https://dzen.ru/a/ZnzmuBvN0X8C2lhP
Тайна константы Каталана
Вчера
163 прочитали
Меня всегда восхищали бесконечные ряды или бесконечные суммы. Думаю, что многих математиков тоже. Очевидно, этот математический "вирус" стал пандемией, потому что в интернете полно статей и видео о функции дзета Римана, геометрических рядах и т.д.
Но на самом деле я считаю, что это хорошо. Чем больше распространяется этот вирус, тем больше людей влюбится в эту удивительную тему и прекрасное поле исследований. В этой статье мы рассмотрим то, что мы знаем, а также то, что мы не знаем о таких рядах. В частности, мы обсудим одну из самых простых и важных констант, о которой мы знаем почти ничего.
Эта константа называется константой Каталана и обозначается заглавной буквой G. Но прежде чем её представить, давайте немного вернемся к началу и начнем с того, что мы знаем.
Классические результаты
С середины 14 века мы знаем, что следующий ряд,
называемый гармоническим рядом, в конечном итоге "взрывается" и стремится к бесконечности по мере добавления всё большего числа членов. Это было доказано французским натурфилософом Никола Оремом около 1350 года. Фактически, частичные суммы растут примерно как натуральный логарифм - очень медленно! Но всё же до бесконечности.
Если мы заменим натуральные числа в знаменателях на простые числа, ряд всё равно будет расходиться. Однако если заменить их на близнецовые простые числа, ряд будет сходиться и даст конечное число: это означает, что плотность близнецовых простых чисел среди натуральных чисел значительно меньше плотности простых чисел.
Так гармонический ряд расходится, но если чередовать знаки между членами ряда, мы получим странный результат, а именно:
Здесь ln - это натуральный логарифм (и если вы не помните, что это такое, не беспокойтесь - это не нужно, чтобы следовать дальше).
Это первый намек на то, что чередование знаков может существенно изменить бесконечный ряд. Мы можем легко доказать это, используя разложение натурального логарифма в ряд Тейлора.
Тогда мы можем спросить себя: «Что, если рассмотреть подобный чередующийся ряд, но в знаменателях будут только нечетные числа?».
На рубеже 14 века (в зависимости от источника) индийский математик Мадхава из Сангамаграмы доказал следующий удивительный результат:
Что!? Почему здесь появляется π, спросите вы?
Действительно, π является явным признаком того, что круги каким-то образом участвуют в этом процессе. Эта красота может быть получена из разложения обратной тангенс-функции в ряд Тейлора с использованием того факта, что arctan(1) = π/4, и вот откуда берется связь с кругами.
Этот ряд назван в честь Готфрида Лейбница, который открыл его независимо от Мадхавы, но на несколько сотен лет позже.
Этот ряд важен по нескольким причинам, но не из-за его свойств сходимости. Он сходится чрезвычайно медленно.
«Для вычисления π с точностью до 10 десятичных знаков, используя прямую сумму этого ряда, требуется ровно пять миллиардов членов»
~ Википедия.
Так почему это важно?
Этот ряд и все другие ряды, которые мы рассмотрим в этой статье, принадлежат к широкой семье рядов, все из которых имеют прямую связь с простыми числами через так называемый произведение Эйлера, о котором мы поговорим чуть позже.
А теперь самое интересное. Вышеописанные результаты являются классическими и считаются элементарными (не то чтобы они не были удивительными и интересными - они такими и являются!), но оказывается, что когда мы возводим знаменатель в различные степени, всё становится ещё более интересным.
300 лет спустя…
В середине 17 века для математиков того времени была поставлена задача. Вопрос был прост: выразить следующий бесконечный ряд через комбинацию известных констант.
где числа в знаменателях - это квадраты чисел. Эта проблема стала очень известной из-за многих великих математиков, которые пытались её решить и терпели ужасные неудачи в этом процессе. Понадобилось около 100 лет попыток и неудач, прежде чем молодой и на тот момент неизвестный математик решил попробовать решить эту задачу. Его звали Леонард Эйлер.
В мгновение озарения Эйлер нашел связь между этой математической "горой" и очень известной и хорошо изученной функцией, с которой математики играли около тысячи лет: синусоидальной функцией.
Хотя современная тригонометрия зародилась в Индии в 5 веке, никто не обнаружил, что синусоидальную функцию можно записать как бесконечное произведение простых множителей. Эйлер открыл это, и это оказалось недостающим элементом головоломки.
В 1734 году Эйлер использовал это, чтобы доказать, что:
Это до сих пор считается одним из самых удивительных и красивых результатов во всей математике, и Эйлер продолжал доказывать это различными способами, чтобы лучше понять теорему. Это сейчас известно как базельская проблема, названная в честь родного города Эйлера.
Его доказательство стало всемирно известным благодаря его изобретательности и гениальному прикосновению, и в наши дни оно считается началом союза двух огромных областей анализа и теории чисел.
А где же теория чисел, спросите вы? Ну, для полного раскрытия силы этих бесконечных рядов потребовался еще один гений, но Эйлер был первым, кто показал, что существует связь между такого рода рядами и простыми числами, но об этой связи мы поговорим в другой статье.
А как насчет чередующейся версии этого ряда? Как только у нас есть результат Эйлера, несложно показать, что
Эйлер перешел к более высоким степеням и нашел удивительные результаты, которые, парадоксально, оказались зависимыми от определённых рациональных чисел, названных в честь Якоба Бернулли, который не смог решить знаменитую базельскую проблему в первую очередь.
