Любопытное в математике

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Преимущества двенадцатиричной системы над десятичной

Привет любителям математики!
Не забудьте поставить лайк. Приятного прочтения!


Считаем до 12 на пальцах одной рукиОчень занятную для себя находку я не так давно сделал. Двенадцатеричная система счисления.
Честно сказать, никогда я о ней не слышал. Двоичную знаю, десятичную, шестнадцатеричную, но двенадцать...
Но, несмотря на то, что о ней я почти ничего не знал, сталкивался ежедневно. Те же часы как пример.
Как оказалось, многие бытовые вещи с ней считать куда проще! Но, обо всем поподробнее.
Сначала, познакомимся с самими числами.
Так выглядит стандартная десятичная система. Все последующие цифры создаются именно из этих 10


Цифры десятичной системыА теперь, взглянем на дюжину.


Цифры двенадцатиричной системы счисленияДальше, как ни странно, идет 10, только произносится она не "десять", а "До". Далее пойдет 11 - "Два до один", 12 - "Два до два" и так далее.
Последние две цифры имеют такие названия:


Кое где их пишут просто как "А" и "В"Двузначные и трехзначные числа получаются возведением десяти в соответствующие степени, с двенадцатью то же самое.


Красным - числа в десятичной системеПо сути, если смотреть с точки зрения математики, не изменится ничего. Нужно только привыкнуть к "новым" цифрам. Математические законы останутся прежними. Вот только у такой системы есть ряд преимуществ.
Если в десятичной системе, десятка кратна четырем числам:


То в двенадцатеричной уже шести!


Представьте себе дробь 1/3. В десятичной системе это число будет выглядеть как то так - 0,333(3).
В двенадцатеричной - никаких троек в периоде!


"Четыре двенадцатитичных" :)С 1/6 также не получится никаких бесконечных цифр после запятой, это будет просто 0,2.
Согласитесь, в бытовом плане довольно удобно. Правда, уже те же 1/5 будет выглядеть не совсем презентабельно:


Бесконечная двенадцатиричная дробь...Да, бесконечные дроби здесь тоже есть, но их меньше.
Стоит отметить, что некоторые малые народы Тибета и Нигерии пользуются такой системой. Да и в давние времена она была распространена из-за своего удобства. Но, в какой-то момент ее просто вытеснили.
Если честно, несмотря на некоторые свои преимущества, переход на эту систему, как по мне, не возможен и не нужен. А потому, забивать ею голову не стоит. Воспринимайте это просто как интересную информацию к размышлению.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://zen.yandex.ru/media/tehno_ch...e57b00aeb2cfd8
Прямой метод умножения по Трахтенбергу. Умножаем любое число на любое в одну строку!

Эта статья последняя, в которой будет описываться "прямой метод" умножения по системе Якова Трахтенберга. Далее, будут рассматриваться другие его методики и приемы.
Что же, наконец-то я подобрался к последнему приему. "Вишенкой" на торте будет техника умножения числа любой длины на любое другое число.
Те, кто знаком с остальными моими статьями по данной тематике, без труда освоят и этот прием. А для тех, кто здесь впервые, я все подробно расскажу и покажу на примере.

Я пишу это в каждой статье по данной теме, напишу и сейчас. Если Вам вдруг кажется, что это слишком сложно и непонятно, то попробуйте прочитать еще, а если не помогает, спросите у автора, он Вам поможет разобраться.
Рассмотрим умножение двух четырехзначных чисел:


Шаг 1

Впереди я записываю четыре нуля, потому как второй множитель состоит из 4-х цифр. Это нужно для удобства вычисления.


В ответе число имеет максимально 8 цифр.Умножаем крайние цифры, 2 записываем, 7 в "уме".
Шаг 2



Не забывайте про цифру 7 в "уме"Для тех, кто читал предыдущие мои статьи, схема покажется знакомой.
Шаг 3



Кое-кто мог заметить, что мы потихоньку смещаем множители для каждой цифры правого множителя. К примеру, крайнюю правую цифру 8 мы по очереди умножаем на 9, затем на 6, потом 5, 4, 0, 0, 0, 0. То же самое мы делаем и для следующей за ней пятеркой. Сначала умножаем на 9, потом на 6, 5, 4, 0, 0, 0, 0. Правда все это в разных шагах, если что.
Шаг 4



14 в уме!Шаг 5

Теперь, смещаем всю нашу "богодельню" влево, т.к. на девять мы уже умножили каждое из цифр правого множителя, оно в наших операциях участвовать больше не будет.


Далее, мы продолжаем смещаться влево, пока не получим в сумме действий нуль!
Последние операции я расписывать не буду, на этом этапе уже должен быть понятен порядок действий и сам принцип.
Шаг n



ОтветЕсли вдруг Вам не понятно, что я делал дальше, напишите в комментариях и я Вам подробно все распишу.

Умножение n-значных чисел на n-значные происходит по той же самой схеме.

Уже предвижу поток комментариев типа "Зачем такие сложности и прочее". Да, не так и просто, как хотелось бы, но если вы попробуете умножить в столбик, то это, поверьте тоже займет не мало времени. Здесь же, мы может писать сразу в ответ если набить руку. А набить руку можно за 10-15 минут тренировки.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

5 невероятных математических парадоксов



18 ноября 2019




0

0

1





Парадокс — это загадка без правильного ответа, логический выверт и одна из любимейших игрушек математиков.
Онлайн-школа Skyeng Math выбрала для вас великолепную пятерку парадоксов, которые занимают умы математиков долгие годы — десятилетия, а то и века. Не верьте глазам своим: цифры не то, чем кажутся.


