Любопытное в математике

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://www.youtube.com/watch?v=26meYYVE2Yg

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://dzen.ru/a/Z4uhIP1ZNQzJIczs?from_site=mail
Математики открыли два новых типа бесконечностей: что это значит?
2 минуты
1139 прочтений
18 января
Оглавление

Что такое бесконечность?
Строгие и ультрастрогие кардиналы: что это?
Бесконечность и порядок: гипотеза HOD под угрозой

Вопрос о том, есть ли бесконечность у бесконечности, звучит как парадокс, но для математиков это серьёзная и захватывающая загадка. Новое исследование, проведённое учёными из Венского технологического университета и Барселонского университета, добавило в этот «лес» два новых уровня — так называемые строгие и ультрастрогие кардиналы.
Что такое бесконечность?

Математики давно классифицировали бесконечности в виде иерархической лестницы, где одни бесконечности «больше» других. Например:

ℵ₀ (алеф-ноль): Бесконечность натуральных чисел (1, 2, 3…).
Бесконечность вещественных чисел: Включает все дробные и отрицательные числа, а также бесконечное количество чисел между 0 и 1.

Такие бесконечности описываются с помощью так называемых аксиом крупных кардиналов, каждая из которых задаёт уникальный тип бесконечных чисел с особыми свойствами. Однако новые строгие и ультрастрогие кардиналы не вписываются в привычную структуру.
Строгие и ультрастрогие кардиналы: что это?

По словам Жоана Багарии, математика из Барселонского университета, эти новые кардиналы «существуют на самых верхних уровнях иерархии крупных кардиналов» и обладают свойствами, которые заставляют переосмыслить природу бесконечности.

Строгие кардиналы: Имеют более «сильные» свойства, чем предыдущие известные кардиналы. Они взаимодействуют с математической вселенной неожиданными способами.
Ультрастрогие кардиналы: Ещё более мощная версия строгих кардиналов, обладающая дополнительными «суперсилами», которые усиливают их влияние на бесконечность и математическую теорию.

Бесконечность и порядок: гипотеза HOD под угрозой

Математики давно пытаются понять, можно ли «упорядочить» бесконечность. Одна из таких гипотез — гипотеза HOD (Hereditary Ordinal Definability), которая предполагает, что даже самые хаотичные бесконечности можно включить в более широкий порядок.

Но новые кардиналы усложняют эту картину. По словам Хуана Агильеры, соавтора исследования, ультрастрогие кардиналы ломают традиционные схемы. Они взаимодействуют с уже известными бесконечностями «странным образом», что может стать доказательством против гипотезы HOD.

"Если это так, структура бесконечности может быть гораздо сложнее, чем мы предполагали," — утверждает Агильера.

Почему это важно?

Эти открытия — не просто абстрактные математические теории. Бесконечность лежит в основе ключевых технологий и областей науки:

Криптография: Теории бесконечности помогают разрабатывать алгоритмы для защиты данных.
Космология: Понимание бесконечных структур связано с изучением чёрных дыр и устройства Вселенной.
Искусственный интеллект: Алгоритмы, основанные на теории множеств, зависят от исследований бесконечности.

Кроме того, такие открытия ставят философские вопросы. Если бесконечность продолжает преподносить сюрпризы, можем ли мы полностью понять устройство Вселенной?

Оригинал этой статьи расположен по адресу: https://www.pravda.ru/news/science/2...s-of-infinity/

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://dzen.ru/a/Z1sEUPxv4BNTpXcG?from_site=mail
Почему число «1/137» встречается повсюду в природе?


13 декабря 2024

13,7 тыс

4 мин





Оглавление

• Что такое постоянная тонкой структуры?
• Где встречается число 1/137?
• 1. Электронная структура атомов

В науке существуют загадочные числа, которые кажутся неотъемлемой частью самой структуры Вселенной. Одним из таких чисел является 1/137 — известное также как обратная величина постоянной тонкой структуры. Это число волнует умы учёных, философов и любителей науки, вызывая множество вопросов: почему оно существует, какова его роль в природе и что оно может рассказать нам о законах физики? Попробуем разобраться.
Что такое постоянная тонкой структуры?

Число 1/137 связано с фундаментальной физической константой, называемой постоянной тонкой структуры, которая обозначается греческой буквой α (альфа). Эта константа описывает силу электромагнитного взаимодействия — одного из четырёх фундаментальных взаимодействий в природе. Формально она определяется как:
где:

• — заряд электрона,
• — редуцированная постоянная Планка,
• — скорость света в вакууме,
• — электрическая постоянная.

