нет подвоха. Самое главное — твердо соблюдать порядок действий.

— Умножение и деление имеют более высокий приоритет, чем сложение и вычитание, — объяснил Илья Марьясов. — Когда нужно изменить порядок вычисления, чтобы сложение и вычитание выполнялись раньше, то используются скобки.

И еще один нюанс: когда появляются дроби, а дробная черта — это деление, то в этом случае оно выполняется в последнюю очередь.

Сначала нужно решить числитель. По очереди идут деление, умножение, вычитание — при этом последняя операция идет в скобках. Начинаем решать слева направо.

Итак, 36 делим на 3, получаем 12. Потом нужно выполнить умножение, но поскольку вычитание стоит в скобках, то сначала делаем его. Из 8 вычитаем 6, получаем 2. Теперь умножение. Мы 12 умножаем на 2 и получаем 24. Теперь делим числитель на знаменатель. То есть 24 делим на 6.

Правильный ответ — 4.


Почему многие ошибаются?



Дело в особенностях преподавания математики, считает Илья Марьясов.

— В начальном звене вводят операции — сложение, вычитание, умножение и деление, — рассказал специалист. — Примерно до 6-го класса дети не знают, что существуют рациональные числа, которые записываются в виде дробной черты. Когда они вводятся, то выясняется, что операцию деления можно записать не в виде двух точек.

Вплоть до окончания школы все выражения выглядят как дробное число, отдельная операция деления через две точки редко используется. Так умножение у людей фиксируется как приоритетная операция, объяснил математик.

В итоге это приводит к ошибке в решении нашумевшей задачи.

— У людей возникает соблазн 3 умножить на 8 минус 6 (то есть на 2) и получается у них 6. Потом 36 делят на 6, получая 6. И в итоге 6 делят на 6 и выходит 1. Это неверный ответ в данном случае, — подытожил Илья Марьясов.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://www.youtube.com/watch?v=7cQ5n9j5Guo

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://news.mail.ru/stories/81-9-fa...i/?frommail=10
9 необычных фактов о числе Пи

14 марта отмечается Международный день числа Пи. Если вы не вспоминали об этой константе со школьных времен, ничего страшного. Мы обещаем не мучить вас математическими задачками и всего лишь расскажем несколько интересных фактов о числе Пи в честь столь необычного праздника.