Петер Пауль Рубенс Галилео Галилей (1630)

Парадокс Галилея
Даже если вы прогуляли половину школьных уроков математики, вы точно помните, что такое натуральные числа: 1, 2, 3 и так далее. Вы помните и то, что числа могут быть четными — то есть делиться на 2 — и нечетными. Каких чисел больше — натуральных или четных? На первый взгляд ответ очевиден: конечно, натуральных. Если только каждое второе натуральное число — четное, то четных должно быть вдвое меньше, чем натуральных. Но на самом деле их равное количество! Это доказал еще Галилео Галилей, ученый XVII века, который был не только астрономом, но и математиком.
Представьте две строки чисел: сверху — все натуральные числа, снизу — числа, полученные умножением на два каждого числа из верхней строчки. Примерно вот так:
1 2 3 4 ... N
2 4 6 8 ... 2N
Количество чисел бесконечно, а значит и продолжать эти строки можно бесконечно. И под каждым натуральным числом будет стоять четное. Стало быть, количество четных и натуральных чисел всегда будет одинаковым.









Парадокс брадобрея
В деревне живет цирюльник, который согласно старинному предписанию бреет лишь тех жителей деревни, которые не бреются сами. Но вот вопрос: может ли брадобрей брить самого себя? Если он не бреется, значит он должен воспользоваться услугами брадобрея — то есть самого себя. Но если он будет бриться самостоятельно, он не имеет права себя брить. Этот парадокс сформулировал Бертран Рассел, один из виднейших математиков XX века.


Локи - бог хитрости и обмана

Парадокс лжеца
Парадокс лжеца придумали так давно, что мы даже не знаем изначального автора. Представьте, что записной врун говорит: «Я вру». Это либо правда, либо ложь. Если он говорит правду (то есть действительно лжет), то это утверждение не может быть истинным. Если же, говоря «Я вру», он вас обманывает, стало быть, он говорит правду. То есть если утверждение правдиво, оно ложно, а если оно ложно, то правдиво. То есть в любом случае оно одновременно и правда, и вранье. Уже запутались? Ну на то он и парадокс.


Эжен Делакруа Гамлет и Горацио на кладбище (1839)

Парадокс Гамлета
Все сложности путешествий во времени давно занимают и фантастов, и математиков. Первые пишут повести про попаданцев, а вторые пытаются вычислить, как может работать время. Вот представьте, что вы отправитесь в Англию XVI века, прихватив с собой томик «Гамлета», и отыщете там молодого Уильяма Шекспира. Вы отдадите ему книгу, чтобы он издал ее под своим именем. Через шесть столетий книга окажется в том самом книжном, где вы ее купили, чтобы отдать писателю. Кто же в таком случае был автором «Гамлета»? Парадокс временной петли был придуман Дэвидом Туми, профессором Университета Массачусетса и популяризатором науки.




Парадокс второго ребенка
В семье Смитов подрастают двое детишек. Один из них мальчик. Какова вероятность, что второй ребенок — тоже мальчик? Неискушенный читатель скажет, что 50/50, ведь он либо мальчик, либо девочка, а следовательно, шансы равны.
Но ведь в семье с двумя детьми есть четыре варианта комбинаций: две девочки, два мальчика, старший брат и младшая сестра или старшая сестра и младший брат. Очевидно, что первый вариант — это не про Смитов: у них точно есть мальчик. Остаются три возможных варианта: в одном из них второй ребенок — мальчик, в двух — девочка. И не нужно быть профессором математики, чтобы увидеть: вероятность того, что второй ребенок Смитов тоже мужского пола, составляет всего один из трех, то есть примерно 33%, а не 50%.
Не убеждены? Ничего страшного, это решение не вполне убеждало даже математика Мартина Гарднера, который и создал этот парадокс в 1959 году. В зависимости от формулировки ответы могут быть разными, и математики до сих пор спорят о правильной цифре.
Вот видите, математика — это вовсе не сухие формулы. Сами математики вообще считают, что это самая увлекательная и красивая штука в мире. Хотите убедиться в этом на собственном опыте? Записывайтесь на вводное занятие в Skyeng Math и начинайте заниматься онлайн с личным учителем на интерактивной платформе. Здесь умеют найти подход к любому ученику и восполнить даже самые серьезные пробелы в знаниях.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Математическая операция о которой не рассказывают в школе. Что такое тетрация?

Привет, друзья!
Поставьте лайк, если было интересно!


Из интернета картинкаЭтот месяц для меня был полон открытий. То очень большие числа, то всякие математические загадки, то я узнал наконец о 1080i и 1080p. Настало время очередного "открытия".
Математика - штука сложная, об этом знают все и потому, многие ее не любят. Скрывает эта наука в себе множество интересных вещей, парадоксов, а кто-то видит в ней нечто мистическое... не иначе как проделки дьявола.
Когда я поближе знакомился с очень большими числами, то узнал о некой операции, которая имеет название - тетрация. Что же это за зверь?
Тетрация - четвертый гипероператор в математике. Он образован от двух слов "тетра" (четыре) и "итерация" (повторение). И был впервые применен английским математиком Рубеном Гудстейном в 1947 году.
Из курса школьной математики нам известно о трех гипероператорах:


1. Сложение

2. Умножение

3. Возведение в степеньПо крайней мере я, о четвертом точно ничего не знал, и в школе нам о нем не рассказывали, и даже в курсе высшей математики в университете о нем не было ни слова или просто я так учился, хотя учился более-менее неплохо.
Напишите в комментариях, известен ли он был Вам?
Четвертый гипероператор - тетрация, выглядит так:


ТетрацияДля примера:


Тетрация используется для простой и короткой записи очень больших чисел. Чтобы не городить многомерные степенные башни, можно записать ее просто и элегантно, вот и все применение.
Практическую пользу этот гипероператор несет разве что для математиков или тех кто углубленно изучает предмет. Хотя, они с нею, скорее всего, уже знакомы. Для обычного обывателя - просто для расширения кругозора.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Нас учили, что таблица умножения одна! Но это часть многомерной таблицы умножения


Друзья, не спешите говорить "Чушь!". Понятно, что на первый взгляд ничего не понятно! С первого раза не поддаётся логике! Когда-то и 2*2 мы не могли вычислить, здесь то же самое. Нас никто не учил обращаться с этим, а тем более применять...
И такая (неизвестная нам) таблица умножения - не одна!