Численно приблизительно равна 1/137 (точное значение около 0.0072973525693).
Это безразмерная величина, что делает её уникальной: она остаётся неизменной вне зависимости от системы измерений. Именно благодаря этому она играет столь важную роль в физике.
Где встречается число 1/137?

1/137 встречается в самых различных областях науки и природы. Вот несколько примеров:
1. Электронная структура атомов

Постоянная тонкой структуры определяет свойства атомов. Она влияет на то, как электроны взаимодействуют с ядром и друг с другом. Например, спектры излучения атомов, такие как линии водорода, определяются значением . Если бы это число изменилось, химические и физические свойства веществ были бы совершенно другими.
2. Квантовая электродинамика

В квантовой электродинамике (КЭД), которая описывает взаимодействие света и материи, используется для расчёта вероятностей различных процессов, таких как испускание и поглощение фотонов. Точность экспериментов в КЭД настолько высока, что любое отклонение в значении могло бы указывать на новые физические явления.
3. Космология и структура Вселенной

Значение связано с эволюцией Вселенной. Если бы оно было немного другим, звёзды, планеты и жизнь, как мы её знаем, могли бы никогда не возникнуть. Например, изменения в повлияли бы на энергию связи атомных ядер, делая химию и биологию невозможными.
4. Чёрные дыры и квантовая гравитация

Хотя чёрные дыры и их свойства обычно описываются теорией относительности, может играть роль в описании их взаимодействий с элементарными частицами. Исследования показывают, что это число может быть связано с явлениями на стыке квантовой механики и гравитации.
Почему именно 1/137?

Причина, по которой имеет значение около 1/137, остаётся одной из главных загадок физики. Вот несколько гипотез:
1. Число, вытекающее из математической структуры физики

Некоторые учёные считают, что значение обусловлено глубокими математическими принципами, которые ещё предстоит открыть. Возможно, оно связано с симметриями или топологическими свойствами пространства-времени.
2. Антропный принцип

Согласно антропному принципу, фундаментальные константы, такие как , имеют свои значения потому, что иначе не могла бы существовать жизнь, способная их измерить. Это означает, что значение 1/137 может быть случайным среди множества возможных значений в разных Вселенных.
3. Многоуровневая структура реальности

Некоторые теоретики предполагают, что — это своего рода «программный код» Вселенной. Если бы мы поняли его истинную природу, это могло бы раскрыть нам новые законы физики.
Исторические аспекты

Число 1/137 давно привлекало внимание физиков и математиков. Вот несколько заметных фигур, которые интересовались этим числом:

• Арнольд ЗоммерфельдИменно он ввёл постоянную тонкой структуры в науку, описывая релятивистские поправки в атомной спектроскопии.
• Ричард ФейнманВеликий физик называл «одним из величайших секретов природы», утверждая, что никто не понимает, почему оно имеет такое значение.
• Пауль ДиракДирак пытался связать с другими фундаментальными константами и космологическими параметрами.

Возможные объяснения в современной физике

Современные теории пытаются объяснить значение , используя подходы, такие как теория струн, квантовая теория поля и даже новые модели пространства-времени. Некоторые из них:
1. Теория струн

В теории струн фундаментальные константы, включая , могут быть следствием вибраций струн в многомерном пространстве. Значение могло бы зависеть от формы и размеров этих дополнительных измерений.
2. Изменяющаяся постоянная

Некоторые исследования предполагают, что могла изменяться в прошлом. Это гипотеза проверяется с помощью наблюдений далёких галактик и изучения спектров древнего света.
3. Фундаментальная геометрия пространства-времени

Значение может быть связано с фундаментальными геометрическими свойствами нашего пространства-времени. Это открывает перспективу объединения квантовой механики и гравитации.
Заключение

Число 1/137 — это загадочная величина, которая пронизывает самые разные аспекты науки. Оно является ключом к пониманию электромагнетизма, квантовой механики и, возможно, более глубоких законов природы. Хотя его точная природа остаётся неясной, изучение продолжает вдохновлять физиков и философов. Возможно, раскрытие тайны этого числа приблизит нас к разгадке фундаментальных вопросов бытия: почему Вселенная устроена именно так, а не иначе?