https://new-science.ru/15-interesnyh...zhno-ne-znali/
15 интересных фактов о числе Пи, о которых вы, возможно, не знали 01.11.2019 21 896 5 минут чтения Пи считается хлебом с маслом для математиков и инженеров. Это буквально круто, немного странно, но круто. Число Пи является математической константой, и оно определяет отношение между окружностью круга и его диаметром. С начала 19-го века (наиболее вероятно с середины 18-го века), это было обозначено греческой буквой «π». Это некоторые известные вещи о пи, но как насчет вещей, которые ты не знаешь? Хотите узнать некоторые неизвестные факты об этом интересном номере? Давайте наполним вас некоторыми интересными фактами о числе Пи. 11. Ваши банковские реквизиты можно найти в пи Что ж, мы знаем, что число Пи является иррациональным числом, то есть его десятичное представление может длиться вечно. Технически, каждое возможное число, которое вы можете придумать, находится где-то в нем. Это включает в себя ваш контактный номер, дату рождения, номер вашего шкафчика и даже ваши банковские реквизиты. Более того, если у нас будет достаточно цифр, использование алгоритма, который может преобразовывать числа в буквы, позволит нам найти Библию, полное собрание сочинений Шекспира и Чосера или любую книгу, когда-либо написанную. 10. Использует в навигации Пи играет важную роль в системах наведения, установленных на спутниках и космических станциях. Из всего, навигация в космосе на самом деле требует высокой точности. Для каждой вычисляемой десятичной цифры мы получаем большую точность. Но насколько мы должны быть точными, чтобы все работало правильно? Сьюзан Гомез из НАСА, управляющего Международной космической станцией по навигации, навигации и управлению (GNC), сообщает, что в большинстве расчетов с использованием Пи используются 15 цифр для GNC и 16 цифр для космической интегрированной системы глобального позиционирования / инерциальной навигационной системы (SIGI). 9. Истинная площадь круга никогда не может быть известна Только в начале 18-го века мы смогли доказать, что число впервые является иррациональным числом. Может показаться привлекательным видеть Пи как просто соотношение между окружностью и диаметром, но оно всегда иррационально (диаметр - это целое число, тогда окружность - нет). Это означает, что мы никогда не сможем узнать фактическую окружность и, в конечном счете, площадь круга. 8. Игла Буффона Игла Буффона или просто проблема с иглой в вероятности была впервые указана Жоржем-Луи Леклерком, графом де Буффоном, в 18-м веке, когда падение иглы на лист, отмеченный линиями, определит вероятность того, что игла пересечет линию на странице. Важно отметить, что вероятность результата эквивалентна значению числа Пи. Давайте разберемся с этим. В этом случае на самом деле есть две переменные: угол наклона иглы, давайте присвоим ему символ тета (θ) и расстояние между ближайшей линией и центральной точкой иглы. Тета может варьироваться от 0 ° до 180 °, который измеряется параллельно нарисованным линиям. Выяснилось, что вероятность того, что игла прорежет линию при посадке, составляет ровно 2 / Пи или почти 64%. Это означает, что число Пи можно как-то рассчитать, используя технику Буффона, если у кого-то будет достаточно времени и терпения, чтобы пройти все симуляции. Чтобы понять это намного лучше, вы можете попробовать это. 7. Отношения между извилистыми реками и Пи У Пи неожиданные отношения со многими явлениями в этом мире, включая извилистые реки. Как? Что ж, путь любой реки в основном описывается ее извилистостью, способностью изгибаться, перемещаться назад и вперед по ее пойме. Математически говоря, это длина извилистого пути, деленная на длину реки от начала до конца. Оказывается, что средняя река имеет извилистость числа Пи независимо от ее длины или количества поворотов на своем пути. 6. Преобразование Фурье и обработка сигналов Пи играет еще одну очень важную роль в области «обработки сигналов». Это просто анализ, синтез и модификация сигналов. Но здесь действует сложная система. Эта сложная система представляет собой «преобразование Фурье», которое преобразует сигналы в частотный спектр. Мобильный телефон каждого, будь то его андроид или iPhone, выполняет преобразование Фурье, когда он связывается с местной сотовой вышкой. Кроме того, формула оценивается вашим мобильным телефоном в цифровом виде с помощью определенного алгоритма, известного как «быстрое преобразование Фурье» или «БПФ», который был открыт математиками в 1950-х годах. Важно отметить, что каждый процесс включает в себя число π. Так что технически, есть определенное значение Пи где-то в вашем телефоне, будь то простой или смартфон. 5. Распределение вероятностей Пи также играет важную роль в нормальном распределении вероятностей. Без сомнения, вы сталкивались с таким распределением вероятностей не один, а много раз. Они важны и часто используются в различных областях исследований, включая математику, физику и общественные науки. Это то, что вам нужно, от прогнозирования результатов теста ученика до измерения отдаленных сверхновых звезд. Это правило большого пальца: всякий раз, когда вы видите, как Пи подкрадывается где-то в любом уравнении, убедитесь, что где-то в этом спрятан круг. В этом случае Пи вводится через интеграл Эйлера – Пуассона, который содержит квадратный корень из Пи. 4. Проблема с лентой Предположим, вы хотите обернуть вокруг Земли ленту на экваторе, длина окружности которого составляет 24 900 миль (идеальная сфера). Теперь попытайтесь выяснить, сколько потребуется ленты, которая могла бы окружить Землю на расстоянии одного дюйма над ее поверхностью. Можно легко подумать, что для этого потребуется огромное количество ленты. Но на самом деле это не так. Мы расскажем вам, как. Еще раз предположив, что Земля является идеальной сферой, у нас будет круг с окружностью 24 900 миль (на экваторе). Это означает, что радиус будет 24 900 / (2 * пи) или примерно 3963 миль. Теперь вторая лента, на дюйм выше поверхности Земли, будет иметь радиус на один дюйм больше радиуса Земли, что дает нам уравнение C = 2 Пи (r + 1) или C = 2 Пи (r) + 2 Пи. Отсюда можно сказать, что окружность второй ленты увеличится на 2Пи. Фактически, независимо от того, какой первоначальный радиус увеличивает радиус, всегда будет 2Пи. 3. Последовательность Фибоначчи и вычисление числа Пи Долгое время вычисления числа Пи основывались на двух методах: первый был разработан Архимедом, а второй был разработан Джеймсом Грегори, шотландским математиком в 1671 году. Однако оказывается, что последовательность Фибоначчи также может быть эффективно использована для вычисления значение Пи. Последовательность Фибоначчи - это числовая последовательность, в которой число создается или определяется путем добавления двух чисел перед ним. Последовательность начинается с 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и продолжается бесконечно. Поскольку арктангенс 1 равен Пи / 4, переставляя уравнение в arctan (1) * 4 = Пи, мы также можем продемонстрировать Пи в терминах чисел Фибоначчи. 2. Самый первый расчет Считается, что Пи был первоначально открыт древними вавилонянами около 4000 лет назад. Согласно Rhind Papyrus, древние египтяне вычислили значение Пи как приблизительно 3.1605. Но первый зарегистрированный метод для вычисления значения числа Пи был разработан греческим математиком Архимедом Сиракузским в 250 году до нашей эры. Архимед грубо рассчитал площадь круга, найдя области двух отдельных многоугольников правильного размера. Один был вписан в круг, а другой - внутри того круга, в котором он был очерчен. Таким образом, два полигона обеспечивали верхнюю и нижнюю границы площади круга (фактическая площадь круга лежит между областями вписанных и описанных многоугольников). Архимед знал о том факте, что он не обнаружил фактическое значение Пи, а лишь приблизительное значение в этих пределах. Таким образом, Архимед показал, что число Пи между 3 1/7 и 3 10/71. Этот алгоритм строго использовался учеными и инженерами на протяжении 1000 лет, из-за чего даже сегодня его иногда называют «постоянной Архимеда». 1. Скрытая связь между квантовой механикой и Пи Физики недавно обнаружили связь между многовековой известной математической формулой Пи и квантовой механики, которая скрывалась годами. Это было в 1665 году, когда известный британский математик Джон Уоллис представил свою собственную версию формулы вычисления Пи. Исследователи из Университета Рочестера считают, что они нашли ту же формулу, скрывающуюся при расчете энергетических уровней атома водорода. Краткие факты С 1998 года, каждый год 14 марта, научное сообщество празднует день Пи. Этот конкретный день был выбран из-за его соответствия с 3.14, который является пи значение. Первое широко посещаемое празднование дня пи было организовано физиком Ларри Шоу. Интересно, что Альберт Эйнштейн родился 14 марта 1879 года. В 2002 году группа японских исследователей из Токийского университета вычислила 1,24 триллиона цифр числа пи, используя мощный суперкомпьютер Hitachi SR 8000, побив все предыдущие рекорды. По мнению некоторых математиков, вместо того чтобы называть его Безугловым, гораздо правильнее сказать, что круг имеет бесконечное число углов.

Источник: New-Science.ru https://new-science.ru/15-interesnyh...zhno-ne-znali/

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://www.youtube.com/watch?v=DxntHp7-wbg

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://dzen.ru/video/watch/642363af...6119b9be34?t=4

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://dzen.ru/a/ZDgb4ksmMVOkRq59
Революция чисел: как математика победила философию и стала царицей наук


Галилео Галилея преследовала инквизиция, сделав его пленником до конца жизни. Думаете, только из-за того, что он настаивал, что Солнце вращается вокруг Земли, а не наоборот? На деле его преступление было куда серьезнее: он доказал, что можно просчитать явления, доселе известные одному только Богу. Рассказываем, как математика из маловажного прикладного ремесла превратилась в царицу наук и как Галилей устроил ей пиар-кампанию.
Мы привыкли говорить о научной революции, что положила конец темному средневековому невежеству и открыла дорогу разумному, свободному от суеверий познанию мира. Мы представляем себе благородный образ Джордано Бруно, восходящего на костер, но не отрекшегося от истинной идеи множественных миров-галактик; Коперника, спасающегося от преследований закоснелых клириков; затравленного инквизицией Галилея, произносящего на смертном одре знаменитые слова: «И всё-таки она вертится».
Одним словом, говоря «научная революция», мы воображаем славную победу благородных рыцарей разума над темными предрассудками, как правило, связанными с религией, которые веками тормозили прогресс.