Таблица Пифагора (Яндекс.картинки)Та таблица умножения, которую мы изучаем сейчас в школах, называется таблицей Пифагора, и она является частью, а точнее - частным случаем древней многомерной таблицы умножения.
Я не историк, не знаю когда зародились эти знания и почему перестали их использовать сейчас, но в открытых источниках пишут, что х'Арийская арифметика, которую оставили древние Арийцы своим потомкам - изучалась славянами уже с детских лет, а точнее с 12. И это не просто унылые вычисления, которым учат сейчас, а настоящая взрослая математика!
Мы всегда просто говорим 2жды2, 5ю5, 4на4, 2по6, но все эти вещи заимствованы.
Существует три основных вида умножения: НА, ЖДЫ, Ю.
"НА" - обычное нами изученное умножение: 2 на 2, 2 на 3, 2 на 4 и т.д. Данное умножение двухмерное, т. е. обычное плоскостное. Мы с помощью него можем посчитать площадь на какой-либо плоскости в любых квадратных единицах: кв.см., кв.м., кв.мм и т.д.
У Арийцев "НА" обозначается "точкой" (как и у нас)
"ЖДЫ" - объемное, трехмерное умножение - обозначается символом "Х"
"Ю" - объемно-временное умножение, обозначается символом "*".


Существует еще несколько видов умножений: ровное умножение, пирамидальное и ПО.
Важно отметить, что первым числом - стоит не число, как мы привыкли, а цифра значения изначальной структуры, а знак уже даёт понять, какая фигура с основанием изначальной структуры участвует в вычислении!

Например: 3 х 7 = 28

3 - треугольник, Х - это пространственное умножение, поэтому треугольник нужно поместить в 3D измерение, а в трёхмерном пространстве - это треугольная пирамида, и теперь 4 опорные точки пирамиды умножаются на 7.

Наши предки считали всё образами! Если наша математика говорит 5 в квадрате, то тут же вопрос "пять чего?", - нефти, камня, сметаны? Какой степени? Дело в том, что отсутствует образ (как зрительное восприятие в уме чего-либо). Для них важно было представление, объемное (пространственное) мышление, а не наше - линейное восприятие!

Вы же наверно замечали, когда параллельно что-то еще представляете при вычислении - то у вас картина при поиске ответа совершенно иная, чем просто абстрактные числа. "Старики" знали, как объединить образы и путаница сразу отходила в сторону.

Арифметические знакиКонечно, в одной статье всю арифметику Арийцев невозможно описать, но ясно одно - Древняя арифметика строится на счете счисляемых образов, с её помощью можно высчитывать временные, объемные и пространственные структуры. Другими словами Арийская арифметика это по-нашему математика с геометрическим представлением.
О том, как производятся расчеты каждой из структур, подробно описывает статья "Трёхмерные таблицы умножения. Формулы расчета".
В самой основе этой арифметики лежат правильные фигуры, которые называются гармоничными. В одномерном пространстве - любая фигура имеет две опорные точки (отрезок), в двухмерном пространстве - это проекция фигуры одномерного пространства длиной самой фигуры, т.е. спроецированный отрезок даёт квадрат, далее куб и т.д. С каждым увеличением мерности пространства на один - гармоничная фигура формируется проецированием фигуры предыдущей мерности на её же длину.
Как вы думаете, откуда выражение "семь пядей во лбу"? Из пядевой системы мер - Семь пядей образуют Лоб и значение равно 124,46 см.:


Так же известно, что в прошлые века обычный подмастерье знал наизусть первые три системы умножения. Так же, судя по информации из открытых источников, в несколько действий считалось количество камня на фундамент Святилища, объемы неправильных геометрических форм, объемы погребов и масса/объем леса для сооружения жилища.
Конечно, на сегодняшний день, о реальном применении такой арифметики знают только единицы, так как уже этому никто не учит! Но судя по количеству видов умножений, задачи решались куда более сложные!
Далее таблицы умножения х'Арийской арифметики:







__________________

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Быстрый и точный перевод в двоичную систему счисления

Навык хорошего перевода между системами счисления часто является основополагающим для сдачи ОГЭ и ЕГЭ по информатике. Переводить надо быстро и точно, и именно таким методам посвящается эта статья.
Я рекомендую познакомиться с системами счисления поближе, для этого у меня специально написана статья, где буквально на гайках разбирается, как записывать числа в позиционных системах счисления.
Чем плох метод деления "уголком"?

Классический метод деления "уголком" не удовлетворяет ни первому, ни второму критерию. Он очень медленный. Для перевода крупного числа, например, 192 в двоичную систему счисления, потребуется выполнить восемь делений (при оптимизированном варианте - 7) с остатком. Когда речь заходит о числах из 10, 12 и уж особенно, 16 заданий ЕГЭ, то такой метод просто становится неприменимым.


Задание №16, ещё достаточно простое. Потребует "всего" 15 делений.С точностью тут тоже беда. Очень мало людей умеют делить "уголочком" по-настоящему. Я в другой статье написал, как это делается, но там в комментариях налетели, прямо заклевали, сказали, что я не достоин, и что "мой" метод - только морока, и что в советские времена оооооо... Для проверки у меня есть 3 примера, которые с первого раза ещё никто не решил правильно. Хотя бы в одном, но ошиблись. (а решали бы по-моему, не ошиблись бы). Вот они: 6624:32, 10850:31, 10710:102. В трёх примерах ошибаются ВСЕ, а тут надо от 8 и больше делений делать. Ошибка гарантирована.

...из десятичной системы счисления в двоичную. К сожалению, уже на этом этапе экзаменуемые допускают арифметические ошибки по невнимательности...

