Любопытное в математике

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Дано: 1) Гомеостатический императив
Отличительной способностью живых организмов является их способность поддерживать собственный гомеостаз — т.е. сохранять относительное динамическое постоянство состава и свойств внутренней среды и устойчивости основных физиологических функций в условиях изменяющейся внешней среды.

Сохранение гомеостаза — абсолютное условие выживания любого живого организма.

Это значит, что набор внутренних состояний живого организма есть некое подмножество всех возможных внутренних состояний. Причем состояния, совместимые с выживанием агента, составляют мизерную толику всех возможных состояний.


Под состояниями понимаются все положения и движения частей тела агента, электрохимические состояния его мозга, физиологические изменения в органах и т. д. Пока эти состояния находятся в области, совместимой с выживанием (в области гомеостаза), все в порядке — агент будет жить. Если же состояния организма окажутся за пределами области состояний, совместимых с выживанием, жизнь агента прекратится (например, если температура тела человека станет ниже 24° или выше 43°).
Следует, однако, иметь в виду, что для разных организмов области состояний, совместимых с выживанием могут сильно отличаться.


Но так уж устроен мир, что выживанию агента постоянно мешает хаос в окружающей его среде. В соответствии со 2-м законом термодинамики, энтропия мира в целом неуклонно растет. Это провоцирует увеличение числа возможных состояний агента, что грозит риском выхода за пределы области состояний, совместимых с выживанием. Агенту нужно как-то с этим бороться, ибо вопрос стоит о самом для него важном — о выживании.
Дано: 2) Прогнозирующий мозг
Согласно доминирующей в современной науке концепции «прогнозирующего мозга», в нем постоянно формируется и обновляется модель окружающего мира и самого агента в этом постоянно меняющемся окружении. Поступающие от органов чувств сенсорные данные (о состоянии среды и самого агента) постоянно сравниваются с прогнозами (ожиданиями) мозга, какими эти данные должны быть в соответствии с его моделью. При этом главная цель существования (см. в «дано 1» выше) постоянна и неизменна —

оставаться в области состояний, совместимых с выживанием.

На практике для агента возможны два варианта.

• Если сенсорные данные совпадают с прогнозом, значит гомеостазу ничего не грозит, т.е.:
  а) порядок поддерживается (энтропия не растет);
  b) вероятность остаться в области гомеостаза высокая;
  c) неприятные и опасные неожиданности отсутствуют.
• Если же сенсорные данные расходятся с прогнозом — это трактуется мозгом, как:
  a. порядок нарушается (энтропия растет);
  b. вероятность остаться в области гомеостаза снижается;
  c. организм столкнулся с неожиданностью (что неприятно и опасно).

2. Что экономит природа

В предыдущем разделе, на основании двух «дано», была представлена общая схема оценки ситуации прогнозирующим мозгом, стремящимся сохранить гомеостаз — состояния, совместимые с жизнью организма. В зависимости от величины неожиданности, у прогнозирующего мозга получаются два возможных результата: удовлетворительный для живого организма или неудовлетворительный.
Зададимся вопросом: что же в такой схеме должна «экономить» природа?
Исходя из того, что было «дано», ответ очевиден. Нужно «экономить» (т.е. стараться не давать снижаться) вероятности гомеостаза. А для этого нужно (как видно из приведенного выше рисунка) минимизировать неожиданность. Именно она — угроза для выживания.

Поскольку цель агента — во что бы то ни стало выжить, необходимо минимизировать неожиданность. Это, по сути, универсальный принцип выживания любого агента.

Но как измерять неожиданность?
Напрямую — получается, что никак. Окружающая среда — находится вне агента. А модель — внутри него (в мозге). Связь между ними непрямая — через органы чувств.


Тогда зададимся вопросом — а в чем суть неожиданности?
Интуитивный ответ однозначен — в том, что мы такого не ожидали. Т.е. произошло что-то невероятное с точки зрений наших ожиданий.
Воспользуемся этим пониманием неожиданности, как невероятности, в контексте прогнозирующего мозга. Есть модель мира (m) и сенсорные данные (s). Вероятность совпадения сенсорных данных с моделью мира можно записать так: log p (s | m). Тогда невероятность этого будет тем же самым выражением со знаком минус: -log p (s | m). Математически минимизация средней неожиданности (также называемой энтропией) становится тем же самым, что и максимизация обоснованности p (s | m ) модели.


Но вместо неожиданности, можно измерять ошибку модели, т.е. разницу между реальными сенсорными данными и их прогнозом в соответствии с моделью мира в мозге агента.


Тогда в качестве верхней границы неожиданности (максимума ошибки модели) будет величина, называемая в статистической физике «свободная энергия». Она по определению будет больше или равна неожиданности (ошибки модели), ибо

свободная энергия = неожиданность + дивергенция

Последняя — это некая мера удалённости друг от друга двух вероятностных распределений и, следовательно, неотрицательная величина. Из чего следует, что свободная энергия всегда будет верхним пределом неожиданности.


Принципиально важно зафиксировать.

Свободная энергия здесь не имеет ничего общего с энергией в общепринятом смысле. Это теоретико-информационное понятие, взятое Фристоном из статистической физики.

Вместе с тем, свободная энергия Фристона, будучи рассмотренной в контексте принципа наименьшего действия, вполне соответствует понятию «действие», в механике используемом в качестве меры изменения количества движения в ходе процесса, ведущего к изменению состояния. Как было показано в части 1, понятие действие обобщается и на немеханические формы движения, в которых под действием понимают количественную меру процесса, связанного с преодолением каких-либо сил. А сила — это понятие, относящееся к нескольким объектам. И в общем виде материальных взаимодействий можно говорить не только о механической природе сил, но и о химической, электрической, ядерной и прочими видами взаимодействий.
Озарение Фристона, сумевшего-таки найти таинственную величину, что «экономит» природа в живых агентах, основано на том, что он первым увидел ускользавшее ранее от других.

• Что принцип наименьшего действия для живых агентов должен касаться их взаимодействия с окружающей средой, в ходе которого должна минимизироваться некая величина, являющаяся мерой данного процесса.
• Что эта таинственная величина может решать ту же проблему, что в 1972 г. решал Ричард Фейнман в контексте квантовой статистической физики. Фейнман предложил использовать формализм интегралов по траекториям и вариационное исчисление, исходя из того, что минимизация свободной энергии эквивалентна (приблизительно) максимизации доказательств модели. Эти вариационные методы обеспечивают эффективные байесовские процедуры, и потому в настоящее время широко используются для анализа эмпирических данных.
• Что те же вариационные схемы могут быть реализованы биологически правдоподобным способом. Это делает их важной метафорой для обработки информации нейронами мозга. И, следовательно, можно было бы применить аналогичный подход к задаче байесовского вывода мозгом, а именно, — к оценке доказательств генеративной модели окружающего мира, формируемой мозгом.

Фото лекции Ричарда Фейнмана, на которой он рассказывает, что фундаментальные законы можно облечь в форму принципа наименьшего действия. Источник фото и стенограмма лекции: https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_19.html

В результате этих догадок, у Фристона, как и у Фейнмана, происходит минимизация свободной энергии в смысле, эквивалентном максимизации доказательств модели. И делается это решением задачи оптимизации с применением вариационного принципа. Поэтому точное название того, что «экономит» природа в живых организмах — вариационная свободная энергия.

