https://dzen.ru/a/ZpnbH1Sx2nejFFkr?from_site=mail
Три парадокса вероятности, которые изменят ваше понимание случайности
6 минут
24,6 тыс прочтений
19 июля 2024
Оглавление
В мире математики можно ожидать, что вероятность того, что ребенок правильно подберет обувь или что вы правильно вставите USB в порт компьютера, будет равна 50 процентам. Это основано на простом предположении, что есть два возможных исхода — правильно или неправильно. Однако реальность показывает совершенно другую картину: эти шансы ближе к нулю. Опыт подсказывает, что дети почти всегда надевают обувь неправильно, а вставка USB с первого раза — редкость. Этот парадокс бросает вызов нашему базовому пониманию вероятности, заставляя задуматься о случайности и вероятности.
Изучая вероятность в библиотеке университета, я наткнулся на книгу «Вероятность: Введение» профессора Дэвида Сантоса. Вступление книги удивило меня, там было написано: «Моему ребру, Джилли, которую я люблю почти наверняка». Эта фраза показала глубокую, но юмористическую сторону профессора, который посвятил свою жизнь математическим вероятностям. Это было как забавно, так и заставляло задуматься: даже в вопросах любви Сантос использовал термин «почти наверняка», подразумевая, что даже здесь не может быть 100% гарантии.
В математике вероятность представляется как функция, которая присваивает событию (или несобытию) реальное число в диапазоне от 0 до 1. Это число, или вероятность, указывает на вероятность того, что событие произойдет.
Интересно, что корни теории вероятностей можно проследить до Блеза Паскаля, известного французского математика. Возникновение этой теории произошло около 400 лет назад, когда азартный игрок задал Паскалю вопрос: что нужно сделать, чтобы получить желаемый результат при броске костей? Ответ Паскаля на этот вопрос считается началом теории вероятностей, что положило начало новой области математического исследования, изучающей случайность, вероятность и предсказуемость.
С момента создания теории вероятностей она нашла свое применение в самых разных областях, поддерживая важные прогнозы и решения. Например, физики используют вероятностные расчеты для прогнозирования различных исходов при изменяющихся условиях, будь то оценка распада радиоактивного атома или определение пути частицы в квантовой механике.
Область генетики также использует вероятности для предсказания вероятности различных генетических исходов. Генетики используют это для определения пола будущего ребенка или для расчета шансов на наследование определенных черт, таких как голубые глаза. Этот статистический инструмент позволяет предсказывать и понимать модели наследования у организмов, что помогает в изучении генетических заболеваний.
Даже область финансов не осталась в стороне от теории вероятностей. Страховые компании, в частности, активно используют ее в своей бизнес-модели. Они оценивают риски и определяют вероятность наступления определенных событий, таких как несчастные случаи, болезни или повреждение имущества. Эти статистические данные затем используются для расчета премий, что позволяет компаниям взимать более высокие премии с лиц с более высоким риском, обеспечивая их прибыльность. Теория вероятностей, по сути, превратилась из вопроса азартного игрока в универсальный инструмент для предсказания неопределенности.
Хотя мы регулярно полагаемся на наше врожденное чувство вероятности для принятия повседневных решений, важно помнить, что наше интуитивное понимание часто противоречит математической реальности. То есть, мы можем считать, что вероятность события составляет 50%, но математический анализ может показать, что вероятность составляет всего 12%. Даже сталкиваясь с этими математическими истинами, мы можем все равно их не принимать, что приводит к кажущемуся парадоксу.
Ниже я собрал несколько задач по вероятности, где наша интуиция и математика расходятся.
Парадокс лифта
Парадокс лифта — это интересное явление, впервые замеченное физиком Джорджем Гамовым. Работая на втором этаже семиэтажного здания, он часто навещал своего друга, жившего на шестом этаже.
Гамов заметил странную закономерность во время этих визитов. Когда он ждал лифт, чтобы подняться на шестой этаж со второго, первый лифт, проходящий мимо его этажа, неизменно двигался вниз. Точно так же, когда он вызывал лифт с шестого этажа, чтобы спуститься на второй, первый прибывший лифт поднимался. Это казалось нелогичным, так как можно было бы ожидать, что лифт, прибывающий на шестой этаж, будет спускаться и наоборот.