Это, между прочим, в официальном документе на сайте ФИПИ написано.
Двоичные разряды и разрядные слагаемые

Этот метод очень быстрый, требует только уметь складывать. Ошибки и тут не исключены, но их куда меньше.
Суть метода: Нам нужен ряд разрядных весов, которые мы будем складывать, чтобы набрать нужную сумму. Для двоичной системы разряды идут (справа налево) 1,2,4,8,16,32,64... и т.д.:


Двоичные разрядыТеперь надо "набрать" из этого ряда наше число (которое надо было переводить), под каждым из них записывая "0", если оно не вошло в набор, и "1", если вошло. Например, число 231


Подготовили "черновик"Ясно, что в наборе не может быть 256, 512 и далее, потому что они уже больше 231, уже перебор. А вот 128 нас устроит, но его не хватит, значит надо брать следующее - 64. Вместе уже будет 192:


Взяли 128 и 64, получили 192.И до сих пор не добрались до 231. Добавляем 32:


Взяли 128, 64 и 32, получили 224Всё равно не хватает. Ещё берём 16:


Взяли 128, 64, 32 и 16, получили 240240 - это уже перебор, поэтому в 16 ставим "0", и берём 8:


128, 64, 32, 8. Получили 232232 - Ну почти! Надо 231. Убираем 8, берём 4:


228Самые шустрые уже поняли: до 231 нужно набрать всего 3, а это будет двойка и единица:


Бинго!Запись в таблице под горизонтальным рядом и есть запись числа в двоичной системе счисления.
И так, для быстрого перевода требуется всего лишь ряд чисел, которые покрашены красным. Система построения этого ряда простая: каждый следующий больше предыдущего в (основание) раз. Для троичной 1, 3, 9, 27, 81, ... четверичная 1, 4, 16, 64, 256, 1024... Но только для двоичной системы мой метод даёт существенное ускорение, ибо имеются только цифры "0" и "1", для других придётся одно и то же число добавлять несколько раз, а в табличку записывать количество добавлений


Перевод в восьмеричную систему счисления Разрядное вычитание

В предыдущем методе потребовалось выполнять "откаты" назад, потому что набранная сумма превосходила наше число. В методе "вычитания" так делать не придётся, но теперь вместо сложения (простого действия) надо делать вычитание (сложное действие). Подготовка аналогичная, ряд двоичных разрядов:


Снова ряд разрядовТеперь из числа 231 вычитаем те разряды, которые можно вычесть. С каждым вычитанием в таблицу вписываем "1", а если пропускаем, то "0". Я не буду подробно записывать, потому что это во многом повторит предыдущую главу:


Вычитаем, записывая каждое действие с помощью таблицы.В недвоичную систему перевод опять с подсчётом количества вычитаний.
Перевод арифметическими действиями

Последний способ, который я хочу сегодня показать - самый хитрый и самый быстрый перевод - комбинирует предыдущие два, но работает только с "хорошими" числами.
Хорошими назовём те числа, которые близко от степеней двойки: 2, 4, 8,16,32,64,128,256,512 и т.д.
Степени двойки в двоичной системе выглядят "круглыми", например,


Количество нулей соответствует показателю степени.
Нам нужно выбрать ближайшую степень двойки к нашему числу, записать её в двоичной системе, а потом вычесть или добавить двоичную запись разности между числом и степенью двойки.
Пример

Попробуем перевести число 250 из десятичной в двоичную. Ближайшая степень двойки - 256 (2 в 8й степени). Для того, чтобы из 256 получить 250, надо вычесть 6 (110 в двоичной, см перевод выше).


Вычитаем столбиком:


ВычитаниеВсё. Готово. Ещё раз, метод безумно быстрый, но работает не со всеми числами, и требует умения вычитать и складывать столбиком. Зато любым другим методом на этот перевод уйдёт уйма времени. Кстати, этот метод подразумевается в том самом 16м задании ЕГЭ и 10м задании ОГЭ.
Заключение

Мои методы частично изучаются в школах (например, метод "вычитания"), но почему-то ученики их не очень любят, а всё время скатываются в "деление уголком", совершая сотни ошибок, от вычислительных до банального "не с той стороны записал остатки". Тем не менее, если разобраться в них, каждому будет достаточно небольшой тренировки, чтобы переводить числа из десятичной системы в двоичную (и даже обратно) так быстро, что это покажется магией.
PS

Ставьте лайк, пишите в комментариях, что непонятно. Не забудьте подписаться на мой канал, потому что я ещё хочу разобрать подробнее сложение и вычитание в позиционных системах счисления (для последнего метода), обратный перевод в десятичную систему, и "экспресс" перевод между системами с основаниями 2,4,8 и 16.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Как «бесполезной» Булевой алгеброй мы каждый день стали пользоваться

Двоичный код, пришедший к нам, казалось бы, с компьютерами, на самом деле это Универсальный Код Вселенной. Универсальный язык. Поэтому всякие послания инопланетянам, диски вояжёров - шифруют с помощью него. А началось все ещё в 1800-х лохматых годах.


Джордж Буль, широко известный в узких кругах, математик, решил разработать нечто не приспособленное к жизни. Ни к чему не пригодное. Математикам вообще свойственно изобретать такие вещи. Потом многое из их изобретений используется в прорывных технологиях. Джордж Буль, да не закатится в веках его имя, в этот раз придумал алгебру, основанную всего на двух цифрах: 0 и 1.
У нас-то цифр десять, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. А Джо Буль разработал целую арифметику и алгебру, основанную всего на двух цифрах: 0 и 1. Целый, как говорится, математический аппарат. Как это все складывать, умножать, делить. А так же в ней, как её назвали, в "Булевой алгебре", возникли и некоторые новые действия. Сдвиг - влево или вправо, Сравнение по модулю, Отрицание, всякие там дистрибутивные решетки, дизъюнкции и конъюнкции как арифметические действия, не буду вас грузить. Желающие все это узнать могут совершить обряд некромантии и спросить самого Буля, ну или посмотреть в интернете.