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://dzen.ru/a/Z9xcd2VrjVU7LwyR?from_site=mail
Системы счисления: что это и какие бывают


Оглавление

• Что такое система счисления
• История систем счисления
• Позиционные системы счисления

Не задумываясь, мы привыкли считать от нуля до десяти и записывать числа в этой системе счисления. Но в мире существуют и другие способы. Разбираемся, как устроены системы счисления, где их применяют и почему иногда без них не обойтись.
Что такое система счисления



Joyseulay / Shutterstock / FOTODOM📷Системы счисления важны для математики, программирования и инженерии

Система счисления — это метод представления чисел с помощью определенных знаков и правил их записи. Она позволяет удобно обозначать количества, выполнять расчеты и хранить информацию в различной форме [1].
Каждая система имеет свое основание, которое определяет, сколько символов в ней используют. Например, в десятичной системе применяют десять цифр — от 0 до 9, а в двоичной всего две — 0 и 1. Хотя в быту мы в основном используем десятичную систему, в других областях востребованы иные способы записи чисел.
Двоичная система играет ключевую роль в компьютерных технологиях, поскольку удобна для работы с электронными устройствами, а римская по-прежнему используется для обозначения веков, глав в книгах и на циферблатах часов.
История систем счисления



Keith 316 / Shutterstock / FOTODOM📷Ранние системы счисления не имели разрядов и не позволяли выполнять сложные арифметические операции

Одними из первых и простых методов подсчета и записи чисел были зарубки, узелки и камни. Примером такого метода является кость Ишанго возрастом более 20 тыс. лет., найденная в Африке [2]. На ней высечены отметки, свидетельствующие о примитивных вычислениях.
Позже, по мере накопления знаний, появились системы записи чисел с использованием символов. Шумерская и вавилонская системы (около 3100 г. до н. э.) основывались на шестидесятеричной системе (основание 60). Именно благодаря ей в современном мире сохранились 60 секунд в минуте и 360 градусов в окружности [3]. Египетская система использовала десятичный принцип: для обозначения чисел применялись иероглифы, например, спиральная веревка означала 100, лотос — 1 000 и так далее [3]. Майя разработали двадцатиричную систему.
Греки пользовались аттической системой, позже эволюционировавшей в ионическую — в ней числа обозначали буквами алфавита. Римляне разработали собственную систему, в которой числа записывали с помощью комбинации букв: I — 1, V — 5, X — 10 и т. д. Несмотря на широкое использование, римские цифры были неудобны для сложных расчетов, так как не имели разрядности и символа для нуля.
Настоящим прорывом стала десятичная позиционная система с нулем, созданная индийскими математиками (0–9) [3]. Ее основное преимущество — позиционность: значение цифры зависит от ее места в числе. Например, в числе 202 цифра 2 имеет разные значения в зависимости от своей позиции. Это позволило записывать любые числа с помощью ограниченного набора символов, используя принцип места.
Десятичная система показала огромные преимущества и стала «совершенной системой счисления» своего времени [3], [4]. Именно благодаря ей сложение, вычитание и другие операции стали проще, чем когда-либо.
Позиционные системы счисления



Chim / Shutterstock / FOTODOM📷В XX веке появление компьютеров привело к активному использованию двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем

Позиционные системы позволяют записывать большие числа коротко и выполнять вычисления гораздо проще. Значение каждой цифры определяет не только символ, но и его положение. В таких системах используют понятие основания, которое указывает, сколько различных цифр применяется. Например, если основание равно 10, это означает, что числа записывают с использованием десяти символов — от 0 до 9. Так, в числе 202 позиционная система понимает первые «2» как двести (две сотни), а последнюю «2» — как две единицы [5], [6].
Двоичная

Двоичная система счисления основана на использовании всего двух цифр — 0 и 1 [7]. Она широко применяется в вычислительной технике, так как легко передается через электронные сигналы, где 0 соответствует отсутствию тока, а 1 — его наличию.
Несмотря на ограниченное количество символов, эта система позволяет представлять любые числа используя больше разрядов. Например, число 6 в двоичном формате записывается как 110 [8].
Двоичная система получила широкое применение в компьютерной технике. Причина в том, что физически очень просто реализовать два устойчивых состояния для хранения и передачи информации (например, присутствует или отсутствует сигнал, есть или нет напряжения). Компьютеры «мыслят» нулями и единицами, представляя любой тип данных в виде длинных двоичных комбинаций.
Восьмеричная