«Экономя» её, мозг, пытается максимизировать доказательства своей байесовской модели мира, неявно пытаясь при этом минимизировать свою энтропию.
Другими словами, сопротивляясь 2-му закону термодинамики, мозг прибегает к самоорганизации в борьбе с царящим в мире беспорядком. Из чего следует, что

мозг — это самоорганизующаяся система, минимизирующая свою энтропию и тем самым противостоящая естественной тенденции к беспорядку, поддерживая устойчивый и гомеостатический обмен с окружающей средой.

Таким образом, Фристон показал, что предложенный им принцип оптимальности (принцип свободной энергии —  ПСЭ) является принципом экстремального действия, лежащим в основе работы мозга.
Теперь Фристону оставалось ответить на вопрос, — КАК мозг это делает?
3. Как минимизируется свободная энергия

Ответ на этот вопрос лежит на поверхности. Он вытекает из того, чем живое отличается от неживого.

Живой организм способен действовать, меняя состояния внешней среды. А ключевым фактором этой способности является движение.

Что делает организм столкнувшись с опасной для него неожиданностью? Вариантов всего два.
✔️ Действовать — воздействовать на мир (убегать, нападать, ломать, строить и т.д.)
✔️ Изменять представления о мире в своей модели (может, на самом деле, все не так плохо, как она прогнозирует, и если ее соответствующим образом подправить, глядишь, неожиданность исчезнет).
Получается такая схема.


Реализация данной схемы мозгом автоматически ведет к минимизации свободной энергии. Как эта происходит на практике, можете посмотреть в изложении Джули Питт (примерно 10 мин. с 21й минуты).

А можно послушать и самого Фристона (1 час 47 мин с переводом), дабы узнать куда больше, если пробиться сквозь непроходимую сложность изложения, присущую гениальному ученому.

Но как наиболее емкий и понятный рассказ, я бы рекомендовал доклад на совместном биолого-математическом семинаре ИПУ РАН и ИБР РАН д.ф.м.н. Людмилы Юрьевны Жиляковой (здесь можно скачать слайды доклада).

В докладе Л.Ю.Жиляковой в деталях рассматривается математическое описания мозговых функций с помощью ПСЭ, выполненое Фристоном на основе «Байесовской теории мозга». Мы же здесь лишь пробежимся по верхам этого математического описания, чтобы уловить главное.
Байесовская теория мозга содержит в себе набор математических инструментов для моделирования взаимодействия организмов с окружающим миром. В настоящее время это одна из самых влиятельных теорий в когнитивной нейробиологии. Ее суть в том, что мозг строит свои прогнозы в форме байесовских вероятностей, получая данные от органов чувств, и постоянно обновляя (выводя) свои убеждения (beliefs) о состоянии окружающего мира. Здесь термин “убеждение” обозначает ментальную репрезентацию, которой придерживается агент и которая может отражать его предшествующий опыт. Убеждения могут касаться конкретных (например, физических свойств объектов в мире) или абстрактных (например, намерений других людей) сущностей мира. Чтобы учесть неизбежную неопределенность, убеждения имеют вероятностное представление и соответствуют распределениям вероятностей. Т.о. они характеризуются статистическими данными, такими как математическое ожидание (среднее значение) или точность (обратная дисперсия). Более того, убеждения могут зависеть друг от друга и в совокупности составляют модель мира агента.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

В частности, теорема Байеса описывает, как первоначальное убеждение (или априорная информация — Prior) о конкретной величине интегрируется с новыми наблюдениями (то есть сенсорным входом — Likelihood) или обновляется ими, что приводит к обновленному (или апостериорному — Posterior) убеждению.
Данный процесс можно проиллюстрировать так.


Источник оригинала: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/art...PMC7243935/Вот что иллюстрируется каждым из четырех графиков.
А) Иллюстрация концепции “убеждений” как вероятностных распределений. Показано гауссово распределение вероятностей, характеризующееся математическим ожиданием (вертикальная пунктирная линия) и точностью (горизонтальная двойная стрелка). Ось X (Коричневая) указывает на сущность, по отношению к которой формируется убеждение (например, температура конкретного объекта). Ось Y (фиолетовая) представляет собой, попросту говоря, вероятность, которая присваивается каждому возможному значению этой сущности (в приведенном выше примере: вероятность того, что температура объекта имеет определенное значение).
Б) Графическое изложение теоремы Байеса для гауссовых распределений вероятностей. Показано, что Posterior представляет собой компромисс между Prior и Likelihood, в зависимости от их относительной точности. PE-это аббревиатура от «prediction error» (ошибка предсказания). Допустим, что данный рисунок иллюстрирует восприятие температуры. Фактически воспринимаемая температура (апостериорное убеждение Posterior) — это компромисс между ожидаемой или предсказанной температурой (априорным убеждением Prior) и сенсорным входом Likelihood. Posterior можно также понимать, как обновление Prior, где величина обновления убеждения зависит от ошибки предсказания (PE) и относительной точности (обратной дисперсии) Prior и Likelihood.
В этом примере точность сенсорного ввода Likelihood выше, и поэтому Posterior сдвигается в сторону Likelihood.
В) Когда точность Prior выше, чем точность Likelihood, происходит небольшое обновление убеждения, приводящее к тому, что Posterior остается близким к Prior.
Г) Когда точность Likelihood выше, чем точность Prior, происходит большое обновление убеждения, приводящее к тому, что Posterior перемещается в сторону Likelihood.
Резюмировать рассмотренное выше математическое представление интегрального процесса минимизации свободной энергии на основе «Байесовской теории мозга» можно в виде двух процессов: прогностического кодирования и активного вывода.
✔️ Мозг конструирует иерархическую модель мира (физической и социальной среды, а также собственного тела), которая направляет восприятие и действие.
✔️ Процесс прогностического кодирования (Predictive coding) представляет восприятие как байесовский вывод в рамках иерархической модели о мире.
✔️ Процесс активного вывода (Active inference)объясняет выбор действий, как процесс реализации представлений о мире путем постоянного уточнения убеждений (Belief-fulfilling process).
Иными словами, все биологические, живые системы имеют три характерные особенности:

• Внутренняя модель мира.
• Внешние данные от органов чувств о мире.
• Умение совершать действия в мире.

ПСЭ объединяет оба процесса (прогностическое кодирование и активный вывод) единой общей идеей:

цель мозга — свести к минимуму неожиданность (или ошибку предсказаний) сенсорных входов.

Сочетание прогностического кодирования и активного вывода позволили Фристону и его последователям использовать ПСЭ для объяснения разнообразных явлений в сенсорной, когнитивной и двигательной неврологии, а также получить полезную информацию о структурно-функциональных отношениях в мозге. Результатом этого стала формализация важной связи между теорией информации (в смысле статистической термодинамики) и формальным описанием адаптивных агентов с точки зрения теории полезности и теории оптимальных решений.
4. Универсальная основа всего живого



Пример универсальности ПСЭ на разных уровнях биологической организацииДаже из приведенного предельно сжатого и упрощенного изложения основ ПСЭ, видно, что этот простой постулат имеет весьма важные “побочные эффекты”. Среди них три важнейших феномена, характеризующих живых агентов: восприятие, действие и обучение. Все они непосредственно связаны с процессами прогностического кодирования и активного вывода.

• Формирование прогнозов → порождает феномен восприятия.
• Изменение мира → целевая функция феномена действие.
• Формирование и уточнение внутренней модели мира → цель и механизм феномена обучение

Однако самым фундаментальным свойством ПСЭ является его универсальность для всего живого. Этот принцип применим не только к мозгу, но и к любой живой системе. По своей сути, ПСЭ — это эвристическое доказательство следующего фундаментального предположения.