Ещё её называют "логическая математика", так как 1 и 0 это "Да" и "Нет". Мужская математика, все понятно, и придумал её Буль на основе формальной логики. Позже к ней подключился и слабый пол, вследствие чего в ней возникло кроме "Да" и "Нет" третье состояние: "Может быть". Следует ожидать дополнения её состояниями "Я посмотрю на твоё поведение" и "Туфли", но это дело будущих математиков.
Мнда, а закончилось же все это - ничем. Ну, разработал это Буль, сделал доклад о курьезной алгебре. Его разработку сдали в архив, автору выдали заслуженные почести, его облепили восторженные студентки со своими идеями. Но применить-то её некуда, хоть и хороша штучка.


А через сто лет изобрели Компьютеры. Внутри у компьютеров тоже два состояния: 0 и 1. Это диктовалось самой конструкцией первых компьютеров: реле выключено - это ноль, "нет". Реле включилось - это единица, "да". То же самое было у электронных ламп (напряжение на сетке есть/нет), у транзисторов (открыт/закрыт), да и у современных микроконтроллеров и процессоров. У них ячейка памяти либо насыщена, либо нет, на магнитной ленте домен повернут либо нет, да и сама вычислительная часть состоит из тех же насыщенных/нет микротранзисторах.


Ну хорошо, придумали первый компьютер: занимает первый этаж здания, реле щёлкают, клацают, магнитные ленты крутятся, электроэнергии жрет столько, что не напасешься, но: запомнить что-то уже может. На уровне да/нет. И вот в эту вычислительную громаду с реле идеально легла вытащенная из архивов Булева алгебра, основанная на да-нет, 0 или 1. И её применение в компьютерах дало мощный рывок развитию вычислительных машин. Теперь они все считают в нулях и единицах, и каждый раз, тапая пальцем по экрану, мы заставляем процессор проделывать массу вычислений в Булевой алгебре. А король всех компьютерных языков: Ассемблер - так это прямое ее воплощение.


Но на самом деле это и универсальный галактический код. Если бы мы шифровали наши послания в обычной математике, от нуля до десяти, то.. Откуда мы знаем, какая у инопланетян математика? Для нас «чуть больше половины» это шесть. А для других цивилизаций это может быть «три», или «18». А двоичный код понятен всем. Лампочка горит-нет, звезда горит-нет, дырка на носителе информации пробита-нет... Вокруг нас очень много основано на этих двоичных состояниях. Этот код должен быть понятен любому существу во вселенной, ибо в основе его лежит сама физика мироздания.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Что представляет из себя «геометрия Лобачевского» простыми словами?
Математика
Кощеев Артем
· зима 2019
2,4 K







Надежда Шихова ·

Редактор и переводчик книг по математике · zen.yandex.ru/maths

Чтобы представить себе геометрию Лобачевского, лучше всего сравнить ее с привычной евклидовой.
Евклид построил первый образец геометрии. Он перечислил основные понятия, вроде «точка», «прямая»… Потом — основные аксиомы, которые принимались без доказательств, настолько они были очевидны. Например: «из любого центра можно описать окружность любым радиусом»; «все прямые углы равны»…
А уж потом из этих аксиом чередой выводил вереницу теорем.
В этой стройной системе была закавыка — один постулат (пять аксиом Евклид назвал постулатами) выглядел неуклюже. Больше двух тысяч лет после Евклида математики пытались показать, что этот постулат лишний; что его можно вывести из остальных аксиом. Кто только этим не занимался: Омар Хайам, Лежандр, Бельтрами, Ламберт…
Николай Иванович Лобачевский сначала тоже попытался доказать пятый постулат, методом «от противного».
Лобачевский предположил другой постулат вместо пятого и надеялся из этого предположения вывести вереницу теорем так, чтобы какие-нибудь были противоречивы. Тогда можно было бы сделать вывод, что предположение ложное, а значит, пятый постулат Евклида истинный.
Так он выводил одну теорему за другой и в конце концов понял, что просто строит другую — неевклидову — геометрию. Ее утверждения казались парадоксальными:

• Сумма углов любого треугольника меньше 180°.
• Если углы двух треугольников попарно равны, то и треугольники равны.
• Подобных, но не равных треугольников не бывает.

И геометрия Евклида, и геометрия Лобачевского позволяют выводить цепочки непротиворечивых теорем. Но для геометрии Евклида у нас есть привычная модель: мы умеем рисовать точки и прямые, задавать углы и расстояния так, что все теоремы можно увидеть своими глазами. А для геометрии Лобачевского такой модели не было.
Как все нарисовать, придумали другие люди, и уже после смерти Лобачевского. Они создали модели геометрии Лобачевского. Модель — не то же самое, что геометрия. Модель позволяет нам представить и увидеть, что происходит в плоскости Лобачевского — а увиденное уже проще понять. Чтобы представить себе геометрию Лобачевского, надо отказаться от представления, что плоскость выглядит как бесконечный во все стороны лист бумаги, что прямая выглядит так:
В модели Пуанкаре на диске, например, плоскость выглядит как круг без края:
Представьте себе, что на этой плоскости живут коротышки, и что размеры всех объектов на плоскости уменьшаются при удалении от центра. Идет такой коротышка от центра к абсолюту (так называется край), и становится все меньше и меньше, а ножки у него все короче и короче. Идет он, идет, а до края дошагать никак не может — чем ближе к краю, тем ближе длина шага к нулю. А раз до края дойти не может, плоскость кажется ему бескрайней.
Точки в его мире выглядят так же, как в нашем. А прямыми в его мире считаются евклидовы диаметры диска и куски евклидовых окружностей, перпендикулярных абсолюту, несколько прямых нарисованы синим. В такой геометрии можно определить углы между прямыми, расстояния и преобразования, которые сохраняют расстояния.
С теоретической точки зрения геометрии Евклида и Лобачевского равноправны. А вот какая из них верно описывает наш мир — большой вопрос. Многое зависит от масштаба. Мы с вами знаем, что поверхность Земли больше похожа на шар, чем на плоскость; но размечая грядки на даче, мы об этом не думаем, для дачного масштаба хватает плоского приближения. Наш бытовой жизненный опыт говорит нам, что мы живем на плоскости; чтобы увидеть шар, надо перейти к планетарным масштабам.
Сам Лобачевский проводил астрономические наблюдения и вычисления, но его результаты не были достаточно аккуратны, чтобы определить, какая именно геометрия реализуется в нашем мире. Собственно говоря, науке до сих пор это неизвестно наверняка.
Про разницу между геометрией и моделью
Модели геометрии Лобачевского своими руками

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Просто прикольная математика. Число 153.