Восьмеричная (основание 8, цифры 0–7) раньше использовалась в программировании для сокращения записи двоичных чисел. Каждой восьмеричной цифре соответствует строго три двоичных цифры. В программировании восьмеричная система широко применялась в середине XX века, особенно на этапах, когда удобство представления двоичных кодов было важно, а шестнадцатеричная система еще не стала стандартом [9]. Программисты могли записывать машинные коды и адреса в восьмеричном виде, что сокращало длину записи (по сравнению с двоичной) втрое.
Однако со временем восьмеричную систему почти полностью вытеснила более мощная шестнадцатеричная. Сегодня восьмеричная система используется довольно ограниченно. Классический пример — права доступа в UNIX/Linux [10]. В этих операционных системах права файла (чтение/запись/выполнение для владельца, группы, остальных) кодируются трехзначным восьмеричным числом от 000 до 777.
Десятичная

Десятичная (основание 10, цифры 0–9) — наиболее распространенная система, удобная для повседневных расчетов. Десятичная система настолько укоренилась, что часто воспринимается как единственно возможный способ записи чисел [9], [11].
Стоит отметить, что десятичная система используется не только для целых, но и для дробных чисел — с разделителем (запятой или точкой) для отделения дробной части. Единицы дробных разрядов — десятые, сотые, тысячные доли и т.д. Именно в десятичной системе ведется большинство измерений и расчетов. Распространенность десятичной системы практически абсолютная: ее учат с детства во всех странах, ей пользуются в торговле и повседневных расчетах. Лишь в специальных приложениях (например, программирование) могут применяться другие системы счисления, но результат для пользователя все равно обычно переводится в десятичный формат.
Шестнадцатеричная

Шестнадцатеричная система счисления (гексадецимальная) имеет основание 16. Она расширяет десятичный набор цифр за счет букв: используют 16 символов — 0–9 для нуля до девяти и A, B, C, D, E, F для десяти до пятнадцати.
Шестнадцатеричная система практически не встречается в быту, но широко применяется в информатике. Ее основное преимущество — компактность записи двоичных данных. Каждая шестнадцатеричная цифра эквивалентна последовательности из четырех двоичных бит [9], [12]. Благодаря этому любое двоичное число можно записать в четыре раза короче в шестнадцатеричном формате.
Например, двоичный байт 11111111₂ в шестнадцатеричной системе записывается как короткое FF₁₆. В современном программировании шестнадцатеричные числа используются повсеместно: например, цвета в HTML/CSS кодируются как #RRGGBB, где каждая компонента цвета — двузначное шестнадцатеричное число от 00 до FF. Так, код #FFDD00 обозначает ярко-желтый цвет, где FF₁₆ = 255 — максимальная интенсивность красного, DD₁₆ = 221 — немного пониженная интенсивность зеленого, а 00 — отсутствие синего [13].

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Непозиционные системы счисления



Leon Rafael / Shutterstock / FOTODOM📷Непозиционные системы были первыми в истории – именно так люди изначально научились записывать числа

Непозиционные системы, такие как римские цифры, не изменяют значения символов в зависимости от их места в числе. Это делает их неудобными для вычислений. Каждая цифра всегда означает одну и ту же величину, и числа образуются комбинированием таких знаков по определенным правилам [9], [14].
В непозиционной системе часто требуется больше символов для записи больших чисел, и отсутствует удобный единый алгоритм для арифметических операций. В современности непозиционные системы практически вышли из употребления.
Единичная

Единичная (унарная) — самая простая система, где число представляется повторением одного знака, например, пять палочек для числа 5. Чтобы представить число, этот знак просто повторяют нужное количество раз. Унарная система по сути равна счету конкретными предметами. Ее применяли первобытные люди, делая насечки на кости или палочке. Практического использования для больших чисел у такой системы нет. Длина записи растет линейно от значения числа, и уже число в несколько сотен в унарной системе выглядело бы как длинная строка из сотен символов.
Римская

Римская — самая известная непозиционная система, дошедшая до наших дней. Она была разработана в Древнем Риме и использует вместо привычных нам арабских цифр специальные символы-буквы: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) и M (1000) . Основные правила образования римских чисел следующие: если более крупный символ стоит перед меньшим или равным, их значения складывают, если меньший стоит перед большим — вычитают. Например, III = 3 (три единицы суммируются), XV = 15 (10 + 5), а IV = 4 (5 — 1, поскольку I перед V означает вычитание единицы из пяти). Повторяться подряд может не более трех одинаковых символов, поэтому для 4 пишут IV (а не IIII), для 9 — IX и аналогично вводятся комбинации XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900 [4], [9]. Римляне не имели нуля и не пользовались разрядами; их система была достаточно эффективна для записи дат, порядковых номеров, но не очень удобна для сложения или умножения больших чисел.
В наше время римская система сохранилась в декоративно-номинальном применении. Ею нумеруют века и годы на памятных табличках, главы книг, пункты списка, указывают часы на циферблатах.
Системы счисления в информатике