Жизнь, понимаемая, как биологическая самоорганизация, является неизбежным эмерджентным свойством любой эргодической случайной динамической системы, обладающей марковским ограждением (Markov blanket).

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Два особых требования, указанные в этом определении понятия «жизнь», необходимы для идентификации индивидов (отдельных живых существ) и объясняются так.
a) Требование наличия марковского ограждения необходимо для индивидуализации — выделение конкретного индивида в пространстве из его окружения (не являющегося этим индивидом). Понятие марковское ограждение возникло не в нейробиологии. Оно гораздо более фундаментально. Любая материальная сущность обладает своим марковским ограждением, поскольку, если его нет, невозможно отличить эту сущность от другой или от окружающего мира.
b) Требование эргодичности системы необходимо при определении того, что этот индивид живой, т.е. он существует во времени. Эргодичность позволяет интерпретировать среднее время нахождения динамической системы в некотором состоянии, как вероятность того, что она будет находиться в этом состоянии при случайном наблюдении.

Указанные два требования определяют живого индивида, как нечто стабильное, существующее во времени и поддерживающее собственную биологическую самоорганизацию.

Это представление новой биологии 21 века (биологии процессов, в отличие от биологии вещей 20 века) согласуется с информационной теорией индивидуальности. Согласно ей, «живой индивид» — это агрегат (в смысле упорядоченная совокупность частей), который сохраняет свой показатель целостности во времени, распространяя в будущее максимально возможное количество информации (подробней см. мой пост «Что такое жизнь с точки зрения науки 21 века»).
С учетом всех сделанных уточнений, можно переформулировать ПСЭ в общем виде.

Любая живой индивид взаимодействующий с окружающей средой, в целях собственного выживания, должен минимизировать неопределенность в отношении причин сенсорных входов (и тем самым максимизировать свою адаптивную приспособляемость).

Следовательно, ПСЭ является условием самой возможности существования адаптивных систем. Это предполагает, что адаптивные системы были бы невозможны, если бы ПСЭ не был истинным. По словам Фристона, “биологические системы, которые не минимизируют свободную энергию, не могут существовать”.
А теперь, чтобы проиллюстрировать универсальность ПСЭ для всего живого, воспользуемся описанием, взятым из работы Максвелла Рамстэда и Пола Бэдкока «Answering Schrödinger’s question: A free-energy formulation» (отвечая на вопрос Шредингера: формулировка свободной энергии). Вопрос Шредингера, как мы помним, звучал так — «Что такое жизнь с точки зрения физики?».
Как следует из приведенного выше определения, живой индивид может существовать на любом уровне биологической организации: от субклеточного до социального. Тогда, с учетом вложенности марковских ограждений, ПСЭ может быть принят в качестве универсального принципа существования жизни, разума и общества, применительно к широчайшему диапазону временных и пространственных масштабов.


Источник оригинала: https://www.researchgate.net/publica...to_ThorntonЭта схема суммирует различные временные шкалы, в течение которых минимизация свободной энергии может рассматриваться как оптимизация следующих аспектов живого индивида: состояние (восприятие), конфигурирование (действие), коммуницирование (обучение и внимание), анатомия (развитие мозга) и фенотип (эволюция).
Аргумент минимизации (argmin) определяет такие значения аргументов, при которых функция (свободная энергия F) достигает минимума. Аргументы включают в себя для живого индивида m: его внутренние состояния m, сенсорные входные данные s и действия a.
Как видно из рисунка, минимизация свободной энергии происходит в широчайшем диапазоне временных и пространственных масштабов:

• в реальном времени (милисекунды): нейрокогнитивность (восприятие и действие, а также обучение и внимание);
• на протяжении жизни индивида (годы): нейроразвитие;
• на протяжении жизни группы — семья, род … (десятилетия, века): эпигенетические механизмы минимизации свободной энергии между поколениями;
• на протяжении жизни вида — напр. Homo sapiens (тыс. и млн. лет): процессы адаптации в эволюционной психологии, включающие в себя оптимизацию во времени генеративных моделей индивидов и их сородичей через наследование адаптивных априорных убеждений — Priors.

─── ≈ ≈ ≈ ───
Заключение

«Слова скрывают тайный смысл; каждый раз, как его одевают в слова, он становится немного иным, немного искаженным, немного глуповатым… да, и это тоже очень хорошо, и очень мне нравится, это тоже мне очень понятно: слова, в которых один человек находит жемчужины мудрости, для другого звучат глупостью».
Герман Гессе

Это резюме я не зря сопроводил цитатой из «Сиддхартха». Сейчас, когда пост почти закончен, мне уже не кажется, что мое изложение теории Фристона получилось сильно понятней, чем оригинальные тексты самого Фристона. Увы, но зачастую, слова скрывают не только тайный смысл, но и тот, что автор пытается выразить явным образом. Весьма возможно, что многое из воспринимаемого мною в теории Фристона жемчужинами мудрости, многими будет воспринято непроходимой глупостью.
Но кабы то ни было, резюмируем.
✔️ ПСЭ представляет собой математическую формулировку тенденции автономных живых систем адаптивно противостоять энтропийному распаду.
✔️ ПСЭ гласит, что все живые системы действуют так, чтобы уменьшить ошибку предсказаний и тем самым неявно противостоять энтропийной тенденции к термодинамическому равновесию — рассеянию и смерти.
✔️ ПСЭ является основополагающим принципом биологической самоорганизации (или самосборки) автономных биологических систем в масштабах от соматической адаптации на субклеточном и клеточном уровне до эволюции на уровне биологического вида.
✔️ Биологическая самоорганизация (жизнь) эргодических случайных динамических систем, проявляющаяся на всех уровнях вложенности марковских ограждений (клетка, орган, организм, группа, вид) является неизбежным эмерджентным свойством, обусловленным ПСЭ.
✔️ На всех этих уровнях, в широком диапазоне временных и пространственных масштабов, ПСЭ определяет ход процессов развития, присущих каждому из уровней: нейрокогнитивность, нейроразвитие, эпигенетика и эволюция.
✔️ Разум в этой схеме не является «объектом». Он проявляется в поведении живого индивида, совместно управляемом мозгом и телом и направленном на сохранении гомеостаза. Последнее, в свою очередь, всего лишь следствие ПСЭ для биологической самоорганизации. И сознание также не «объект», а естественный процесс, такой как эволюция или погода. А интеллект — и не «объект», и не процесс, а всего лишь мера разумности (целесообразности) поведения индивида. Тогда как волю живого индивида можно рассматривать, как результат интеграции способности предсказывать будущее и возможные действия и способности, основываясь на внутренней мотивационной структуре, выбрать конкретный путь, выполняя соответствующие действия.

Т.о. попытка создать искусственный разум или искусственный интеллект в схеме Фристона просто нонсенс.