Увы, в знакомом нам школьном переложении эти истории сильно упрощены и всё еще покрыты плотным налетом позитивизма.
Позитивизм — философское течение, возникшее во второй трети XIX века. Этот термин происходит из историко-философской теории Огюста Конта: «позитивное мышление» — синоним «научного мышления», которому Конт противопоставлял религиозное и метафизическое мышление.Расцвет позитивизма связан с деятельностью первого и второго Венского кружка, куда входили такие фигуры, как Карл Поппер, Бертран Рассел, Рудольф Карнап и другие. К ключевым идеям позитивизма относятся:прогрессивная концепция истории, в частности истории науки;
противопоставление научного и ненаучного мышления,
вера в объективный характер научного знания.

Если углубиться в подробности, оказывается, в действительности всё было не столь просто и однозначно, вплоть до того, что некоторые историки науки и вовсе спорят с тем, что в XVII веке вообще случилась революция.
Не доходя до крайностей, стоит согласиться с тем, что деление на черное и белое, которое предлагает олдскульная интерпретация научной революции, поверхностно и не очень правильно.

И «революционеры», и их противники — обе стороны опирались на определенную логику, и по связности и последовательности аргументов логика античного или средневекового знания едва ли уступала нововременной. Поэтому, если и можно говорить о научной революции в XVII веке, то ее суть заключается, скорее, в перемене логики, сообразно которой производится научное знание.
Последние десятилетия среди историков и социологов науки стало модным подразумевать под такой «логикой» не только и не столько способ формирования научных утверждений, но и то, что в самом широком смысле можно назвать контекстом, в котором они формируются.
Например, Аристотель определяет научное высказывание как результат дедуктивного доказательства. Для позитивизма научное высказывание — это высказывание, которое описывает некоторое положение дел, имеющее место в мире, или же логически следует из такого высказывания.
Контекст включает различные учреждения, социальные отношения, политические и экономические интересы, идеологию — в этом списке не последнее место занимает и то, что мы могли бы назвать преднаучным видением мира. Таким образом, содержание того, что называют научной революцией, оказывается неисчерпаемым.
Последние сто лет эту тему с аппетитом обгладывают историки науки — от блистательного Александра Койре до современных исследователей Стивена Шейпина и Питера Деара, у которых недавно на русском языке вышла книга «Научная революция как событие».
Александр Койре (1982–1964) — крупнейший французский философ и историк науки русско-еврейского происхождения, оказавший большое влияние на последующих мыслителей, в том числе на Томаса Куна. В центре его исследовательских интересов были основные события и персонажи в науке Нового времени: Кеплер, Галилей, Декарт, Ньютон и др.
Койре впервые сформулировал идею научной революции как смены картины мира: всякая научная теория опирается на метафизические основания, таким образом, за сменой фундаментальных научных теорий всегда обнаруживается противостояние различных метафизических допущений. Эта идея резко противопоставлялась позитивизму Огюста Конта, согласно которому научное мышление конкурировало с метафизическим, пока в XVII веке, наконец, не заняло доминирующую позицию.
Среди множества аспектов Научной Революции мы хотели бы сосредоточиться на идее математического описания природы и той исключительной роли, которую довелось сыграть Галилео Галилею в продвижении этой идеи.
Математическая физика: есть ли место сомнениям?

Каждому, кто учился в школе, хорошо знакома задачка про снаряд, проходящий расстояние S за время t с начальным ускорением a. Не казалось ли нам тогда странным, что траектория движения снаряда изображается в виде параболы, вернее, в действительности описывает параболу?
Как получается, что движение материального предмета как-то связано с абстрактной математической сущностью, которую никак не ожидаешь встретить в природе?

Поясним суть этого вопроса. Из наблюдений мы могли заметить, что запущенный снаряд действительно описывает в своем движении кривую, напоминающую график функции вида f(x)=√x.Так как же случилось, что эту математическую абстракцию стали использовать для описания движения снаряда?С другой стороны, мы могли бы взбесить школьного учителя физики еще пущим непониманием: почему физическое движение описывает вполне определенную математическую кривую? И почему снаряд сперва замедляет движение, а потом с какого-то момента начинает ускоряться?Терпеливый учитель ответит, что сперва на снаряд действует сообщенный в начале движения импульс, который постепенно иссякает, за счет чего снаряд сначала теряет ускорение; далее на него действуют уже только силы гравитации (и трение воздуха, которым можно пренебречь), и мы подставляем в формулу расчета движения константу g = 9,8 м/c² вместо данного значения a.Допустим, что так, отвечаете вы, но почему, когда импульс иссякает, тело продолжает лететь по наклонной, а не просто падает вниз?«Потому что есть первый закон Ньютона о движении тел в инерциальных системах отсчета, формулировку которого вы все должны выучить наизусть к итоговой контрольной», — последовал бы порядком раздраженный ответ.Но чтобы уж совсем довести негодующего учителя до точки кипения, вы прибавите: почему нам никогда не дается в условиях задачи масса летящего снаряда, как будто она вовсе не важна; ведь всякий, кто кидал в своей жизни камень, знает, что средний камень полетит дальше, чем очень маленький или очень большой?Весьма вероятно, что учитель счел бы вас дураком или саботажником и не удостоил бы такую провокацию сколь-либо серьезным ответом. И был бы, наверное, неправ.Действительно, все эти вопросы вполне резонны, и, помимо живого критического мышления вопрошающего, они обнаруживают еще и то, что математическое описание природных явлений отнюдь не само собой разумеется.
Математика и физика долгое время существовали порознь, и их воссоединение происходило не без сложностей и случайных перипетий.

Первое законнорожденное дитя этого союза, «Математические начала натуральной философии» Ньютона, появляется на свет в 1687 году.
Менее чем за столетие до этого знаменательного события никто и помыслить не мог, что слова «математика», «философия» и «начало» могут быть связаны в таком порядке. Что же произошло?
Кому нужна математика в позднем Ренессансе

Чтобы понять, что произошло, пожалуй, стоит начать с того, что было непосредственно перед, и прояснить, что представляло собой математическое знание на рубеже XVI–XVII веков: кто, где и для каких целей занимался математикой?