Компьютеры и цифровые устройства оперируют данными в двоичной форме, поэтому в информатике особенно важны системы счисления с основанием, являющимся степенью двойки — то есть 2, 8, 16. Базовая система внутри любого компьютера двоичная: все числа хранятся как последовательности битов (0 или 1). На уровне электронных схем 0 и 1 кодируют разные состояния (например, низкое или высокое напряжение) . Поэтому весь машинный код, адреса памяти, результаты вычислений — изначально двоичные [15].
Однако двоичная запись очень длинная и неудобна. Чтобы упростить работу, используют шестнадцатеричную и иногда восьмеричную системы. Шестнадцатеричная получила наибольшее распространение, так как позволяет компактно выразить двоичные данные: один шестнадцатеричный знак заменяет четыре двоичных бита. В программировании шестнадцатеричные числа удобно использовать для описания цветов, кодовых точек символов, адресов и двоичных литералов.
Восьмеричная система в информатике исторически применялась раньше, когда компьютерные «слова» имели длину, кратную 3 битам, и группировка по три бита (то есть восьмеричная запись) была естественной.
Десятичная система тоже имеет место в информатике. Во-первых, исходные данные и результаты вычислений обычно вводятся и выводятся для пользователя в десятичном виде, привычном людям. Во-вторых, существуют области вычислений (финансовые расчеты, бухгалтерия), где критично работать именно с десятичными дробями, чтобы избегать ошибок округления двоичного представления. Для этого применяют специальные десятичные форматы или библиотеки (например, BCD — двоично-десятичный код, хранящий десятичные цифры).
В языке программирования число по умолчанию считается десятичным литералом, если не указано иное. Таким образом, программист постоянно имеет дело с разными системами счисления: двоичной (биты, маски, сдвиги), шестнадцатеричной (отладка, литералы 0x, цвета, Unicode и прочее), реже восьмеричной (наследие Unix), но конечный пользователь чаще всего видит числа в удобной десятичной форме.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Существует несколько методов перевода чисел из одной системы счисления в другую. Наиболее распространенные алгоритмы позволяют переводить числа сначала в десятичную систему, а затем в любую другую. Однако есть и методы прямого преобразования между произвольными основаниями [15].
Чтобы преобразовать число, записанное в системе с основанием N, в десятичную систему, необходимо разложить его по степеням основания.
Пример 1. Переведем число 1011₂ (в двоичной системе) в десятичную:
1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0 =1×8+0×4+1×2+1×1=8+0+2+1=11₁₀
Пример 2: Переведем число 231₄ (из четверичной системы) в десятичную:
2×4^2+3×4^1+1×4^0=2×16+3×4+1×1=32+12+1=45₁₀
Чтобы перевести число из десятичной системы в любую другую, используется метод последовательного деления на основание новой системы. При этом записываются остатки от деления, начиная с последнего результата.
Пример 3. Переведем 25₁₀ в двоичную систему (основание 2):

1. 25 ÷ 2 = 12, остаток 1
2. 12 ÷ 2 = 6, остаток 0
3. 6 ÷ 2 = 3, остаток 0
4. 3 ÷ 2 = 1, остаток 1
5. 1 ÷ 2 = 0, остаток 1

Записываем остатки в обратном порядке: 25₁₀ = 11001₂.
Пример 4. Переведем 125₁₀ в восьмеричную систему (основание 8):

1. 125 ÷ 8 = 15, остаток 5
2. 15 ÷ 8 = 1, остаток 7
3. 1 ÷ 8 = 0, остаток 1

Читаем остатки снизу вверх: 125₁₀ = 175₈.
Можно выполнить перевод числа сразу из одной системы в другую, минуя десятичную. Для этого часто применяют промежуточные представления через двоичную систему. Например, перевод 3A₁₆ (из шестнадцатеричной системы) в восьмеричную:
1. Разбираем шестнадцатеричное число на двоичные блоки:

• 3₁₆ = 0011₂
• A₁₆ = 1010₂
• Получаем: 3A₁₆ = 00111010₂

2. Группируем двоичные цифры по три, начиная с конца:

• 001 110 100

3. Переводим в восьмеричную систему:

• 001₂ = 1₈
• 110₂ = 6₈
• 100₂ = 4₈

4. Получаем ответ: 3A₁₆ = 164₈.
Этот метод удобен для перевода между системами, где основание является степенью двух (например, 2, 8 и 16).