4 декабря 2019
8,2 тыс. дочитываний
50 сек.
9,1 тыс. просмотров. Уникальные посетители страницы.
8,2 тыс. дочитываний, 90%. Пользователи, дочитавшие до конца.
50 сек. Среднее время дочитывания публикации.



Привет, други мои!


Изображение соответствует теме публикации. Поймете почему, когда прочтете :)

Тем, кто меня часто читает, может показаться, что я слишком часто стал писать о всяких числах. Да, это действительно так, эту тему можно очень долго педалировать, потому как в числовом ряду куда ни плюнь, попадёшь в число с интересными свойствами.

Свойства эти в практическом смысле оказываются просто бесполезны и не применимы на практике, но математики тратят кучу времени на поиск всякой подобной всячины.
Существуют в математике так называемые числа Армстронга. Их еще называют самовлюбленными.
Натуральные числа, которые равны сумме своих цифр, возведенных в степень, равную количеству этих цифр называют самовлюбленными (или числа Армстронга)

А теперь по-русски :)

Возьмем для наглядности первое многозначное число в этом ряду:


3-я степень, потому что число состоит из 3 цифрРяд чисел Армстронга не является бесконечным, как большинство других рядов. Всего существует 88 подобных чисел. И последнее - 39-значное. Вот кстати и оно:


Вдруг кому-то станет интересно пересчитать его.В других системах счисления также существует подобное, но рассказывать об этом в рамках данной публикации я конечно же не буду.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Эта инструкция научит вас умножать тысячи в уме. Сколько будет 5185 на 8018?

Вам нужна только математика начальной школы


Чтобы умножать без бумаги, нужно на уровне рефлекса освоить два навыка:
I. Знать таблицу умножения
II. Складывать числа
Пункты важны, потому что будете десятки раз повторять операции. Получается просто, но много.
Отточить умножение поможет приложение УмноЖатель
Уделяйте тренировке не больше пяти минут за подход. Потом запоминать сложнее, а после тройки долгих сессий цифры начнут раздражать.
Быстро складывать получится точно таким же постоянным запоминанием.
Почти нигде не просят знать таблицу сложения, а она есть. Если до десяти цифры знают почти все, то после этого порога начинается ступор.
На лету вспомнить, какое число будет в следующем десятке полезнее в жизни, чем любое другое вычисление. Поэтому качайте и запоминайте.
Ещё один способ сложения, которого некоторые стесняются – довод до десятка. Это когда к одному числу сначала добавляют до круглого значения часть из второго, а потом плюсуют остаток:
8+5 = 8+2+3 = 10+3 = 13
В этом способе нет ничего стыдного, он эффективен, и с практикой доводится до автоматизма.
Когда научитесь на лету умножать и складывать элементарные значения, вставайте на продвинутый уровень: расчёты четырёхзначных чисел.

Операции с умножением тысячей в уме можно разделить на два типа: умножение на однозначные и многозначные числа.

Как умножить тысячи на однозначное число


Чтобы получить ответ на, допустим, пример 3864∙7, вам поможет система Разбить-умножить, разбить-сложить.
Так выглядит алгоритм:
1. Разбиваем большое число на единицы, десятки, сотни и так далее.
3864 = 3000 + 800 + 60 + 4
2. Умножаем каждый кусочек на второе число.
3000∙7 = 21000 | 800∙7 = 5600 | 60∙7 = 420 | 4∙7 = 28
3. Разбиваем результаты на простые группы одного размера.
21000 = 20000+1000 | 5600=5000+600 | 420 = 400+20 | 28 = 20+8
20000 | 1000+5000 | 600+400 | 20+20 | 8
4. Складываем группы с конца.
20000 + 1000+5000 + 600+400 + 20+20 + 8
20000 + 6000 + 1000 + 40 + 8
27048
Хотя на бумаге способ получается долгим, через несколько дней тренировка даст заметные результаты в скорости. У вас улучшится краткосрочная память, и вместимость чисел для сложения постепенно увеличится.
Важнее всего не потерять куски при последнем сложении. Этот этап доведёте до автомата постоянной практикой.
Отличие метода от привычного столбика в том, что мы постоянно дробим элементы на лёгкие частицы, которые быстро складываются.
Как умножить тысячи на многозначное число


Здесь поможет система Якова Трахтенберга. Во время заключения нацистами математик нашёл способ счёта особо крупных чисел в уме.
Предупреждаю, что способ подойдёт только тем, кто наработал краткосрочную память на большой массив чисел. Поскольку вам придётся долго держать остаток в уме и параллельно делать десяток сложений.
Запомните метод как Принцип снежинки.
В качестве примера решим 5362∙2934. Алгоритм такой:
0. Представьте числа привычным столбиком.
1. Перемножьте конечные (2∙4) цифры сверху и снизу.
Предпоследнюю цифру при наличии держим в уме (0), последнюю отправляем в результат (8): ** *** **8.

2. Перемножьте предпоследнюю цифру верхнего числа на последнюю нижнего (6∙4) и наоборот (3∙2).
Сложите результаты с тем, что храните в уме (24+6+0=30).
Держим остаток (3), а последнее число ставим в итог слева от предыдущего (0): ** *** *08.