Интуитивно может показаться, что независимо от того, на каком этаже мы находимся, вероятность того, что лифт, проходящий мимо нашего этажа, движется в нужном нам направлении, составляет 50%. Однако наблюдения Гамова бросают вызов этому предположению, указывая на то, что на самом деле это не так.
Математическое объяснение этого парадокса довольно простое. Когда вы ждете лифт на нижнем этаже, скорее всего, большинство лифтов в здании находятся выше вашего текущего этажа. Следовательно, первый прибывший лифт, скорее всего, будет двигаться вниз. И наоборот, если вы ждете лифт на верхнем этаже, чтобы спуститься, большинство лифтов, вероятно, находятся ниже вашего этажа. Поэтому вполне естественно, что первый прибывший лифт будет двигаться вверх.
Этот простой, но захватывающий наблюдение, известное как парадокс лифта, служит еще одним примером того, как наше интуитивное понимание вероятности не соответствует математической реальности.
Парадокс дня рождения
Парадокс дня рождения — это еще один классический пример, где интуиция и вероятность расходятся. Представьте, что вы находитесь на вечеринке по случаю дня рождения, где присутствуют 23 человека. Вы можете задаться вопросом: каковы шансы, что два человека на вечеринке родились в один день? Интуитивно можно предположить, что эта вероятность довольно мала. Однако на самом деле вероятность составляет примерно 50%. Это может показаться нелогичным, но давайте разберемся в математике.
Рассмотрим двух человек на вечеринке. Вероятность того, что их дни рождения не совпадают, составляет 364 из 365, так как есть 364 дня, когда день рождения второго человека не совпадает с днем рождения первого. Теперь добавим третьего человека. Вероятность того, что день рождения этого третьего человека не совпадает с днями рождения первых двух, составляет 363 из 365. Для четвертого человека эта вероятность становится 362 из 365 и так далее.
Следуя этой логике, общая вероятность того, что все 23 человека имеют уникальные дни рождения, становится произведением этих вероятностей, приближаясь к 1/2. Таким образом, вероятность того, что хотя бы у двух человек будет общий день рождения (т.е. дополнение к вероятности уникальных дней рождений), составляет 1 - 0,5 = 0,5 или 50%.
Интересно, что по мере увеличения числа людей эта вероятность растет. Для группы из 30 человек вероятность достигает 70%; для 50 человек вероятность возрастает до 97%. Этот интригующий парадокс наглядно демонстрирует, как наше интуитивное понимание вероятности может нас подводить.
Парадокс трех детей
Рассмотрим семью с тремя детьми и проанализируем вероятность того, что все дети будут одного пола. Интуитивно можно подумать, что если первые два ребенка одного пола, вероятность того, что третий ребенок будет того же пола, составляет 1/2.
Однако более внимательный анализ вероятности показывает другую картину. Если обозначить девочек как «Д» и мальчиков как «М», существует восемь возможных комбинаций: МММ, ММД, МДМ, ДММ, ДДД, ДДМ, ДМД и МДД. Из этих комбинаций только МММ и ДДД состоят из всех мальчиков или всех девочек соответственно, что означает, что реальная вероятность того, что все три ребенка будут одного пола, составляет 2/8 или 1/4, а не 1/2, как предполагалось изначально.
Теперь расширим этот сценарий на семью с четырьмя детьми. Какой сценарий более вероятен — иметь трех детей одного пола и одного другого или иметь двух мальчиков и двух девочек? На первый взгляд многие люди предположат, что более равномерное разделение двух мальчиков и двух девочек более вероятно. Но, перечислив все возможные комбинации, мы обнаружим, что существует шесть случаев, когда есть два мальчика и две девочки, и восемь случаев, когда есть соотношение три к одному по полу. Это означает, что вероятность того, что есть больше шансов на трех детей одного пола и четвертого другого, составляет 1/2. Этот интересный парадокс служит еще одним примером того, как наше интуитивное понимание вероятности может не соответствовать математической реальности.
вероятность. теория вероятности. случайность или детерминизм.
Линейный вид