Без воплощенного в какое-то тело живого индивида, обладающего собственной мотивационной структурой, волей и сознанием, определяющими разумность его поведения, говорить о создании искусственного интеллекта бессмысленно. Мера разумности такого ИИ, в сравнении с человеком, равна 0. Это будет всего лишь устройство, способное выполнять какие-то действия человека (возможно, даже намного лучше его), но не обладающее ничем из вышеназванного и, следовательно, не являющееся разумным (типа экскаватора, несомненно превосходящего человека в копании).
Подробней вопрос об условиях формирования разума в контексте пространственного восприятия мозгом окружающего мира и собственного тела, а также о том, как это связано с «временной толщиной» моделей будущего (и прошлого) в мозге, — планируется рассказать во второй части настоящего повествования.
≈ ≈ ≈
В завершение закольцуем наш рассказ, чтобы закончить тем, с чего начали — с принципа наименьшего действия и его великого природообразующего смысла. Только теперь мы приведем слова самого Фристона, цитирующего первооткрывателя ПНД Пьера Луи Мопертюи в своей знаменитой стать «Принцип свободной энергии для биологических систем»

«Таким образом, принцип свободной энергии — это всего лишь тонкая реконструкция принципа наименьшего действия в условиях случайных динамических систем. Заслуга первой формулировки этого принципа принадлежит Пьеру Луи Мопертюи, который писал: “поскольку законы движения и покоя, выведенные из этого принципа, в точности совпадают с законами, наблюдаемыми в природе, мы можем восхищаться его применением ко всем явлениям. Движение животных, вегетативный рост растений… есть только его последствия; и зрелище вселенной становится тем величественнее, тем прекраснее, тем достойнее ее создателя, когда знаешь, что для всех движений достаточно небольшого числа мудро установленных законов.”

Закольцевав рассказ, можно заканчивать первую часть предлинного повествования об основном принципе жизни и разума — вариационном принципе свободной энергии. Мы рассмотрели его с высшего уровня абстракции, дабы попытаться, не заморачиваясь деталями, увидеть и понять его суть. Насколько это получилось, судить вам.
Закончить этот лонгрид хочу словами одного из его героев — Феликса Ауэрбаха. Ими он закончил свою визионерскую, если не пророческую книгу «Эктропизм или физическая теория жизни».

«Мы пришли к концу. Не к концу того, что по этому предмету может быть сказано; но к концу того, что мы сочли уместным здесь сказать. Если ты переполнен тем, что остается еще сказать, то нужно с быстрой решимостью кончить».
https://www.youtube.com/watch?v=DuqR...ature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=28XD...ature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=qRi_...ature=emb_logo

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Как извлекать квадратный корень в столбик? Показываю простой алгоритм!

3 августа
11 тыс. дочитываний
2,5 мин.







Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!


Еще в школе Вас научили складывать и вычитать, умножать и делить в столбик. Более "закаленные" математики помнят, что и многочлены в школьном курсе математики приходилось делить на бумаге. А что же с извлечением квадратного корня? Интуиция подсказывает, что и эта операция может быть выполнена на бумаге достаточно просто, и она нас не обманывает. Давайте посмотрим вместе, как это сделать. Поехали!
Извлекаем квадратный корень из 6-значного числа

Гостем сегодняшней программы является число 341187. Попробуйте, не заглядывая дальше, прикинуть, чему равен квадратный корень из него. Первую цифру, наверняка, Вы отгадаете, и это будет 5, а вот дальше становится сложнее. Однако, цифра 5 является "толчком" для следующих действий.


Первые шаги мы уже описалиОбратите внимание, что я поставил апострофы, чтобы было удобно сносить цифры. Почему по две цифры? Потому что, любое число меньше 10 в квадрате состоит не более, чем из 2 цифр. (в сиутации с кубическим корнем всё сложнее). Итак, продолжим:


Объясняю: каждое число, которое будет получаться в результате, мы будем умножать на 2 и сносить вот таким образом:


Здесь подробнее:

1. Вычитаем из 34 квадрат числа, не превосходящий его. Получаем 9.
2. Сносим вторую пару чисел, получаем 911.

1. Умножаем 5 на 2, получаем 10 и записываем его слева от 911.
2. Ставим точки, обозначающие следующую цифру результата.

Теперь у нас следующая задача: найти число вида 10n, которое при умножении на n, будет меньше 911. Очевидно, что это число - 8, ведь 108*8=864 < 911, а 108*9=972>911.


Запятая между разрядами не нужна)Теперь вычитаем и получаем 47, приписываем оставшиеся две цифры справа, умножаем 58 на 2 и приписываем слева с точкой:


Аналогично находим, что за точкой скрывается число 4. Теперь поправочка: если бы корень извлекался нацело, то на этом этапе получился бы 0. В нашей ситуации, всё не так: результат будет дробным. Впрочем, никто не мешает приписать справа два нуля и продолжить извлечение корня:


Проверьте на калькуляторе: всё правильно!

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Приёмы мгновенного умножения чисел от Якова Перельмана, которые помогут вам виртуозно и быстро считать

10 августа
40 тыс. дочитываний
3,5 мин.







#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳


Н.П. Богданов-Бельский . 1930 годЗдравствуйте, уважаемые читатели канала Хакнем Школа!
После многочисленных отзывов и комментариев к статье «Умножение — мучение, или «русский» способ умножения от Перельмана, который вы не знали» я решила написать к ней продолжение. В комментариях наши читатели рассказывали о быстрых способах умножения, которые применяют сами, за что — огромное спасибо! В этой статье я предложу вам ещё несколько приёмов, которые можно применить для быстрого умножения чисел.
1. Алгебраические преобразования

Пример 1. Выполним умножение чисел 19×17
Представим число 19 = 20 – 1 и выполним умножение, раскрыв скобки:
(20 – 1) × 17 = 20×17 – 1×17 = 340 – 17 = 323
Можно и так:
19 × 17 = 19 × (10 + 7) = 19 × 10 + 19 × 7, но так сложнее, сами видите
Пример 2. Выполним умножение чисел 93×34
Представим число 93, как 93 = 100 – 10 + 3 и выполним умножение, раскрыв скобки:
(100 – 10 + 3) × 34 = 100 × 34 – 10 × 34 + 3 × 34 = 3400 – 340 +102 = 3162.
Как видите, умножение двузначных чисел выполняется практически устно.
Здесь мы применили распределительный закон умножения относительно сложения (вычитания):
(a + b)c = ac + bc

(a – b)c = ac – bc

Способ вычисления взят опять же у Перельмана Я.И. «Занимательная алгебра». — 1955 год (очень занимательная книга, тем, кто не читал — советую!).
Пример 3. Вычислить


988 × 988 = (988 + 12) × (988 – 12) + 12 × 12 = 1000 × 976 + 144 = 976000 + 144 = 976144
Легко сообразить, что в этом случае мы пользуемся формулой сокращённого умножения


и следующими алгебраическими преобразованиями:


В математике часто применяется этот способ: вычесть и прибавить одно и то же число, тем самым, исходное число не меняется.
Для удобства вычислений мы вычли и прибавили 12 в квадрате, т.е. 144, чтобы использовать при вычислении умножение на 1000.
Пример 4. Вычислить 986 × 997
Вычисляется это так: 986 × 997 = (986 – 3) × 1000 + 3 × 14 = 983 000 + 42 = 983 042
Почему так?
Как видите сами, числу 986 до 1000 не хватает 14, а числу 997 — 3. Представим исходное произведение, как
(1000 – 14) × (1000 – 3) =
Раскроем скобки и выполним следующие преобразования:
= 1000 × 1000 – 1000 × 14 – 1000 × 3 + 14 × 3 = 1000 (1000 – 14 – 3) + 14 × 3 = 1000 × (986 – 3) + 14 × 3
Разберитесь с этим правилом, и попробуйте сами решить следующий пример:
987 × 995 = ????
(Ответ должен получиться 982 065)


2. Правило быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, оканчивающихся на 5, состоит в том:

- умножают число десятков на число, на единицу большее, и к произведению приписывают 25.
35 × 35= 1225, (3 × 4 = 12 и приписываем 25);
65 × 65 = 4225, (6 × 7 = 42 и приписываем 25);
75 × 75 = 5625 (7 × 8 = 56 и 25).
Данный способ основан на следующем: если число десятков обозначить за a, то всё число записывается: 10a + 5, возведём его в квадрат в таком виде, применив формулу сокращённого умножения:


Выражение a (a +1) — это и есть произведение числа десятков на ближайшее большее число. Умножить это число на 100 и прибавить 25 — всё равно, что приписать к числу 25.
3. Особенности перемножения чисел, оканчивающихся на 1, 5, 6, 25 и 76

Вероятно, все помнят, что при перемножении чисел, оканчивающихся на 1 или 5, получается число, оканчивающееся той же цифрой.
Так вот то же правило работает и с 6, 25 и 76
Например:




Я.И. Перельман (1882 - 1942). Источник фото: fkr.spb.ru

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Самый красивый метод умножения, что я видел. Древнеиндийский способ

Приветствую, уважаемые Читатели! Сегодня очень быстро расскажу Вам об одном из методов умножения, которым пользовались древнеиндийские математики. Он очень простой, понравится и Вам и Вашим детям. Я бы сказал, может произвести "вау-эффект". Поехали!


Не только индийские специи могут доставлять эстетическое удовольствие Источник: https://fototerra.ru/photo/Indija/Or...280570.jpgИтак, умножим одно трехзначное число на другое, например 312 на 423. Для начала надо расчертить поле по количеству разрядов умножаемых чисел и записать их сверху и справа от таблицы. Затем действуем таким образом (там несколько картинок, листайте вправо)









Если умножается трехзначное число на двухзначное, то нужно просто дописать ноль слева, а сетку рисовать всё-равно три на три



Вот такой он, этот простой и интересный способ умножения. Да, алгоритмически ему далеко до знаменитого метода Карацубы, но как способ заинтересовать школьников и не только, очень хорош! Кроме того, он явно легче японского метода.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Почему "1" не считают простым числом? Элементарное доказательство навсегда снимает этот вопрос

25 октября
12 тыс. дочитываний
2,5 мин.







Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжаем так полюбившуюся тему простых чисел. В прошлых статьях я рассказал Вам о доказательстве бесконечности простых чисел и о решете Эратосфена - древнейшем алгоритме "просеивания" простых чисел.
Однако, есть еще один занимательный вопрос, которого мы не касались, а именно, того, почему математики не считают 1 простым числом, ведь, казалось бы, куда уже быть проще, чем единица? Однако, этому есть вполне корректное и простое доказательство. Поехали!


Источник: http://kirovskoe-school.ru/wp-conten...24x683.jpgИтак, начнем с того, что древнегреческие математики вообще не считали единицу числом, а вполне справедливо относили его к цифрам, как 2,3,4,5,6,7,8,9. Этот подход нас не устраивает, т.к. 2,3,5 и 7 для всех являются именно простыми числами.

По определению, простое число делится на 1 и на самого себя. Собственно, для единицы это определение становится двусмысленным.

Некоторые математики, например, Христиан Гольдбах, сделавший огромные усилия для разгадки тайны простых чисел в 18 веке, считал единицу простым числом.


Харолд Харди. Источник: https://zaochnik.ru/blog/2017/07/F1.large_-750x1024.jpg Считается, что последним крупным математиком, который был уверен в простоте единицы был Годфри Харолд Харди - наставник самого известного индийского математика Сринивасы Рамануджана, жившего и творившего в середине 20 века.
Но всё-таки, из глубины веков к нам пришла теорема, которая навсегда разрушает поползновения апологетов простоты единицы. Называется эта теорема - основная теорема арифметики.
Она утверждает, что каждое число можно представить в виде произведения простых чисел, причем единственным образом. Данная операция, кстати, называется факторизацией.

Например, число 35 представимо в виде 5*7, 37 - простое число, равно 1*37 и т.д., и все эти представления уникальны. А что же происходит с единицей?

Мы можем представить единицу в виде произведения "простых" чисел бесконечным количеством способов: 1*1, 1*1*1, да хоть 1^1000000.
Этот факт заставляет нас принять, что свойство единственности факторизации не выполняется, а, следовательно, единицу нельзя считать простым числом! Вот так окончательно и бесповоротно закрывается вопрос "простоты единицы"!
Вместо послесловия

Есть и еще одно свойство, которые "выбрасывает" единицу из ряда простых чисел. В математике существует т.н. функция дивизоров (делителей). Вот как на примере выглядит эта функция:


Функция n-ого порядка равна сумме делителей числа, возведенных в степень n. Так вот, для всех простых чисел p:


Таким образом, для единицы не выполняются все те равенства, которые выполняются для простых чисел. Счёт 2:0!
Читайте про решето Эратосфена - простейший из алгоритмов нахождения простых чисел.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

https://zen.yandex.ru/media/math_not...d65365929171b5
https://zen.yandex.ru/media/mathemat...67a8523689223f

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Неужели найдена формула числа π!?



Источник изображения: habr.com Здравствуйте. Число π... . Каждый слышал. Это отношение длины окружности к ее диаметру. Даже школьники знают, чему приблизительно равно это отношение: 3,14159 и еще немного. "Еще немного" - это десятичные знаки после запятой, последовательность которых никогда не повторяется, и, как предполагается, никогда не заканчивается. Доподлино неизвестно, бесконечно ли число π, однако на сегодняшний день рекорд его вычисления составляет 10 триллионов знаков после запятой. Многие пытались найти хоть какую-то закономерность в этих знаках, но тщетно. Вероятно, никакой закономерности все-таки не будет выявлено. Это самый настоящий генератор случайных чисел(!). Но мало кто знает, что сегодня математики умеют вычислять знаки числа π, не прибегая к расчетам предыдущих знаков.
Обо всем по порядку... .
Числа в математике делятся на два типа: рациональные и иррациональные. Рациональные - это те, которые можно представить в виде простой дроби а/в, где а и в - простые числа. А иррациональные нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. Например, число π часто представляют в виде 22/7, или еще более точно 355/113... . Но это лишь приближения: число π нельзя представить в виде простой дроби, число π - иррационально. Так же иррационально и число π в квадрате. Известно еще, что число π не является корнем квадратным из какого-то рационального числа. Также число π трансцендентно, то есть оно не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению. Не является его корнем.
Но что же с вычислением знаков числа π? Неужели, это невозможно? А цифры - совершенно случайны... .
Еще в 1996 ученые Д. Бэйли, П. Боруэйн и С. Плафф представили миру формулу:


Формула числа πУдивительно, но эта формула позволяет высчитывать отдельно взятые знаки числа π в двоичном выражении.
После открытия этой формулы, появились и другие... . В 2010 году Николас Ши объявил, что вычислил двухквадрильонный двоичный знак π. Им оказался "0".
Интересно, что до открытия таких формул, мы и подумать не могли, что возможно предугадать знаки числа π, пусть даже в двоичной системе.
Наука, и математика тоже, не стоит на месте. Все новые и новые открытия ждут нас. Мы с радостью расскажем о них на нашем канале.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Что такое уровни коррекции Фибоначчи?

20 октября


Уровни коррекции Фибоначчи - удобный инструмент для анализа и прогнозирования тренда на валютном рынке в твоем терминале. Как использовать - инструкция по применению.