Математика в университетах

Прежде всего, математические дисциплины — арифметика, геометрия, астрономия и гармоника (так называемый квадривиум) — традиционно включались в университетское образование наряду с «гуманитарным тривиумом», куда входили риторика, логика и грамматика. Вместе они составляли «семь свободных искусств», освоив которые, студент мог выбрать один из трех путей: теология, право или медицина.
Ко времени студенчества Галилея эта система уже перестраивалась: и дисциплинарное деление разветвилось, и выбирать теперь приходилось с самого начала обучения.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Так, Галилею, впервые отправившемуся в Пизанский университет, была предназначена карьера медика, однако в скором времени он перенаправил свой интерес в другую область. Уже на втором году обучения он «сменил специальность» и стал изучать математику.

Математическое знание, распространявшееся в университетах, опиралось на древнюю и респектабельную традицию, ведь корпус математических дисциплин — квадривиум — был сформирован еще пифагорейской школой в VI веке до н. э. Галилею, как студенту университета, безусловно, были хорошо знакомы труды античных математиков, таких как Евклид и Евдокс; особенно важное влияние на него оказал Архимед.
Стремящаяся к четко сформулированным принципам и строгой дедуктивной доказательности, математика зачастую оценивалась как дисциплина, задающая образец научности, а то и вовсе единственная область, к которой применим термин «наука» в собственном смысле.
Средневековый математик Роберт Гроссетест настаивал на том, что лишь математика достойна называться наукой, коль скоро только математическое знание, опирающееся на строгое доказательство, вполне достоверно.

С одной стороны, такая точка зрения имеет веское этимологическое обоснование: латинское слово scientia, по сути, представляло собой неологизм, изобретенный Боэцием в его латинском переводе логических трактатов Аристотеля, и буквально означало «знание, полученное из дедуктивного доказательства».
С другой стороны, такое отношение к математике отнюдь не было бесспорным и общепринятым, и высказывалось в основном самими математиками. Более того, к концу XVI века — пример Галилея весьма красноречиво о том свидетельствует — математика не пользуется большим почетом в ученых кругах. Это проявляется как в том, что в университетах под кафедру математики отводилось куда меньше мест, чем для той же кафедры медицины или права, так и в том, что жалованье преподавателей математики было значительно более скромным, чем жалованье их коллег с медицинского или юридического факультетов.
Математика в школах счетоводов

Другая традиция относится к так называемой школе абака, или, как мы могли бы сказать, выражаясь современным языком, «бухгалтерскому делу». Несколько менее древняя, чем университетская, эта традиция укоренилась в Средние века и сыграла немаловажную роль в дальнейшем развитии математики.
Прежде всего, средневековые счетоводы достигли значительных успехов в сложных вычислениях, используя при этом более удобные арабские знаки, существенно облегчающие ведение счета по сравнению с римскими.
Благодаря традиции счетоводов появились некоторые новые элементы арифметики. Так, в «настольной книге» счетоводов авторства итальянского математика Леонардо Пизано, известного как Фибоначчи (ок. 1170–1250), введены в оборот отрицательные числа, которые использовались для обозначения задолженностей. Примечательно то, что именно это определение используется (но уже в качестве метафорического представления отрицательных чисел) математиками Нового времени, такими как Жирар или Эйлер, которые бились над проблемой теории чисел, адекватной не только для натуральных, но также для мнимых и отрицательных.
В этом пункте проявлялась очень важная особенность теоретической математики, которая отличала ее от практического знания, которое развивалось в школе абака.
Счетоводы умели составлять изощренные алгоритмы вычислений, которые позволяли достичь более или менее точных результатов, однако точность вычислений всегда ограничивалась практической целесообразностью и не требовала фундаментальных теоретических оснований и обобщений.

Этой особенностью отличалось и всякое практическое применение математики: знания и умения инженеров и механиков позволяли решать сложные и нетривиальные задачи, но в то же время они не требовали ни абсолютной точности, ни теоретических основ. Это, безусловно, разделяло, с одной стороны, математику счетоводов и механиков и, с другой, университетскую математику.
Математика в мастерских художников

Наконец, математика представляла собой одну из многочисленных областей, на которую распространялся интерес художников (зачастую совмещающих в себе еще умения скульпторов и архитекторов) эпохи Возрождения.
Взаимодействие художников и математиков имело важные последствия для обеих сторон. Для художников интерес к математике был связан прежде всего с темой идеальных соотношений, будь то пропорции человеческого тела (вспомним знаменитого «Витрувианского человека» Леонардо) или архитектурного объекта.
Наука позволяла мастерам решать технические задачи. Например, строительство гигантского купола Флорентийского собора представляло для Брунеллески не только и не столько эстетическую, сколько нетривиальную техническую задачу. А также помогала разрабатывать линейную перспективу — технику изображения трехмерного пространства на плоскости.

В итальянской живописи первые значительные шаги в этом направлении были сделаны аж в XIII веке, а к концу XV века эта техника достигла совершенства.
С другой стороны, не одним автором высказывалось вполне правдоподобное предположение о том, что именно концепция линейной перспективы в конечном итоге перевернула привычное представление о математических объектах.
С самого момента ее зарождения как науки было естественно считать, что геометрия описывает закономерности умозрительного пространства — именно поэтому геометрия с ее идеальными объектами и их соотношениями была свободна от кажимостей, иллюзий и непостоянства видимого.

Линейная перспектива впервые объединила то, что всегда раньше считалось несовместимым, ведь она представляла собой действительный пример геометрического описания физического пространства — таким, как оно воспринимается нашим зрением.
Таким образом, на рубеже XVI–XVII веков в преддверии научной революции математическое знание обладало огромным техническим и интеллектуальным потенциалом. Математика находила применение в самых различных областях от ведения бухгалтерских счетов до военной инженерии, от астрономических расчетов до гидромеханики.
Вместе с тем одной лишь точности сложных вычислений и практической пользы было недостаточно, чтобы заключить законный союз с одним из отпрысков Аристотеля — физикой, или, как ее тогда принято было называть, натуральной философией.