Примером является случай, когда степень равна 4:
и, фактически, он доказал общую формулу для таких рядов, когда знаменатели являются чётными степенями.
Тайна
Используя так называемый анализ Фурье, мы можем доказать, что
что само по себе является фантастическим результатом и относится к той же категории, что и ряд Лейбница для π, описанный выше, поскольку он также чередуется и имеет нечетные числа в основаниях степеней знаменателей.
На данный момент мы собрали много доказательств. Чтобы подытожить, вот что мы рассмотрели в этой статье:
однако внимательный читатель может заметить, что в нашей головоломке не хватает некоторых частей для завершения картины. Первой недостающей частью является оценка ряда:
Это число называется константой Каталана в честь математика Эжена Каталана, который опубликовал мемуар о ней в 1865 году.
Этот ряд кажется таким же простым, как и вышеописанные, но до сих пор проблема нахождения замкнутого решения этого бесконечного ряда не решена! Более того, мы даже не знаем, является ли G иррациональным или рациональным! То есть можно ли записать G в виде дроби двух целых чисел?
G было названо:
«Возможно, самой основной константой, иррациональность и трансцендентность которой (хотя и сильно подозреваемы) остаются недоказанными»
~ Notices of the American Mathematical Society, 60 (7): 844–854.
Мы ничего не знаем об этом числе, и что самое безумное - это суперважное число по нескольким причинам. Оно является специальным значением специальной функции, известной как функция бета Дирихле, появляется в статистической механике, комбинаторике, распределении массы спиральных галактик и множестве сложных интегралов.
Как пишет Сеан Стюарт,
«Существует богатый и, казалось бы, бесконечный источник определенных интегралов, которые можно приравнять или выразить через константу Каталана.»
Два моих личных любимых примера:
и
которые кажутся настолько разными друг от друга и обоих очень простыми, но, конечно, внешность может быть обманчива. Если вы хотите стать новым Эйлером, то найдите замкнутую форму для этой константы! Тогда ваше имя никогда не забудется.
Если присмотреться еще внимательнее к нашему списку, вы заметите, что мы также упускаем ряд:
Это называется константой Апери в честь Роже Апери.
Нахождение замкнутой формы для этого ряда является еще более знаменитой проблемой, чем проблема константы Каталана. Тем не менее, мы знаем больше об этом числе в том смысле, что доказана его иррациональность. Даже Эйлер не смог найти замкнутую форму для этого числа, так что, вероятно, это сложно. Возможно, даже невозможно с нашими нынешними известными константами и методами, которые мы знаем… Возможно, даже невозможно в рамках нашей математической системы. Чередующаяся версия ζ(3) так же сложна (фактически эквивалентна).
В общем, мы знаем очень мало об этих рядах, когда степень нечетная. Мы даже не начали рассматривать пятую степень или седьмую! Как известно, Эрдеш сказал:
«Математика еще не достаточно зрелая для таких вопросов.»
Все вышеперечисленные ряды являются частью большой семьи рядов, известных как (особые значения) ряды Дирихле, и особый хорошо ведущий себя класс рядов Дирихле называется L-рядами Дирихле.
Эти бесконечные ряды имеют сильную связь с распределением простых чисел, потому что все они могут быть записаны как бесконечные произведения по простым числам, они все симметричны относительно определенной линии симметрии и все, кажется, подчиняются правилу, известному как гипотеза Римана.
Каждый такой L-ряд или L-функция имеет свою гипотезу Римана, связанную с ним, и самая простая из всех L-функций - это функция, которую Эйлер начал изучать в 1734 году:
если рассматривать её как функцию комплексного переменного, эта функция называется дзета-функцией Римана, но у неё есть другие "кузены" с другими гипотезами Римана. Например, в этой статье мы рассмотрели значения
которая является другим L-рядом, определенным с помощью так называемого характера Дирихле периода 4. Мы установили, что β(1) = π/4, β(2) = G, β(3) = π³/32. Мы абсолютно не знаем, что такое β(4), кроме того, что это связано со значениями полигамма-функции, что не менее сложно, но оказывается, что β(5) = 5π⁵/1536.
Существует определенный способ расширения области определения этих функций так, чтобы имело смысл оценивать их для почти всех комплексных чисел. При этом можно показать, что ζ имеет нули при отрицательных четных целых числах -2, -4, -6, -8,… и что β имеет нули при отрицательных нечетных целых числах: -1, -3, -5, -7,…
Это связано с более общей закономерностью, известной как паритет характера.
Но, похоже, все их другие нули находятся на одной и той же вертикальной линии. А именно при Re(s) = 1/2. То, что все их нетривиальные нули лежат на этой линии, и есть две гипотезы Римана, связанные с ними. Это только две из бесконечного семейства L-функций, которые, как полагают, имеют гипотезы Римана, удерживающие их нетривиальные нули на этой вертикальной линии в комплексной плоскости.
Полная проблема известна как обобщенная гипотеза Римана. Если вы решите её, вы получите миллион долларов, но как кто-то упомянул:
«Это, вероятно, самый трудный способ заработать миллион долларов!»
Суть нашего небольшого отклонения здесь в том, что вышеперечисленные бесконечные ряды являются частью чего-то гораздо большего. Индийцы, Лейбниц, Эйлер и все другие герои этой истории не имели возможности знать это, конечно, но теперь мы знаем, и есть причина, почему эти проблемы трудны, но очень важны.
И это не только вопрос понимания особых констант. Это вопрос понимания функций, которые дают эти константы.
Линейный вид