3. Умножьте вторую цифру верхнего числа на последнюю нижнего (3∙4) и наоборот (9∙2).
Сложите результаты (12+18=30), а к ним добавьте умноженные друг на друга третьи цифры (6∙3) и остаток в уме (30+18+3=51).
Получили десяток в уме (5) и третью с конца цифру (1): ** *** 108.

4. Умножьте первую цифру сверху на последнюю снизу (5∙4) и наоборот (2∙2).
Умножьте вторую цифру сверху на третью снизу (3∙3) и наоборот (9∙6).

Сложите четыре числа и пятое из ума (20+4+9+54+5=92).
Получили десяток в уме (9) и четвёртую с конца цифру (2): ** **2 108.

5. Умножьте первую цифру верхнего числа на третью нижнего (5∙3) и наоборот (2∙6).
Сложите результаты, а к ним добавьте умноженные друг на друга вторые числа (3∙9) и остаток в уме (15+12+27+9=63).
Получили десяток в уме (6) и пятую с конца цифру (3): ** *32 108.

6. Умножьте первую цифру верхнего числа на вторую нижнего (5∙9) и наоборот (2∙3).
Сложите результаты с остатком в уме (45+6+6=57).
Получили десяток в уме (5) и пятую с конца цифру (7): ** 732 108.

7. Умножьте первую цифру верхнего числа на первую нижнего (5∙2).
Сложите результат с остатком в уме (10+5=15).
Запишите всё число перед итоговым: 15 732 108.
Вы получили ответ.

Если ваш множитель двух- или трёхзначный, то вместо недостающих цифр нижнего ряда подставляйте нули. В таком случае последним этапом будет тот, где вы умножаете максимальное количество пар.

Принцип снежинки намного проще, чем умножать столбиком. Вам не нужно держать в уме много крупных чисел сразу.
Важна только структура: запомните нарастающий порядок умноженных пар и что с чем нужно складывать.
Единственной сложностью останется запомнить результат, который вы постепенно выстраиваете.
Чаще тренируйте память вариантами проще, например, умножением двух- и трёхзначными числами в приложении Устный счёт.
И тогда сможете считать миллионы, не коснувшись бумаги.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Видео: разгадали знак бесконечность — что скрывает лента Мёбиуса

Математик и механик Август Фердинанд Мёбиус написал большое количество научных работ за свою жизнь, но стал известен уже в немолодом возрасте после того, как сделал одно удивительное открытие.
Как родилась лента Мёбиуса

Мёбиус трудился в области науки всю свою жизнь и будучи уже немолодым стал знаменит. Но он не успел оценить тот вклад, который внес в науку. Развернутая статья об этом была написана уже после его смерти. Как была открыта односторонняя поверхность в точности неизвестно, но существуют две распространенные версии.

Лента Мёбиуса В первом случае ученому очень помогла простая женщина, которая служила у него горничной. Она занималась всеми делами по дому, в том числе шитьем одежды и штопкой. Во время ремонта сорочки своего хозяина она неправильно прострочила воротник. И такая ошибка в ее работе вошла в историю. По второму утверждению, женщина сшила неправильно концы одной ленты. Так или иначе, Август Мёбиус увидел работу горничной и сделал уникальное открытие в науке.
Лента применяется в науке и повседневной жизни. По ее принципу работает лента аэропорта, на которой пассажиры встречают свой багаж. Применяется открытие математика и в станкостроении, принтерах, при записи на пленку.
Простота сложности объекта

Многие заметили сходство ленты со знаком бесконечности, который выглядят как расположенная горизонтально восьмерка. Официальное наименование знака звучит «лемниската» и переводится с древнегреческого «лента». Другие название ленты Мёбиуса — лист, петля или кольцо. Эта поверхность является в математике одной из самых известных. У петли одна поверхность и один край. Казалось бы, незамысловатая конструкция, но не все так просто.
Наука, которая изучает подобные объекты называется топология. Это область математики, придуманная Иоганном Листингом. Этот немецкий физик и математик известен и другим — он тоже открыл ленту, причем тоже в 1858 году. Именно тогда он придумал и термин математической области. Но в наименовании ленты было закреплено название не по его фамилии.

Древняя мозаика с изображением кольца, скрученного по типу ленты Мёбиуса Как сделать ленту Мёбиуса

Можно сделать ленту самостоятельно, это очень просто. Понадобится лента или полоска, вырезанная из листа бумаги. Нужно только соединить ее концы, но перед этим повернуть на 180 градусов один из них. Чтобы убедиться, что эта конструкция является примером односторонней не ориентируемой поверхности, возьмите карандаш или фломастер и попробуйте раскрасить только одну ее сторону. Этот процесс вернет вас в начальную точку, но при этом вся лента будет закрашена. И это доказывает, что сторона у нее одна.
Хорошо забытое открытие

В древности о ленте люди уже знали. В этом можно убедиться, если взглянуть на мозаику III столетия н. э., на которой помимо людей изображено большое кольцо, которое свернуто именно так, как и лента Мёбиуса.
https://www.youtube.com/watch?time_c...ature=emb_logo

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://www.youtube.com/watch?v=bbWDkTLSqAw
https://yandex.ru/images/search?text...png&rpt=simage
http://primat.org/publ/programmy_na_...evo/26-1-0-272
Дерево Пифагора

Автор Дмитрий Шахов

• размер шрифта
• Печать
• Эл. почта
• Станьте первым комментатором!

Оцените материал

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5

(4 голосов)




Дерево Пифагора является плоской фрактальной фигурой построенной из квадратов. Впервые фигура построена голландским учителем математики Альберт Э. Босманом в 1942 году при помощи линейки. Данную фрактальную фигуру он назвал в честь древнегреческого математика Пифагора, потому что каждая тройка касаясь квадратов охватывает прямоугольный треугольник, данные конфигурации традиционно используются, чтобы изобразить теоремы Пифагора.

Если самая большая площадь имеет размеры L × L, все дерево Пифагора плотно помещается в коробку размером 6L × 4L. Тонкости дерева напоминают кривую Леви.