Математика пока еще занимала весьма скромное положение в системе знаний; чтобы воплотить этот потенциал, было необходимо изменить статус математики и математиков.
Математики XVI века: непрестижная профессия

История Галилея — во многом история того, как изменялся статус математики и математиков. Удивительно, что такое значительное изменение было возможно в столь короткий срок. В самом деле, всё случилось благодаря очень счастливому стечению обстоятельств: человек редких талантов — прозорливый, хитрый, красноречивый, невероятно амбициозный и умеющий поладить с полезными людьми — оказался в нужном месте в нужное время, а именно, в Италии второй половины XVI — начала XVII века.
Здесь многие вертикальные и горизонтальные границы, продолжавшие существовать со времен Античности и Средневековья, обрели ту гибкость, которая открывала возможность для импровизаций и перемен.
Так, к примеру, три сферы — университеты, школы абака и мастерские художников — различались, с одной стороны, с точки зрения подхода к математическому знанию, с другой —в плане статуса, который приписывался каждой из них в соответствии с общей оценкой теоретической и практической деятельности, характерной для Ренессанса. При этом, как ни странно, не существовало непреодолимой границы, которая отделяла бы их друг от друга.
В наше время было бы сложно представить себе дипломированного бухгалтера, который преподает высшую математику на механико-математическом факультете Московского университета и занимает свой досуг расписыванием стен в домах церковных или светских олигархов.

Между тем пример Пьеро делла Франческа (1415–1492) — художника и автора математических трактатов, посвященных как теоретическим вопросам, так и предназначенным для счетоводов и живописцев (Trattato d’Abaco, Libellus de Quinque Corporibus Regularibus, De Prospectiva Pignendi), если не был типичным в контексте творческой и интеллектуальной культуры Возрождения, то, во всяком случае, не представлял собой редкое исключение. Гибкие социальные рамки, возможность перемещаться из одной сферы в другую — вот что было главным триггером, как в истории Галилея, так и в истории математики.
Какое знание — такой ученый

Как же была связана карьера Галилея и судьба математики?
Начнем с того, что рамки и ступени иерархии описывают не только социальную действительность. Ни у кого не вызывает удивления, что сельский пастор скромнее епископа, пекарь — не ровня графскому камергеру, а герцогу негоже вести светскую беседу с пастухом. В кругу ученых и интеллектуалов также существует иерархия.
Доктор теологии не станет интересоваться аргументами ботаника за и против бесконечность мира, а философ точно не будет снисходить до бесед о причине движения небесных тел с механиком или инженером.

Но кроме того, сами науки разделяются на более значимые и менее значимые: знание видов трав и деревьев несопоставимо со знанием логических закономерностей; знание счета, пусть даже речь идет об очень сложных вычислениях, нельзя поставить на одну доску со знанием причин того, почему мир такой, какой он есть. Математик не ровня философу, так же как математическое знание не чета философскому знанию.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Конечно же, взаимосвязь между оценкой знания и престижем ученого не была отличительной чертой только лишь Нового времени и позднего Ренессанса — мы легко можем проследить ее и в современной действительности. Что на самом деле отличает современность от той эпохи, так это порядок, в котором дисциплины выстроены в иерархию, а также критерий, в соответствии с которым происходит это распределение.
Так, для современной картины, во-видимому, главный критерий — это практическая полезность, точнее, коммерциализуемость, даже если в ближайшей перспективе таковая не усматривается. Недаром многие исследователи в области фундаментального знания, отвечая на вопрос о ценности своих научных изысканий, сперва произнесут бессмертное «знание ценно само по себе», а затем прибавят, что фундаментальные знания накапливают резерв, который впоследствии может быть (в идеале должен быть) задействован для технических и коммерческих проектов.
И вот перед нами набросок современной действительности: на верхушке рейтингов оказываются такие учреждения, как Массачусетский технологический институт, фундаментальное знание защищается оговорками о грядущей полезности, а гуманитарные науки и вовсе претерпевают не лучшие времена.

Совершенно иную картину представляет поздний Ренессанс с характерной для него иерархией дисциплин, а также принципом, организующим эту иерархию. А именно: на рубеже XVI–XVII веков ценность интеллектуального занятия (да и всякого занятия вообще) была сопряжена, во-первых, с ценностью его предмета, во-вторых, со степенью достоверности суждений, в-третьих, с теми источниками и инструментами, с помощью которых производились суждения.
Истина: вера или знание?

В плане ценности своего предмета (Бога и божественной природы) и источника основных идей (святого писания) теология оказывается на самой вершине иерархии.
Утверждение о том, что суждения теологии обладают наибольшей достоверностью, современному человеку покажется по крайней мере странным. На самом деле, это утверждение опиралось на довольно убедительные доводы.

Теологический догматизм, который впоследствии станут представлять как одиозного антагониста науки, во многом исходил из идеи принципиальной ограниченности наших познавательных способностей. Следствие тому — неизбежная неточность и условность нашего знания о мире.
На самом деле, теперь, когда бахвальство и самонадеянность Просвещения за несколько веков успели приутихнуть, эта идея не кажется столь уж возмутительно неправильной. Абсолютная истина не может быть обоснована или объяснена, так как она превосходит наш разум, а потому непреложная истина может быть лишь объектом веры, а не знания. Знание, в свою очередь, нуждается в обосновании и может быть поставлено под сомнение. Следовательно, достоверность его всегда условна.
Философия: знание о мире

Если теология ведала вопросами «о границах мира»: конечен или бесконечен мир, как помыслить начало времен и что ему предшествовало, как совместить идею божественного всеведения и человеческой свободы — то философии досталась более скромная, но всё еще очень почетная епархия внутримировых проблем. Сюда относятся вопросы устройства космоса, проблемы морали и нравственности, справедливого правления.
Философское знание, как видно уже из простого перечисления его разделов, имело всеобщую значимость, ведь его главной задачей было описать, как устроен мир и как в нем следует действовать.

Безусловно, религиозные и теологические догмы составляли опору для производства подобного рода знания, но основным инструментом, с помощью которого оно добывалось, был разум — инстанция весьма уважаемая, но оставляющая место для разночтений.
В наши дни философии отведено место среди гуманитарных дисциплин, к которым в известных кругах считается сомнительным применять слово «наука», во всяком случае, без снисходительного пояснения: science humaines или social sciences, — в то время как само слово “science” закреплено за естествознанием, главным инструментом которого является математика. Совершенно иная ситуация имела место вплоть до середины XVII века.
Философия была синонимом знания и включала в себя физику (натурфилософию) как один из разделов наряду с естественной историей, этикой и политической теорией, которые впоследствии разделились на два лагеря: естественные и гуманитарные науки.