Все очень просто. Уровни коррекции Фибоначчи – те же самые уровни сопротивления и поддержки, т.е. те уровни, от которых цена отталкивается при движении. Своеобразный «потолок» и «пол» цены. Разница между обычными уровнями сопротивления и поддержки заключается в том, что уровни коррекции Фибоначчи рассчитаны на основе последовательности Фибоначчи, т.е. строятся по принципу «золотого сечения»
Почему уровни коррекции Фибоначчи называются «уровнями коррекции»?

Потому что для построения поддержки и сопротивления рассчитанных таким образом, нам требуется наличие коррекционного движения цены, т.е. роста цены после ее падения или, наоборот, падения цены после ее роста. С помощью такого инструмента как уровни коррекции Фибоначчи мы можем рассчитать дальнейшие цели роста или падения цены. Согласитесь, очень удобно знать, где цена может остановиться при росте или снижении.
Если цена растет и не снижается, либо падает и не растет – это означает, что, к сожалению, пока построить уровни коррекции Фибоначчи невозможно. Надо дождаться коррекции.
Как рассчитываются уровни коррекции Фибоначчи?

Представьте, что цена на актив выросла со 100 долларов до 200. В нашем случае это будет основной тренд. Цена начала снижаться. Движение вверх на 100 долларов принимается равным за 100%. Этот отрезок начинает делиться по принципу «золотого сечения». Для чего? Все дело в том, что разделенные таким образом отрезки дают прекрасную возможность определить уровни поддержки и сопротивления.
Каким образом быстро поделить отрезки по принципу золотого сечения? Очень просто, умножить значения на соответствующие коэффициенты Фибоначчи, т.е. на 0,236; 0,382; 0,618; 0,786. Таким образом, мы получаем 4 уровня (100*0,236 = 23,6; 100*0,382 = 38,2; 100*0,618 = 61,8; 100*0,786 = 78,6). Именно на такие значения может скорректироваться цена.
Следовательно,

• первым уровнем поддержки станет уровень 200-23,6 = 176,4, или 23,6% по Фибоначчи;
• вторым уровнем: 200-38,2 = 161,8, или 38,2% коррекции по Фибоначчи;
• третий уровень: 200 – 61,8 = 138,2, или 61,8% коррекции по Фибоначчи;
• четвертый уровень: 200 – 78,6 = 121,4, или 78,6% коррекции по Фибоначчи.
• На самом деле, помимо этих четырех уровней выделяют еще один важный уровень, который составляет 50% от общей коррекции, т.е. уровень в 150 долларов.

Почему так важен уровень коррекции в 50%? Важнейшее правило трейдинга

Одно из важнейших правил трейдинга заключается в следующем: рынки имеют тенденцию возвращаться на расстояние от 1/3 до ½ протяженности предыдущего тренда перед возобновлением дальнейшего движения. Таким образом, уровень в 50% является важнейшим уровнем, который тестирует цена.
Самые важные уровни коррекции, помимо 50%

Самыми важными уровнями коррекции являются уровни в 38,2% и 61,8% по Фибоначчи. Именно на этих уровнях чаще всего стоит ожидать того, что цена остановится или, даже, развернется.
Инструмент «Уровни коррекции Фибоначчи»

На самом деле необходимость постоянно проводить расчеты, которые мы делали, конечно, необязательно. В настоящее время на любой платформе, предоставляющей доступ к котировкам активов в режиме реального времени присутствует такой инструмент, как «уровни коррекции Фибоначчи» или Fib Retracement. Теперь осталось только найти основной тренд и коррекцию по отношению к нему. И вот тут у многих трейдеров возникают трудности – как же выбрать первую (отправную) точку…
Все дело в том, что зачастую при движении наверх или вниз в течение длительного периода времени цены образуют также дополнительные пики или спады, которые также могут рассматриваться в качестве отправной (первой) точки
Жесткого правила здесь нет. Например в ряде разработок приводится следующее правило: в зависимости от периода тайм-фрейма.
Например:

• На тайм-фрейме в 1 час мы можем рассматривать график только за две последние недели
• На четырехчасовом тайм-фрейме график может быть рассмотрен за период в 6 месяцев
• Дневной тайм-фрейм – возможно рассмотрение графика за 2 года
• Недельный тайм-фрейм – за 6 лет
• Месячный тайм-фрейм – 13 лет

При этом считается, что коррекция может продолжаться только до уровня коррекции Фибоначчи 61,8% Фибоначчи. Т.е., при пересечении ценой указанного уровня требуется перестроить уровни коррекции Фибоначчи.
Что делать после выбора первой (отправной) точки?

После выбора тайм-фрейма и периода времени, за который мы можем анализировать график, нам нужно найти отправную точку. Здесь все просто – отправной точкой является минимальное или максимальное значение цены за выбранный нами отрезок времени. При этом, если мы строим уровень коррекции на понижающемся (медвежьем) тренде, отправной точкой будет являться минимум. На растущем (бычьем) тренде отправной точкой является максимальное значение цены. В отправную точку устанавливается первая точка уровней коррекции Фибоначчи, после чего вся сетка с уровнями растягивается на график таким образом, чтобы последний уровень касался максимального (или минимального) значения цены, т.е. того значения, с которого началась коррекция.


Уровни ФибоначчиКакой выбрать тайм-фрейм для построения уровней коррекции Фибоначчи?

Любой. Уровни коррекции Фибоначчи будут работать на любом выбранном Вами тайм-фрейме. Однако нужно заметить, что большинство технических аналитиков не рекомендуют пользоваться тайм-фреймами ниже 1 часа, поскольку на таких тайм-фреймах цена больше подвержена т.н. «рыночному шуму», т.е. случайному движению, не поддающемуся прогнозированию.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Числа Гёделя, создание которых поставило на колени всю математику

28 сентября
64 тыс. дочитываний
3 мин.







Приветствую Вас, уважаемые Читатели. На своем блоге я много рассказывал про различные числа: натуральные и целые, рациональные и действительные, комплексные и алгебраические. Все эти числа рано или поздно встречались Вам по жизни. Однако есть и такие числа, например числа Гёделя, которые мало кто использует, кроме ученых, которые исследуют метаматематику – «наднауку», призванную охарактеризовать эту область знаний с метафизических и методологических сторон.


Один из величайших математиков 20 века - Курт Гёдель. Источник: https://avatars.mds.yandex.net/get-z.../scale_1200Тем не менее, понимание чисел Гёделя доступно каждому, кто знаком с элементарной арифметикой (таких, я думаю большинство), а некоторые выводы из теории их построения могут немного шокировать обывателя, в той же степени, в которой они стали «дамокловым мечом» для математиков в середине 20 века. Поехали!
Числа Гёделя

Чтобы к ним подобраться во всеоружии, необходимо вспомнить основную теорему арифметики (я о неё писал подробно в одном из материалов). Из теорему следует, что любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел, причем единственным образом например:

• 16 = 2*8=2*2*2*2
• 34= 17*2
• 98=49*2=7*7*2 и т.д.

Что это даёт нам?