Построение
Построение дерева Пифагора начинается с квадрата. По этой площади построены два квадрата, каждый уменьшен линейным коэффициентом ½ √ 2, так что углы квадратов совпадают попарно. Такая же процедура применяется рекурсивно, то к двум - еще меньшие квадраты, до бесконечности. На рисунке ниже показаны первые несколько итераций в процессе строительства.

Площадь
N - итерация в строительстве добавляет 2n квадраты размером (½ √ 2) N, в общей площади 1. Таким образом, может показаться, в этой части дерево растет неограниченно в пределе N → ∞. Тем не менее, некоторые из площадей перекрываются, начиная с порядка 5 итерации, и дерево на самом деле имеет конечную площадь, поскольку она соответствует размерам в 6 × 4. Это нетрудно доказать, что площадь А дерева Пифагора должна быть в диапазоне от 5 <А <18, которая может быть сужена в дальнейшем дополнительными усилиями.
Изменение угла
Интересный набор вариаций может быть построен путем поддержания равнобедренного треугольника, но изменения базового угла (90 градусов для стандартного дерева Пифагора). В частности, когда базовый половинный угол составляет 30 ° = арксинус (0.5), легко видеть, что размер клеток остается постоянным. Первое перекрытие происходит на четвертой итерации. Общая схема является по сути, ромббитригексагональной плиткой, где массив из шестиугольников граничит с конструкцией квадратов.


В пределе, когда половинный угол составляет 90 градусов, то, очевидно, не перекрываются, и общая площадь в два раза превышает площадь основания квадрата. Было бы интересно узнать, есть ли связь между алгоритмическим значением базового половинного угла и итерации, на которой квадраты накладываются друг на друга.

Измененное и модифицированное дерево Пифагора (фрактал) для применения в антенной технике.
Использование оригинального фрактального дерева Пифагора (UPTF) изобретено голландским математиком, Альберт E.Босманом в 1942 году. Дерево Пифагора является 2D фракталом построенным из квадратов. Как уже описывалось ранее, начиная с пятой итерации некоторые из площадей перекрываются, и дерево - фрактал фактически имеет конечную площадь, поскольку она помещается в размер 6 × 4 - коробки. По этой причине необходимо задержать перекрытие пальцами левой и правой руки UPTF в 4-й итерации, таким образом, мы проектируем MPT - фрактал путем устранения первых итераций большой площади и изменим равнобедренный прямоугольный треугольник равнобедренным треугольником с крутыми углами (α = 10 град), чтобы уменьшить высоту фрактала и спроектировать компактные антенны. Наша цель в проектировании ЛПУ является использование этого фрактала для управления пропускной способностью и сопротивлением резонансов. На основе результатов моделирования изменения дерева Пифагора замечена очень хорошая возможность миниатюризации из-за его свойства самоподобия, без значительного снижения пропускной способности и эффективности антенны.
Фламандский художник Jos de Mey создал много работ с деревом Пифагора в качестве основного мотива. Ниже вы можете увидеть его работы.


http://demonstrations.wolfram.com/PythagorasTree/ - Фрактальная конструкция, основанная на теореме Пифагора. Это асимметричный вариант; симметричный вариант также возможен.
http://demonstrations.wolfram.com/download-cdf-player.html - скачать плеер для просмотра
Источник: http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagoras_tree_(fractal)
Перевод: Дмитрий Шахов

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://tproger.ru/video/non-euclide...zen.yandex.com

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Почему нельзя вычислить точную площадь круга? Что же такое число Пи?

9 июня
55 тыс. дочитываний
2,5 мин.
76 тыс. просмотров. Уникальные посетители страницы.
55 тыс. дочитываний, 72%. Пользователи, дочитавшие до конца.
2,5 мин. Среднее время дочитывания публикации.






Добрый день, уважаемые гости и подписчики канала "Строю для Себя"!
На данный момент, математика дает четкое определение числа Пи - это константа, которая равна отношению длины окружности к ее диаметру.
Согласно исторических данных, считается, что число Пи было выведено 3500-3800 лет назад древними вавилонянами, а первый метод расчета этого числа принадлежит Архимеду Сиракузскому в 250 году до н.э. Он использовал метод описанных и вписанных в круг правильных многоугольников.
Таким образом, Архимед рассчитал, что Пи находится в интервале от 3 1/7 до 3 10/71. С его открытия, в течение порядка 1000 лет ученые всех уголков мира пользовались этими значениями, а сегодня некоторые до сих пор называют Пи как постоянное число Архимеда.


Приблизительно в 265 году уже нашей эры, - великий математик Лю Хуэй использовал свой алгоритм расчета. Он сделал, схожие с методом Архимеда, расчеты для правильного N-угольника с 3072 углами, тем самым получив примерное значение числа Пи 3,14159


В разные временные периоды, значение числа Пи имело разное значение. Из столетия в столетие, это число рассчитывалось все точнее и точнее, и после появления первой вычислительной техники, значение данного числа приобрело 4 000 000 000 знаков после запятой десятичной дроби, на сегодняшний день оно имеет 206 млрд. знаков.

Интересный факт, что число существовало как просто число, а буквенное обозначение "π" (Пи), оно получило лишь в начале 18 века от двух греческих слов "окружность" и "периметр" (περιφέρεια и περίμετρος).

Вплоть до сегодняшнего дня, математикам всего мира так и не удалось получить конечное число Пи и соответственно, так же неизвестно, какие из цифр от 0 до 9 и сколько раз встречаются в десятичной дроби.
Современная ЭВМ лишь рассчитала 206 миллиардов знаков после запятой, и было открыто, что все 10 цифр в числе Пи встречаются примерно одинаковое количество раз и на этом исследование завершено.


Таким образом, все мы понимаем, что число Пи является бесконечным числом, поэтому предела точности расчета площади круга, а также других фигур, где в расчетах используется число Пи - не существует.
Даже используя современный компьютер, мы лишь можем вычислить максимально приближенное значение, но никак не точное!