Технарь — он и в XVI веке технарь

Где же находилось место математике? Невероятно, но у самого подножия интеллектуальной пирамиды.
Строго говоря, математические дисциплины и науками-то не считались.

Ведь что есть наука и чем она отличается от ремесла? Со времен античности отличие состояло в том, что, во-первых, науке необязательно быть полезной и, во-вторых, научное знание — это знание достоверное в том смысле, что оно может быть логически обосновано; в то время как знание d’artisan — ремесленников, художников, музыкантов — всегда направлено на то, чтобы улучшить и облегчить нашу жизнь с ее обыденными нуждами или, по крайней мере, сделать ее приятнее. Такое знание не нуждалось в доказательстве, было достаточно того, что оно работает на практике. Сюда относились математики — впрочем, математик математику рознь.
Вполне устоявшимся было разделение «небесной» и «земной» математики (излишне уточнять, которая из них считалась более «высокой», а какая — более «низкой). Превосходство небесной математики (или, проще говоря, астрономии) над земной (механикой и инженерным ремеслом) опирается в первую очередь на идею принципиального различия между небесными и земными явлениями.
Этот пункт, опять же, отсылает к канонам аристотелевской физики, предусматривавшей разные типы закономерностей для надлунного и подлунного миров, а также разного рода материю, из которой, как предполагалось, состоял один и другой. Коль скоро космос устроен наиболее совершенным образом, и небесные явления сами по себе отличаются большей регулярностью и упорядоченностью, то более точным оказывается и их математическое описание — по сравнению с математическим описанием куда более хаотичных земных явлений. Последние носили частный и заведомо приблизительный характер и часто служили вполне определенной практической цели.
Таким, например, было описание движения снаряда, предложенное итальянским математиком Никколо Тарталья (1499–1557). Перед ним стояла конкретная задача: просчитать, под каким углом следует запускать пушечные снаряды, чтобы они проходили наибольшее расстояние, обстреливая турецкие военные корабли, угрожавшие северу Италии. Итогом трудов Тартальи стала идея о параболической траектории движения снаряда и общее описание его ускорения, которые знакомы каждому современному школьнику. Однако для его современников эта идея, хотя и имела огромную практическую важность, всё же не обладала ни общезначимостью, ни познавательной ценностью.
В этом смысле земная механика еще долгое время уступала небесной, что, конечно, также проявлялось в отношении к профессиям астронома и инженера.
Галилей: дайте мне титул — и я переверну мир

Издание «Звездного вестника» в 1610 году было знаменательным событием — как в жизни Галилея, так и в истории науки. В книге описываются результаты астрономических наблюдений Галилея.
Разглядывая небесные тела через свой телескоп, он обнаружил удивительные вещи, никак не согласующиеся с бытовавшими на тот момент представлениями: на поверхности Солнца появляются пятна; поверхность Луны испещрена кратерами; Венера, подобно Луне, проходит фазы, а вокруг Юпитера вращаются четыре спутника!

Между тем аристотелевско-птолемеевская модель космоса описывает небесные тела как идеально гладкие сферы и предполагает, что Земля — это единственный центр, вокруг которого вращаются все прочие тела в мире.
Возражений могло быть (и было) предъявлено огромное число. Начать с того, что телескоп направлялся лишь на земные объекты и никогда ранее — на небесные, заканчивая тем, что увиденное можно интерпретировать иначе: те же пятна на Солнце вполне могут быть планетой, появляющейся на фоне Солнца. В конце концов, можно было вовсе не делать большой шумихи вокруг «Звездного вестника» и через пару лет спокойно забыть и о книге, и об ее авторе — каком-то математике из Падуи.
Но Галилей провернул то, что теперь бы назвали гениальной пиар-кампанией: он посвятил «Звездный вестник» великому герцогу Тосканскому — Кoзимо II Медичи. Он преподнес дар, требовавший ответного жеста, причем дар символический, ведь Юпитер был символом дома Медичи, а четыре спутника были представлены Галилеем как символизирующие Козимо II и его троих братьев.

Ответный жест последовал: Галилей был приглашен ко двору Медичи и удостоен титула философа и математика великого герцога. После такого хода никто уже не мог ни игнорировать его открытия, ни опровергать их простым недоверием к точности телескопа.
Это событие стало переломным в жизни Галилея еще и потому, что полученный им титул уравнивал его в правах с философами «по образованию»: отныне он мог высказывать свою точку зрения об устройстве космоса, проблемах естествознания и быть услышанным.
Галилей позиционировал свои теории как истинные, тем самым компрометируя идею об ограниченности человеческого разумения по сравнению с божественным, которая, как мы помним, принималась теологами.

Вопреки расхожему мнению, именно в этом пункте заключалась суть обвинений в адрес Галилея в ходе знаменитого инквизиционного процесса: возмущение Урбана VIII было связано не столько с тем, что Галилей отстаивал Коперниканскую модель мира в ущерб Птолемеевской, сколько с той категоричной формой, с которой тот настаивал на ее истинности, и в более общем виде, с его уверенностью в том, что установление абсолютной истины об устройстве мира вообще возможно.
Это означало приравнивать человеческое разумение к божественному, и основание для подобных притязаний как раз было сформулировано в знаменитом изречении Галилея: «Книга природы написана на языке математики».
Иными словами, усматривая математическое описание физического явления — коль скоро оно схватывает его подлинную сущность, — мы ни много ни мало примеряем на себя видение самого Божественного Творца.

Должно было пройти еще полстолетия, пока подобные идеи станут частью sense commun (фр. «здравый смысл») а до тех пор, в первой трети XVII века, в лучшем случае они могли быть восприняты как nonsense, в худшем — вызвать скандал.
Авторитет Аристотеля, хоть и уступающий религиозным авторитетам, имел достаточный вес, чтобы сдерживать притязания математики в вопросах мироустройства. В мире физических явлений, говорил Аристотель, мы наблюдаем качественные изменения, математика же оперирует категорией количества. Потому, хоть математические описания могут иметь приложение в физике и приносить практическую пользу, они, тем не менее, не могут иметь теоретической значимости, так как не приносят знания об истинной природе вещей.
Галилей отнюдь не был оригинален в своих попытках описывать движение свободно падающего тела через соотношение катета прямоугольного треугольника и его площади. Новаторство его подхода заключалось в том, что он отказывался связывать приблизительность этих расчетов с условной применимостью математических моделей к физическим явлениям.