Это даёт нам возможность арифметизации любых математических формул, высказываний, доказательств путем сопоставления каждому из них одного единственного порядкового номера, называемого номером Гёделя. Рассмотрим подробнее как это сделать.
Язык математики состоит из различных знаков операция (умножения, сложения и т.д.), знаков равенства, скобок, переменных и т.д. Курт Гёдель сначала определил минимальный набор таких знаков, вот он:


После этого каждой буквенной переменной (например, х,y,z… и т.д.) можно сопоставить следующие простые числа – 13,17, 19 и т.д. Рассмотрим, например, высказывание
2 * 2 = 4
Как его формализовать? Необходимо под каждым символом написать cоответствующие ему Гёделевы номера:


Ориентируйтесь на первую таблицуВо второй строке у нас кроме порядковых чисел появились выражения вида ss0 и ssss0 – они означают второй символ и четвертый символ после нуля (2 и 4 соответственно). Их тоже нужно декомпозировать:


Всё понятно? Таким образом, мы получили некоторое числовое сопоставление нашему высказыванию:
2*2= 4 сопоставлено 776 12 776 5 77776
Но хотелось бы это сопоставление ужать, с чем нам успешно поможет справиться основная теорема арифметики. Взяв простые числа 2,3,5… и возведя их в соответствующие степени мы получим натуральное число единственно соответствующее исходному высказыванию. Вот оно:


Вот именно это и только это число (хоть оно и невероятно большое) соответствует высказыванию 2*2=4. Верно и обратно, например, рассмотрим какое высказывание определяет число 995328 ? Для этого разложим его на простые множители:


Восстанавливая по первой таблице, получим высказывание 0 = 0. Вот так!

Таким образом, мы определили, что каждое математическое высказывание можно единственным образом представить в виде натурального числа.

Именно это утверждения стало основой для доказательства теорем Геделя о неполноте, буквально поставивших на колени всех тех, кто пытался создать математическую теорию всего. Гедель показал, что такой теории не может быть в принципе. что каждая аксиоматическая теория в любом случае противоречива, что в рамках любой теории есть высказывания, недоказуемые в ней. Как? Читайте в следующих выпусках!
Читайте подробнее об основной теореме арифметики

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

2 нереальных парадокса из теории множеств, которые не укладываются в голове

16 августа
52 тыс. дочитываний
1,5 мин.







Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
Теории множеств посвящен отдельный блок публикация на моем канале. С первой вводной статьей можете ознакомиться здесь. Парадоксы в теории множеств обычно зубодробительны: чего только стоит случай в бесконечном отеле. Сегодня же расскажу еще про ти известных недоразумения. Поехали!
Парадокс Банаха-Тарского

Согласно этому парадоксу, можно разрезать шар ножом и получить два точно таких же шара! Но это на бытовом языке.


Источник: https://uh.edu/engines/3200-Banach-T...adox.pngСтрого говоря, речь идёт о том, что точки одного множества (исходного шара) можно отобразить в объединение точек двух множеств. Доказано, что для осуществления удвоения шара недостаточно "разрезать" его на 4 части, а вот на 5 - уже вполне.
Суть парадокса в том, что куски, на которые может быть разрезан шар в реальной жизни всегда имеют объем. В теории множеств же существуют т.н. "неизмеримые множества", которые могут не иметь объема, если под ним понимать какое-либо свойство аддитивности (целое можно разбить на части и склеить заново) и эквивалентности (объемы двух конгруэнтных фигур, т.е. получающихся в результате переноса, вращения или отражения, равны).


Источник: https://storge.pic2.me/c/1360x800/645/5563185bc8262.jpg

Кратко: шар разбивается на неизмеримые множества точек, которые не имеют объема. В реальности так сделать нельзя.

Кстати, сделать такое с окружностью на плоскости нельзя никаким образом, а вот собрать равновеликий квадрат из круга: легко!
Квадратура круга Тарского

Квадратура круга - это краеугольная задача всей математики, окончательно решенная в отрицательную сторону лишь в 19 веке с доказательство трансцендентности числа π.
Однако, уже знакомый нам Альфред Тарский в 1925 году предположил, что круг можно разбить на конечное число частей, в результате параллельного переноса, поворота или отражения которых, можно составить равновеликий кругу квадрат.


Источник: https://upload.wikimedia.org/wikiped...svg.pngВпрочем, таких кусочков требуется 10^50 штук, сами они не являются измеримыми множествами, более того имеют границы, не являющимися жордановыми кривыми. Последнее вообще дикость: теорема Жордана говорит о том, что любая замкнутая кривая, например, на плоскости разделяет её на две части (грубо говоря, внутреннюю и внешнюю) и сама является границей между ними. Как вообще может быть по-другому ???
Читайте статью про удивительные треугольники Серпинского

Кстати, у этих двух парадоксов общее основание для доказательства - аксиома выбора Цермело - одно из самых спорных утверждений вообще в математике. Рассказать Вам о нём? Голосуйте!

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Парадокс Рассела. Главный парадокс теории множеств, оказавший влияние на всю математику.

21 августа
13 тыс. дочитываний
4 мин.







Идет 1902 год, немецкий философ, а заодно логик и математик, Фридрих Людвиг Готлоб Фреге терпеливо трудится над вторым томом "Основных законов арифметики". И вот, когда основная работа подходит к концу, к нему приходит письмо от другого мастодонта логики - англичанина Бертрана Рассела. Прочитав это письмо, Фреге вносит примечание в своё произведение, которое начинается с таких слов:

"Вряд ли с учёным может приключиться что-нибудь худшее, чем если у него из-под ног выбьют почву в тот самый момент, когда он завершит свой труд. Именно в таком положении оказался я, получив письмо от Бертрана Рассела, когда моя работа уже была завершена".

Вы уже, наверное, догадались, что речь в этом послании шла о знаменитом парадоксе, который не только стал стимулом для пересмотра аксиоматических основ математики, став началом конца т.н. "наивной теории множеств", но и усилил противоречия, став хорошим аргументом для сторонников нового направления в математике - интуиционизма. Разберемся, в чём суть парадокса. Поехали!


Источник: https://pbs.twimg.com/media/EU2EJ-UWkAAlbpW.jpgФормальный парадокс Рассела

Итак, начнем с формального определения, а потом перейдем к "житейским".
Назовём множество "обычным" в том случае, если оно не является элементом самого себя. Например, множество овец является "обычным", т.к. само множество не является овцой, а является некой их совокупностью.
"Необычным" множеством, в свою очередь, назовем такое множество, которое само является собственным элементом. В качестве примера Рассел приводит множество всех множеств (остановитесь, обдумайте минутку и читайте дальше).


Любое множество входит в состав универсального. https://upload.wikimedia.org/wikiped...nn1111.svg.png

Мы, кстати, говорили про это понятие в статье, где я давал определение унарным операциям над множествами. Так вот, дополнение множества там определяется через некий "универсум" - множество всех множеств. Освежите в памяти.

Парадокс Рассела возникает тогда, когда начинают рассматривать множество всех обычных множеств, которое получило название "расселовское" и пытаются понять, является ли оно "обычным". Следите за пальцами, есть два пути:

1. Пусть "расселовское" множество - обычное. Если оно обычное, то должно включать себя в качестве элемента, ведь по определению оно состоит из всех "обычных" множеств. Но в то же время, оно не может быть"обычным", т.к. включает самого себя.
2. Пусть "расселовское" множество - необычное. Теперь оно не может включать себя в качестве элемента, ведь по определению оно состоит только из обычных множеств. Но если так, и оно не включает себя, оно само должно быть "необычным".

И в первом и во втором случае получается противоречие.
Житейские версии парадокса

Самый известный вариант, известный еще с античности" - это "парадокс лжеца" :

Данное высказывание ложно. Истинно ли это высказывание или нет ?

Второй вариант - это "парадокс брадобрея":

Пусть в некотором городе живет брадобрей, который бреет всех жителей, которые не бреются сами, и только их. Бреет ли брадобрей самого себя?