Вместо этого он объяснял приблизительность математических описаний тем, что подлинная сущность видимых явлений всегда скрыта, и ее постоянство может усматриваться лишь умозрительно, а не через чувственное восприятие. Таким образом, настаивал Галилей, именно математика должна стать основой достоверного знания о природе.
Так, пожалуй, впервые начала обретать форму наука, известная нам как математическая физика.

По остроумному замечанию одного из современных авторов, ко времени, когда Галилей поступает на службу к Козимо II, математика, вероятно, последний раз в истории находилась в более низком положении, чем философия — знание о началах всего сущего.
В самом деле, пройдет чуть меньше века, и началом начал станет математика.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Математик решил ключевую задачу ленты Мебиуса



Ученые бились над ней с конца 70-х годов прошлого века.





























Лента Мёбиуса — занимательный математический объект. Для их создания достаточно взять полосу бумаги, сделать в ней один поворот и соединить концы. Несмотря на простоту ее формы, свойства этих фигур заставляют математиков более 150 лет искать ответы на сложные вопросы, касающиеся их структуры.

Только на протяжении последних 50 лет математики ломали голову над обманчиво простым вопросом: какова минимальная длина полосы бумаги, необходимая для создания ленты Мёбиуса без самопересечений? Этот вопрос был поставлен в 1977 году математиками Чарльзом Сидни Уивером и Бенджамином Риглером Халперном.

Ученые предположили ограничение для лент Мёбиуса: соотношение между длиной и шириной бумаги должно быть больше √3, или значением около 1,73. То есть, к примеру, полоса длиной в один сантиметр должна быть шире, чем √3 или 1,73 сантиметра. Несмотря на предположения, ученые не могли доказать свою теорию.

Ричард Шварц, математик из Университета Брауна (США), сказал, что он заинтересовался лентой Мёбиуса после того, как узнал о ней четыре года назад во время разговора с коллегой. На протяжении многих лет он предпринял несколько попыток решить эту задачу, и в 2021 году опубликовал статью с многообещающим подходом, который в конечном итоге потерпел неудачу.

Ученый не мог оставить эту проблему в покое и начал экспериментировать со сжатием бумажных лент Мёбиуса в надежде, что с наглядной двумерной формой на руках задачу будет проще решить. Но когда он разрезал одну из этих петель под углом (что было необходимо для решения его задачи оптимизации), он пришел к неожиданному результату.

Длина двухмерного листа бумаги не была похожа на параллелограмм, как он сообщал в своей первой статье. Скорее, это была трапеция — форма с четырьмя прямыми сторонами, из которых только две стороны параллельны друг другу. «Недавно я обнаружил, что допустил ошибку при постановке задачи оптимизации», — написал Шварц.

Он исправил свою ошибку и доказал предположение Уивера и Халперна. Результаты его экспериментов доступны в виде препринта arXiv.

Недавно математики узнали, сколько лотерейных билетов нужно для выигрыша. Оказалось, что это очень затратно.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://www.youtube.com/watch?v=we-aoLo0Ax4

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://dzen.ru/a/YktItztb013bsI6b?from_site=mail
Что такое число. Виды чисел.

5 апреля 2022
2,2K прочитали








Виды чисел

Тип лекции: обзорная; Время чтения: 5 минут;
Цель – узнать что такое число и какие бывают числа.
Зачем: это позволит не смешивать единорогов с дельфинами, а также даст возможность понимать математические определения.
Что такое число

Число – это математический инструмент, который обозначает количество "моделей". Чтобы понять, что такое модель, представьте стол с четырьмя ножками. Число 4 обозначает ножки, каждая ножка состоит из разных кусочков материала, на них свои трещинки, но важно то, что это ножки. Берём не конкретную ножку, а идеальную модель ножки. Число 4 показывает количество этих моделей.
Математика упрощает реальные объекты до идеальных моделей, отбрасывая лишнее, сосредотачивается на главном. Число это и есть идеальная модель, точнее количество этих моделей. Это дает силу понимания и мы не складываем золото с ракушками.
Также важно знать: один и тот же объект можно выразить разными числами, это зависит от наших задач. Дерево можно представить как: 1000 веток или 50000 листьев или 100 л кислорода в сутки.
Число - это количество идеальных моделей.
Виды чисел




За каждым числом стоит объект и существует разделение на разные виды чисел в зависимости:

• от задач, которые решают числа
• от предметов, которые скрывается за числами

Числовое множество

Числовое множество - диапазон чисел. Когда мы говорим о видах чисел, подразумеваем, что эти числа принадлежат диапазону чисел, то есть числовому множеству.
Принадлежность к числовому диапазону обозначается символом ∈.
Ноль принадлежит множеству целых чисел записываем так: 0 ∈ Z
Натуральные числа N

Существуют объекты, которые при делении теряют свои свойства. Разделите бутылку на части она перестанет выполнять свою роль: перестанет быть сосудом. Если разделить самолёт, он также перестанет выполнять свою роль: перевозить пассажиров. Автомобиль, поезд, телевизор, стул, списку нет конца. Это называется исчисляемые предметы.
Для исчисляемых предметов существует специальный вид чисел: натуральные числа. Также в натуральные числа существуют в моменте здесь и сейчас, для работы с движением во времени существуют отрицательные числа, но об этом в отдельной лекции.
Натуральные числа - это обозначение неделимых предметов "здесь и сейчас". Обозначаются символом N. Другое определение: Натуральные числа - это целые положительные числа от единицы до бесконечности.
Целые числа Z

За целыми числами скрывается исчисляемые предметы, то есть те, которые теряют свои свойства при делении, но эти числа уже не ограниченные настоящим временем: могут описывать движение предметов во времени. Отсюда и возникает диапазон отрицательных чисел. Подробно о том, что такое отрицательные числа мы поговорим в соответствующей лекции.
Целые числа - это натуральные числа, ноль и целые отрицательные числа. Обозначаются символом Z.
Рациональные числа Q