Третий вариант - это "парадокс каталога":

Каталоги - это книги, которые описывают другие книги. Некоторые каталоги могут содержать другие каталоги, а некоторые могут описывать даже себя. Можно ли составить каталог всех каталогов, которые не описывают сами себя?

Все эти парадоксы разрешаются похожим образом: в первом не может существовать "расселовского" множества, во втором - такого брадобрея, а в третьем - такого каталога. С другой стороны, мы же в формулировках парадоксов сами определили их, т.е. постулировали их существование.
Здесь на сцену вышли те самые интуиционисты, которые утверждают, что любой объект может существовать, если мы предоставили способ его построения. Таким образом, этих парадокса Рассела в интуиционистской математике не существует, что, впрочем, не мешает существовать другим (об этом в другой раз).


Два противника: конструктивист Давид Гильберт и основатель интуиционизма Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр . Источник: http://www.vokrugsveta.ru/img/cmn/2008/10/21/036.jpgЧто же предприняли математики-конструктивисты ? Придумали новые аксиоматики теории множеств, взамен "наивной", например:

• в теории Цермело-Френкеля просто запретили строить множество всех множеств, в т.ч. и "расселовское";
• сам Рассел разработал теорию типов, где простой элемент имел порядок 0, множество простых элементов - порядок 1, множество множеств простых элементов - порядок 2 и т.д. Таким образом, в этой теории исключено существование множеств, включающих себя в качестве элемента.
• в аксиоматике Неймана-Бернрайса-Гёделя вообще провернули "финт ушами", а именно назвали множество всех множеств "классом", попутно объявив, что оно само не является множеством и не является элементом какого-либо класса. "Гениальный ход".

В перечисленных теориях все возможные парадоксы были устранены, казалось, битва закончена. Однако в 1930 году молодой (24 года!) австрийский математик Курт Гёдель нанес такой удар, к которому ни одна из имевшихся аксиоматик не была готова. Но это - уже совсем другая история. О ней расскажу немного позже.
Понравилось? А знаете, как теорема Байеса может буквально перевернуть Вашу логику с ног на голову ?

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Апокалиптические числа встречаются чаще, чем Вы думаете.

8 октября
4,5 тыс. дочитываний
1 мин.







Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я уже не раз писал о различных последовательностях, что неудивительно, ведь энциклопедия целочисленных последовательностей содержит множество удивительных паттернов. Сегодня хочу рассказать о последовательности апокалиптических чисел, которая имеет ряд интересных свойств. Поехали!


Фильм "Апокалипсис сегодня". Источник: http://paraparabellum.ru/wp-content/...Now3.jpgПервое, что приходит на ум, когда говорят о числах и апокалипсисе - это число 666. Вот и наша последовательность содержит это зловещее число. Но! В данном случае математики немного извернулись и решили считать апокалиптическими числа, которые, во-первых, содержат три шестерки подряд, а, во-вторых, являются степенями двойки.


И вот тут начинается интересное, первая степень К, удовлетворяющая выбранному критерию - это 157, а само число равно:

182687704666362864775460604089535377456991567872

Последовательность апокалиптических степеней (была доказана их бесконечность) выглядит так:

57, 192, 218, 220, 222, 224, 226, 243, 245, 247

Теперь парочка интересных фактов:

1. Есть и, так называемые, двойные апокалиптические числа. На данный момент их известно два: их образуют степени 220 и 2269, в последнем их которых 684 цифры и встречает последовательность 666666.
2. Число 666 само по себе является апокалиптической степенью. Кто бы еще сомневался!
3. Есть степени, которые содержат 666, но не являющиеся апокалиптическими, но их всего лишь (!!!) восемь. Это показатели: 2666, 3666, 5666, 6660, 6665, 6669, 11 666, 26 667.
4. Между числами со степенями от единицы до трех миллионов всего лишь 3715 чисел, не являющихся апокалиптическими.
5. А для чисел, образованных показателем степени, большим 29784, вероятность быть апокалиптическим близка к единице. Может быть дьявол придумал бесконечность ?


Источник: http://www.numbersaplenty.com/set/ap...er/spiral.png6. На рисунке выше графическое отображение апокалиптических степеней. Тьма сгущается!
На самом деле графический паттерн апокалиптических чисел очень красив. Однако по своему изяществу ему очень далеко до скатерти Улама.

[Феникс Джонатанович ДонХуанЦзы]

Что представляет из себя геометрия Лобачевского простыми словами?





Редактор и переводчик книг по математике · zen.yandex.ru/maths

Чтобы построить геометрию начиная с аксиом, изучить свойства фигур, классифицировать движения плоскости, вовсе не обязательно иметь перед глазами линии и чертежи. Какую мы там представляем себе картинку – для высокой геометрии несущественно. Изображения в геометрию «не зашиты». С картинками мы работаем потому, что это удобно, наглядно, и составляет значимую часть культуры человечества.
Когда мы учим геометрию (привычную евклидову), то для каждого понятия (евклидова плоскость, точка, прямая, окружность, расстояние) у нас есть модель: каждый может нарисовать две точки и измерить расстояние линейкой. Эта модель общепринята, но не обязательна. Не все заметили, что в школе изучают две абсолютно непохожих евклидовых модели, тесно связанных между собой.
Координаты на плоскости связывают обе модели: каждой паре чисел соответствует точка с такими координатам и наоборот.
Когда Лобачевский строил свою геометрию, он начал с аксиоматики, настолько необычной, что у него даже модели никакой не было для новой геометрии. Он не представлял себе в целом, как выглядят «прямая», «плоскость», хотя оперировал этими словами по всем правилам науки. Он рассуждал очень, очень абстрактно. И в этом одна из причин, почему его геометрию сначала приняли в штыки: трудно было себе представить, о чем он говорит; привычная евклидова модель не годилась. Со временем другие люди разработали модели геометрии Лобачевского, и притом разные. Общепринятой модели нет; а в разных моделях даже прямые выглядят по-разному! Поэтому, в отличие от Евклидовой, для модели Лобачевского нельзя описать "естественую" модель. Есть и алгебраическая модель, вообще без картинок.
Чтобы представить себе геометрию Лобачевского, не стоит пересказывать аксиоматику и теоремы простыми словами. Лучше познакомиться с разными моделями в картинках, а потом уж переходить к формальным описаниям.
Вот на картинке одна из моделей (Пуанкаре) геометрии Лобачевского.
(Дальше я курсивом выделила термины в геометрии, пояснительные слова остались без курсива.) Плоскостью мы считаем евклидову полуплоскость – на картинке она оранжевая. Вверх, влево и вправо она простирается бесконечно, а снизу ограничена абсолютом – условной линией, которая плоскости не принадлежит. Прямыми мы считаем лучи, перпендикулярные абсолюту, а также полуокружности с центром на абсолюте. Кратчайшие пути между точками лежат вдоль этих прямых. На картинке мы видим 5 прямых: желтую, синюю, зеленую, коричневую и голубую. Зеленая и желтая не имеют общих точек, а потому параллельны. Зеленая и синяя тоже не имеют общих точек, и тоже параллельны. Синяя и жёлтая не параллельны – у них есть общая точка. Еще на картинке мы видим треугольник АВD, разделенный отрезком ВС на два треугольника поменьше: ABC и BCD. Все стороны всех треугольников – отрезки прямых. Угол ВDC в треугольнике ВDC равен 0, это бывает в геометрии Лобачевского. В ней сумма углов треугольника всегда меньше 180 градусов.
В журнале "Квант" есть статья о модели Кэли-Клейна