Существуют предметы, которые при делении не потеряют свои свойства: вода, воздух, зерно, свет, этот список можно продолжать без конца. Возникла потребность описывать маленькие части и здесь приходят на помощь дробные числа.
Рациональные числа - это целые числа и не целые, которые можно представить в виде дроби. Можно представить в виде дроби m/n, где m - целое число, n - натуральное число и n ≠ 0. Обозначаются символом Q. Рациональное число можно получить благодаря четырём арифметическим операциям: сложение, вычитание, умножение и деление.
Иррациональные числа I

Некоторые предметы зависят от других. В равнобедренном прямоугольном треугольнике со стороной равной 1 гипотенуза будет равна √2.
Если мы попытаемся извлечь корень, то получим число с бесконечным количеством знаков после запятой: 1.4142135623730951. Эти знаки будут не периодичны, то есть непредсказуемыми.
Иррациональные числа - это дробные числа, которые нельзя выразить дробью. Обозначается символом I. К иррациональным числам также относятся число 𝜋, число Эйлера e, золотое сечение φ, все квадратные корни натуральных чисел, кроме полных квадратов.
Действительные (вещественные) числа R

Действительные (вещественные) числа - это рациональные числа и иррациональные числа. Обозначается символом R.
Комплексные числа C

Комплексные числа - это служебные числа которые, не несут за собой реального предмета, но помогают решать квадратные уравнения и другие операции. Комплексные числа - это выражения, содержащие мнимую единицу: 3х + i, 4i, y - xi и так далее. Обозначаются символом C
Мнимая единица - это √-1 и обозначается символом i. Как мнимые числа спасли математику.
Заключение



Число - это математический инструмент, количество моделей какого-то объекта. Важно понимать что скрывается за числом. Один и тот же предмет может быть выражен разными числами зависимости от нашей задачи.
Числовое множество - диапазон чисел.
В зависимости от задач и объектов, которые скрываются за числами, числа делятся на следующие числовые множества:

• Натуральные числа N
• Целые числа Z
• Рациональные числа Q
• Иррациональные числа I
• Действительные (вещественные) числа R
• Комплексные числа C

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://dzen.ru/a/Ydsl8Oe5yXYmZyWB

Почему окружность — это 360°, а не 100°, хотя это было бы логичнее (спойлер: по тому же, почему в килобайте 1024 байта)



Никогда у вас не возникал такой вопрос? А у детей возникает. Потому что с 360° возиться гораздо менее приятно для них, чем с сотней. Да и десятки с сотнями привычнее. В килограмме 1000 грамм. В метре 100 сантиметров. В 100 долларах 100 центов. Так с чего же вдруг в окружности 360 градусов?





Маленькая подсказка для тех, кто хочет дойти до этого своим умом. Причина та же, по которой в одном килобайте 1024 байта, а не 100.
Да-да, дело в системах счисления. Мы пользуемся десятичной системой счисления, поэтому нам и удобно измерять все в десятках, сотнях, тысячах и так далее.
Есть двоичная система счисления. Это наборы нулей и единиц. Назовём её условно "компьютерной". В байтах измеряют объем информации, то есть термин чисто "компьютерный", поэтому в 1 килобайте не 1000, а 1024 байта. Потому что 1024=2¹⁰.
Есть и другие системы счисления. Древние вавилоняне пользовались шестидесятеричной системой счисления. У них было 60 богов (у каждого бога своё имя и свой порядковый номер) и вообще число 60 у них было ритуальным.
Люди Вавилона наблюдали за движением Луны и Солнца по небу (чем же им ещё было заниматься?) — вот они первые астрономы — и пришли к выводу, что за один день солнце смещается относительно звезд на один шаг (иногда ещё пишут про диаметры солнечного диска, но это не совсем так). И пришли они к выводу, что полный оборот (возвращается на место, с которого начали отсчет) солнце делает за 360 шагов.


Строго говоря, это не совсем так, но вавилоняне, думается мне, решили немного подогнать (ну или реально так совпало, так как суперточных приборов не было), ведь круто же осознавать, что сам бог солнца указал им удобную меру для измерения углов на небе. А она ещё так прекрасно согласуется с их шестидесятеричной системой счисления. Иначе как чудом не назовешь. И вряд ли кто-то при таких обстоятельствах искал бы во всем этом косяк.



Короче говоря, на том и порешили, что окружность надо поделить на 360 шагов. Один шаг — это один день (да-да, дней в году тогда было 360, а не 365,25).
Прелесть того, что в окружности 360° ещё и в том, что раньше основным углом считался угол равностороннего треугольника (а не прямой, как сейчас), ибо его было проще всего построить: натягиваешь три равных по длине высушенных воловьих хвоста и готово. И какое совпадение — угол равностороннего треугольника равен 60° — идеально для шестидесятеричной системы счисления.
Потом градус разделили на 60 минут. А минуту на 60 секунд. Остается только заметить то, что окружность вмещает в себя ровно 6 углов равностороннего треугольника. Короче говоря, вавилоняне подогнали всё под свою систему, чтобы им было удобно считать в их системе счисления.
Потом без особых заморочек и перепроверок у вавилонян их умозаключения позаимствовали греки. А потом римляне. А на латинском "шаг" — это "градус". Вот и получается, что в окружности 360°. Если коротко, то во всём виноваты вавилоняне. Нет бы поделить окружность на 100 равных частей, так нет же, заморочились с солнцем, да ещё и накосячили.


По их измерениям диаметр солнечного диска (поперечник) равнялся половине шага, то есть 0,5°. Но это не совсем так. На самом деле средний диаметр солнца — 32', что при переводе в градусы равняется 5,(3)°. Вроде бы не такая большая разница, но в Валоне считали, что солнечный диск помещается на окружности 720 раз, а на самом деле 675 раз. Но переделывать уже ничего не стали, потому что все и так привыкли, так и осталось у нас 360° в окружности.
А позже аналогичным образом стали делить и циферблат часов. Так что древневавилонская шестидесятеричная система счисления до сих пор путает школьников, когда надо переводить минуты в часы, например. Скольких ошибок в контрольных можно было бы избежать, будь в четверти часа не 15, а 25 минут.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://dzen.ru/video/watch/657eebda...from_site=mail